高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用学案

这是一份高考物理一轮复习第5章机械能及其守恒定律第3节机械能守恒定律及其应用学案，共16页。学案主要包含了重力做功与重力势能，弹性势能，机械能守恒定律等内容，欢迎下载使用。


一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
(1)公式：Ep＝mgh。
(2)特性：
①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。
②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。
③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
二、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：
弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。即W＝－ΔEp。
三、机械能守恒定律
1．机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功。
(3)守恒表达式：mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝mgh2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)。
一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。(√)
2．重力势能的变化与零势能参考面的选取有关。(×)
3．克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)
4．做曲线运动的物体机械能可能守恒。(√)
5．物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒。(×)
6．只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒。(×)
二、走进教材
1．(粤教版必修2P70讨论与交流改编)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大
B．水平抛出的最大
C．斜向上抛出的最大
D．斜向下抛出的最大
[答案] A
2.(人教版必修2P78T3改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)－mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
[答案] AD
3.(人教版必修2P80T2改编)一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为( )
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
C [小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝eq \f(mv\\al(2,B),1.8R)，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝eq \f(mv\\al(2,A),R)，根据机械能守恒，有1.6mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，解得F＝4mg，C正确。]
机械能守恒的判断 eq \([依题组训练])
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
CD [甲图中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。]
2.如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
D [物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D正确。]
3．(多选)如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中。在下列依次进行的过程中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统机械能守恒的是( )
A．子弹射入物块B的过程
B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达到最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达到最大的过程
BCD [子弹射入物块B的过程中，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以系统机械能不守恒；在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B、弹簧和子弹组成的系统，墙壁给A一个弹力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止；当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时动能和弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒。]
单物体的机械能守恒问题 eq \([讲典例示法])
1．表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选对象：选取研究对象——物体。
(2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)析运动、明状态：恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
eq \([典例示法]) 如图所示，是某公园设计的一种游乐设施，所有轨道均光滑，AB面与水平面成一定夹角。一无动力小滑车质量为m＝10 kg，沿斜面轨道由静止滑下，然后滑入第一个圆形轨道内侧，其轨道半径R＝2.5 m，不计过B点的能量损失，根据设计要求，在圆轨道最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小滑车对轨道的压力，并通过计算机显示出来。小滑车到达第一圆轨道最高点C处时刚好对轨道无压力，又经过水平轨道滑入第二个圆形轨道内侧，其轨道半径r＝1.5 m，然后从水平轨道上飞入水池内，水面离水平轨道的距离为h＝5 m。g取10 m/s2，小滑车在运动全过程中可视为质点。求：
(1)小滑车在第一圆形轨道最高点C处的速度vC的大小；
(2)在第二个圆形轨道的最高点D处小滑车对轨道压力FN的大小；
(3)若在水池内距离水平轨道边缘正下方的E点x＝12 m处放一气垫(气垫厚度不计)，要使小滑车既能安全通过圆轨道又能落到气垫之上，则小滑车至少应从离水平轨道多高的地方开始下滑？
审题指导：
[解析] (1)在C点mg＝meq \f(v\\al(2,C),R)①
解得vC＝5 m/s。②
(2)由C点到D点过程根据机械能守恒
mg2R＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,D)＋mg2r③
在D点mg＋FN′＝meq \f(v\\al(2,D),r)④
所以FN′＝333.3 N⑤
由牛顿第三定律知小滑车对轨道的压力FN为333.3 N。
(3)小滑车要能安全通过圆形轨道，在平台上速度至少为v1，根据机械能守恒有
eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋mg(2R)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)⑥
小滑车要能落到气垫上，在平台上速度至少为v2，则
h＝eq \f(1,2)gt2⑦
x＝v2t⑧
解得v2>v1，所以只要mgH＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，即可满足题意。
解得H＝7.2 m。
[答案] (1)5 m/s (2)333.3 N (3)7.2 m
eq \([跟进训练])
1.如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在最高点时对轨道的压力大小为N2。重力加速度大小为g，则N1－N2的值为( )
A．3mgB．4mg
C．5mgD．6mg
D [设小球在最低点时速度为v1，在最高点时速度为v2，根据牛顿第二定律有，在最低点：N1－mg＝meq \f(v\\al(2,1),R)，在最高点：N2＋mg＝meq \f(v\\al(2,2),R)；从最高点到最低点，根据机械能守恒有mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，联立可得：N1－N2＝6mg，故选项D正确。]
2．取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。如果抛出点足够高，当物块的动能等于重力势能的两倍时，速度与水平方向的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(5π,12)
A [设物块水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h。根据题意，有eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgh，则v0＝eq \r(2gh)；设当物块的动能等于重力势能的两倍时，物块距离地面的高度为h′，由机械能守恒定律得2mgh＝mgh′＋eq \f(1,2)mv2，又2mgh′＝eq \f(1,2)mv2，解得h′＝eq \f(2,3)h，则此时物块在竖直方向上的分速度为vy＝eq \r(2gh－h′)＝eq \r(\f(2,3)gh)，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(\r(3),3)，即速度与水平方向的夹角为eq \f(π,6)，选项A正确。]
3.如图所示，P是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B点以速度v0水平飞出质量为m的小球，恰能从左端A点沿圆弧切线方向进入。O是圆弧的圆心，θ是OA与竖直方向的夹角。已知m＝0.5 kg，v0＝3 m/s，θ＝53°，圆弧轨道半径R＝0.5 m，g取10 m/s2，不计空气阻力和所有摩擦，求：
(1)A、B两点的高度差；
