专题09 一元一次方程的应用-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题09  一元一次方程的应用（压轴题专项讲练）

【典例1】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发逆流行驶．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时．

（1）请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？

（2）如果快艇到达B码头后立即返回，试求快艇在返回的过程中需航行多少时间两船恰好相距12千米？

【思路点拨】

（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出；

（2）分两种情况讨论：①两船都在顺流而下时，②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可．

【解答过程】

解：（1）140﹣（67+3）（27﹣3）93（千米）．

即航行30分钟时两船相距93千米；

（2）设快艇在返回的过程中需航行x小时两船恰好相距12千米．

由快艇从A到达B码头时，用时140÷（67+3）＝2（时），

此时游艇行驶2×（27﹣3）＝48（千米）．且返回时快艇速度为67﹣3＝64（千米/时）．

①快艇返回时，两船相遇前，相距12千米，

则48+24x﹣64x＝12，

解得x．

②快艇返回时，两船相遇后，相距12千米．

则64x﹣（48+24x）＝12，

解得x．

此时64＝96（千米），即快艇未到达A码头，符合题意．

答：快艇在返回的过程中需航行或小时两船恰好相距12千米．

【典例2】松雷中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个加工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服18套，乙工厂每天能加工这种校服27套，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用10天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用75元、付乙厂每天费用115元．

（1）求这批校服共有多少套；

（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的生产速度提高，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还少7天，求乙工厂共加工多少天；

（3）经学校研究决定制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天15元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种最省钱的加工方案．

【思路点拨】

（1）设单独加工这批校服乙厂需要x天，则甲厂需要（x+10）天，利用学校加工的服装数量不变列出方程，解方程即可得出甲乙两长的生产时间，利用甲厂的生产时间×甲厂的工作效率即可得出结论；

（2）设实际生产中甲厂的工作时间为y天，则乙厂的全部工作时间为（2y﹣7）天，利用甲乙合作共同完成了生产任务为等量关系，列出方程解方程即可得出结论；

（3）分别利用所付费用＝生产时间×每天所付费用，计算出三个方案的费用，通过比较可得最省钱的加工方案．

【解答过程】

解：（1）设单独加工这批校服乙厂需要x天，则甲厂需要（x+10）天，

由题意得：18（x+10）＝27x，

解得：x＝20．

∴这批校服共有：20×27＝540（套）．

答：这批校服共有540套．

（2）设实际生产中甲厂的工作时间为y天，则乙厂的全部工作时间为（2y﹣7）天，

由题意得：（18+27）y+27（1）（2y﹣7﹣y）＝540．

解得：y＝10．

∴2y﹣7＝20﹣7＝13（天）．

答：乙工厂共加工13天．

（3）由题意得：

由（1）知：甲厂的设出时间为：x+10＝30（天），

∴方案一所付费用为：（15+75）×30＝2700（元）；

方案二所付费用为：（15+115）×20＝2600（元）；

方案三所付费用为：（15+75）×10+（115+15）×13＝2590（元）．

∵2590＜2600＜2700，

∴学校选择方案三最省钱．

1．（2020秋•莘县校级月考）阳光中学七年级学生从学校出发去郊游，带队的老师和学生们以4km/h的速度步行前进，20min后，小明骑自行车前去追赶．已知小明骑自行车速度比队伍步行速度多8km/h，那么小明要用多少时间才能追上队伍？此时队伍已行走了多远？

2．（2020秋•海淀区校级期末）一列火车匀速行驶，经过一条长420米的隧道需要15秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是5秒，求这列火车的长度．

3．（2020秋•岳麓区期末）在与铁路平行的一条公路上，小张以每秒4米的速度骑自行车由南往北行进，小李以每秒1.5米的速度由北往南行走，如果一列火车由南往北开来，火车通过小张的时间是23秒，通过小李的时间是18秒，这列火车的长度是多少米？

4．（2020秋•沙坪坝区校级期末）重庆地铁10号线是重庆市正在运营的一条地铁线路，与重庆轨道交通3号线一起承担主城核心区南北向骨干公共交通的功能．该条线路于2020年9月18日正式通车，起于鲤鱼池站，止于王家庄站，全长约35千米．下表是重庆地铁10号线首班车时刻表，开往王家庄方向和鲤鱼池方向的首班车的速度均为60千米/小时．