(2)小球能否到达最高点C？如能到达，小球对C点的压力大小为多少？
[解析] (1)小球从B到A做平抛运动，到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有
vA＝eq \f(v0,cs θ)＝5 m/s
根据机械能守恒定律，有
mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
解得A、B两点的高度差h＝0.8 m。
(2)假设小球能到达C点，由机械能守恒定律得
eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)＋mgR(1＋cs θ)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)
代入数据解得vC＝3 m/s
小球通过C点的最小速度为v，
则mg＝meq \f(v2,R)，v＝eq \r(gR)＝eq \r(5) m/s
因为vC>v，所以小球能到达最高点C
在C点，由牛顿第二定律得
mg＋F＝meq \f(v\\al(2,C),R)
代入数据解得F＝4 N
由牛顿第三定律知，小球对C点的压力大小为4 N。
[答案] (1)0.8 m (2)能 4 N
多物体的机械能守恒问题 eq \([讲典例示法])
1．解决多物体系统机械能守恒的三点注意
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情境的分析
(1)速率相等情境
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情境
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情境
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
eq \([典例示法]) 如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm。
审题指导：
[解析] (1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。
由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0，则
sin α＝eq \f(1,2)，α＝30°。
(2)由题意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝eq \f(2mg,k)。A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A、B、C三小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得
4mgxsin α－mgx＝eq \f(1,2)(5m)veq \\al(2,m)
联立化简得vm＝2geq \r(\f(m,5k))。
[答案] (1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
求解多物体机械能守恒的两点注意
(1)多个物体组成的系统在没有机械能和内能间的相互转化时，系统的机械能守恒，单个物体的机械能不守恒，机械能在物体间可以转移，总量保持不变。
(2)对系统的机械能守恒问题，一般列等式ΔEk＝－ΔEp。
eq \([跟进训练])
轻绳连接的物体系统
1.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3)
C [设B球质量为m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2得v2＝eq \f(2,3)gR，B球继续上升的高度h＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(R,3)，B球上升的最大高度为h＋R＝eq \f(4,3)R，故选项C正确。]
轻杆连接的物体系统
2.如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为eq \r(2＋\r(2)gl)
D．a球的最大速度为eq \r(\r(2)gl)
C [a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcs θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由系统机械能守恒有mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)l＋l))＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,b)，解得vb＝eq \r(2＋\r(2)gl)，C正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，由运动的关联可知
此时b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·eq \f(\r(2),2)l＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，解得va＝eq \r(\r(2)gl)，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D错误。]
轻弹簧相连的物体系统
3.如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放。取g=10 m/s2。求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小。
[解析] (1)恢复原长时
对B有mg－FT＝ma
对A有FT－mgsin 30°＝ma
解得FT＝30 N。
(2)初态弹簧压缩x1＝eq \f(mgsin 30°,k)＝10 cm
当A速度最大时mg＝kx2＋mgsin 30°
弹簧伸长x2＝eq \f(mg－mgsin 30°,k)＝10 cm
所以A沿斜面上升x1＋x2＝20 cm。
(3)因x1＝x2，故弹性势能改变量
ΔEp＝0，
由系统机械能守恒mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝eq \f(1,2)×2m·v2
得v＝g·eq \r(\f(m,2k))＝1 m/s。
[答案] (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
用机械能守恒定律解决非质点问题 eq \([讲典例示法])
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。
2．物体虽然不能视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
eq \([典例示法]) 如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a。现自由释放链条，重力加速度为g则：
(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由；
(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？
[解析] (1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。
(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。
该部分高度减少量
h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(L－a,2)))sin α＝eq \f(L＋a,2)sin α
该部分的质量为m′＝eq \f(m,L)(L－a)
由机械能守恒定律可得m′gh＝eq \f(1,2)mv2
解得v＝eq \r(\f(g,L)L2－a2sin α)。
[答案] (1)机械能守恒，理由见解析
(2)eq \r(\f(g,L)L2－a2sin α)
eq \([跟进训练])
1.如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )
A．eq \r(\f(1,8)gh) B．eq \r(\f(1,6)gh)
C．eq \r(\f(1,4)gh) D．eq \r(\f(1,2)gh)
A [如图所示，当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为管中所有液体的动能，根据功能关系有eq \f(1,8)mg·eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)mv2，解得：v＝eq \r(\f(1,8)gh)，A正确。]
2.如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端对齐，当略有扰动时其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度为( )
A．eq \f(\r(gl),2) B．eq \r(\f(gl,2))
C．eq \r(gl)D．2eq \r(gl)
B [铁链从开始到脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为eq \f(1,4)l，链条下落过程，由机械能守恒定律，得mg·eq \f(l,4)＝eq \f(1,2)mv2，计算得出v＝eq \r(\f(gl,2))，故B正确，A、C、D错误。]
定义法
利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法
若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法
若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
关键语句
获取信息
所有轨道光滑
不计摩擦，应考虑机械能守恒
最高点C处时刚好对轨道无压力
圆周运动的临界状态，重力提供向心力
最高点D处对轨道的压力
要求出D处的速度，根据机械能守恒建立C、D之间的关系
既能安全通过圆形轨道又能落到气垫上
能通过C处，又要关注平抛水平距离
关键语句
获取信息
固定的光滑斜面上
系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用
弹簧处于压缩状态，且弹力等于B的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面
弹簧处于伸长状态，且弹力等于C的重力
B、C的质量均为m
弹簧压缩量与伸长量相等，弹性势能相同
A球获得的最大速度vm
A的加速度此时为零