（1）求从王家庄站6：05开出的首班车到达鲤鱼池站的具体时刻．

（2）求由鲤鱼池站和王家庄站开出的首班车第一次相遇的具体时刻．

5．（2020秋•邹城市校级月考）（至少有一步用方程思想解题）渔夫在静水划船总是每小时5里，现在逆水行舟，水流速度是每小时3里；一阵风把他帽子吹落在水中，假如他没有发现，继续向前划行；等他发觉时人与帽子相距2.5里；于是他立即原地调头追赶帽子，原地调转船头用了10分钟．计算：

（1）求顺水速度，逆水速度是多少？

（2）从帽子丢失到发觉经过了多少时间？

（3）从发觉帽子丢失到捡回帽子经过了多少时间？

6．（2020秋•罗庄区期末）小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米．

（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？

（3）如果他们都站在四百米环形跑道的起点处，两人同时同向起跑，几分钟后他们再次相遇？

7．（2020秋•海珠区期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．

（1）求甲从A到B地所需要的时间．

（2）求两人出发后经过多少时间相遇？

（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？

8．（2020秋•滨城区期末）一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成，乙工程队单独做需要12天完成．现在由甲队单独做4天，剩下的工程由甲、乙合作完成．

（1）（列方程解答）剩下的部分合作还需要几天完成？

（2）若该工程的总费用为240万元，根据实际完成情况，甲乙两工程队各得多少万元？

9．（2020秋•天津期末）某地下水管道由甲队单独铺设需要3天完成，由乙队单独铺设需要5天完成，甲队铺设了后，为了加快速度，乙队加入，从另一端铺设，则管道铺好时，乙队做了多少天？

10．（2021秋•香坊区校级月考）暑假期间德强学校准备粉刷教学楼，粉刷总面积为35600平方米，甲、乙两个装饰公司承担了该粉刷任务，已知甲装饰公司每名工人每天粉刷的面积比乙装饰公司每名工人每天粉刷的面积多20平方米，甲装饰公司8名工人一天粉刷的面积等于乙装饰公司9名工人一天粉刷的面积．

（1）求乙装饰公司每名工人每天粉刷面积多少平方米．

（2）若乙装饰公司参与粉刷教学楼的工人比甲装饰公司参与粉刷教学楼的工人多2人，甲装饰公司每天比乙装饰公司多粉刷，求甲装饰公司有多少人参与粉刷教学楼．

（3）在（2）的条件下，甲、乙两个装饰公司合作粉刷2天后，因乙装饰公司另有任务调走了部分工人去外地，同时甲装饰公司调来了1台机器人参与粉刷教学楼，此机器人每天粉刷1800平方米，由于某种原因甲装饰公司工人的工作效率降低了，乙装饰公司未被调走的工人工作效率不变，结果恰好按原计划时间完成粉刷任务，若甲、乙两个装饰公司粉刷费用均为2元/平方米，求甲、乙两个装饰公司各自应获得粉刷费用多少元．

11．（2020秋•沙坪坝区校级期中）某商店销售甲、乙两种商品获得销售总额5200元，其中乙商品的件数比甲商品的件数少，甲商品进价为20元/件，每件甲商品的利润率为40%；乙商品进价为25元/件，售价为30元/件．

（1）甲、乙两种商品一共有多少件？

（2）元旦将至，商家决定迎新大促销，该商店再次以之前的进价购进第二批商品，其中甲商品的数量不变，乙商品比甲商品多60件，并且甲商品打折促销，乙商品按原价销售．全部卖出后，商家获得的总利润率是第一批销售总利润率的一半．求第二批甲商品是按原价打几折销售？

12．（2020秋•安定区期末）某家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；

方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款．

某校计划添置100张课桌和x把椅子（x＞100）．

（1）用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？

（2）当x＝300时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？

（3）当x为何值时，按两种优惠方案购买付款金额相同？

13．（2020秋•郯城县期末）为参加学校庆“五•一”迎新春汇演活动，甲、乙两班准备大合唱，甲、乙两班共92人（甲班人数多于乙班人数，甲班人数不够90人），准备统一购买合唱服装（一人一套）演出，服装厂给出服装价格表如下：

如果两个班单独购买，一共需付5920元．

（1）如果甲、乙两个班联合购买服装，那么比各自购买服装共节省多少钱？

（2）甲、乙两个班各有多少学生参加演出？

（3）如果甲班有8名同学因节目顺序安排参加其他演出不能参加合唱，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱？

14．（2020秋•宁波期末）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．

（1）现有两种购买方案：①分两次购买，第一次购买240件，第二次购买460件；②一次性购买700件．问哪种购买方案费用较省？省多少元？说明理由．

（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第二次多于第一次），共付费1860元，则第一次、第二次分别购买该商品多少件？

15．（2020秋•渝中区期末）“机器人”的研发和运用，有效地节省了劳动力．某制造“机器人”的车间有28名工人，每人每天可以生产“机器人”的机壳500个或机脚800个．1个机壳需要配4个机脚，为使每天生产的机壳和机脚刚好配套．应安排生产机壳和机脚的工人各多少名？

16．（2020秋•昌图县期末）甲、乙两个旅行团同时去某地旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和是两团人数之差的16倍．

（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？

（2）若某景点成人票价为每张80元，儿童票价为每张40元，并且乙团中儿童人数恰好比甲团中儿童人数的2倍少2人，两旅行团在此景点所花门票费用相同．求甲、乙两团中儿童人数各是多少？

17．（2021春•玉屏县期末）某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元，问：

（1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？

（2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？

18．（2020秋•耿马县期末）已知A城有物资200吨，B城有物资300吨，现在要把这些物资全部运往C、D两个仓库，C仓库能装240吨物资，D仓库能装260吨物资．

（1）如果A城运往C仓库100吨物资，那么B城运往D仓库多少吨物资？

（2）设A城运往C仓库x吨物资，如果从A城运物资往C、D两个仓库的运费分别为20元/吨和25元/吨；从B城运物资往C、D两个仓库的运费分别为15元/吨和24元/吨，求A、B两城运送物资的总费用；

（3）若A、B两城运送物资的总费用为10200元，求从A、B两城分别运往C、D两仓库各多少吨物资？

19．（2020秋•天河区期末）2020年第33个国际禁毒日到来之际，某市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛，学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；

（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只记得是2元或3元，那么笔记本的单价是多少元？

20．（2020秋•江北区期末）为节约用水，宁波市居民生活用水实行按级收费，居民用水价格（含污水处理费）按用水量分为三级，如表是宁波市目前实行的水费收费标准：

（1）若某用户用水量为15立方米，则该用户需交水费 　   　元；若用水量为27立方米，则该用户需交水费 　   　元．

（2）若用水量为x（x＞30）立方米，则请用含x的代数式表示需交的水费．

（3）十二月份，小江、小北两家用水情况如下：①小江家用水量比小北家少；②两家用水量达到的级别不同；③两家用水量总共60立方米；④水费共270.72元．请根据以上信息，算一算：小江、小北两家用水量分别是多少立方米？

21．（2020秋•鼓楼区校级期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准，例：乘车里程为30公里：

若选乘出租车，费用为：14+2.2×（30﹣3）+1×（30﹣10）＝93.4（元）；

若选乘曹操出行（快选），费用为：10+2.4×30+0.8×（30﹣10）+0.460＝116（元）．

请回答以下问题：

（1）小明家到学校的路程是10公里．如果选乘出租车，车费为　     　元；如果选乘曹操出行（快选），车费为　     　元．

（2）周末小明有事外出，要选乘网约车，如果乘车费用预算为25元，他的行车里程数最大是多少公里？

（3）元旦期间，小明外出游玩，约车时发现曹操出行（快选）有优惠活动：总费用打八折．于是小明决定选乘曹操出行（快选）．付费后，细心的小明发现：相同的里程，享受优惠活动后的曹操出行（优选）的费用还是比出租车多了1.8元，求小明乘车的里程数．

22．（2020秋•大丰区月考）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：

注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．

“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．

例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：

方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5%+1500×10%+600×15%＝265（元）

方法二：用“月应纳税额×适用税率﹣速算扣除数”计算，即2600×15%﹣125＝265（元）

（1）请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整，m＝　    　，n＝　    　；

（2）小童今年12月缴了个人所得税475元，小白今年12月的收入是小童的两倍，若按“个税法草案”计算，则小白应缴税款多少元？

（3）小颖今年12月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，她应缴纳的税款恰好不变，那么小颖今年3月所缴税款的具体数额为多少元？