江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期期初模拟测试数学试题

2022-2023学年度江苏省如皋市高三年级第一学期期初模拟测试

数 学 试 题

（考试时间：120分钟  满分：150分   命题：汤玖文）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，，，则等于．(  ▲  )

A.  B.  C.  D.

2. 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为(  ▲  )

A.  B.  C.  D.

3. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是(  ▲  )

A.  B.  C.  D.

4. 设，则(  ▲  )

A.  B.  C.  D.

5. 若是第二象限角，，则(  ▲  )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，内角，，所对的边分别是，，，则“”是“”的（ ▲ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 若函数满足对任意的，都有成立，则称在区间上是“被约束的”若函数在区间上是“被约束的”，则实数的范围是  (  ▲  )

A.  B.  C.  D.

8. 若某线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解的个数为(  ▲  )

A. 个 B. 个 C. 无数个 D. 不确定

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题正确的是(  ▲  )

A. 若，则的最小值为
B. 若，则的最小值为
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最大值为

10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的截距为则下列结论正确的是(  ▲  )

A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数

11. 设函数，则下列结论正确的是(  ▲  )

A.  B.
C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称中心

12. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是(  ▲  )

A.
B.
C. 若，则
D. 函数的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则_____▲_____．
14. 已知数列的前顶和为，，，则数列的通项公式为______▲___．
15. 已知函数在时的最小值为，最大值为，若，则的取值范围为     ▲     ．
16. 已知函数，则时，的最小值为     ▲     ，设，若函数有个零点，则实数的取值范围是     ▲     ．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 本小题分

已知数列是公比大于的等比数列，，且是与的等差中项

求数列的通项公式；

设，为数列的前项和，记，证明：证明：。






 

18. 本小题分

已知向量，，函数．

求函数的最小正周期及单调递增区间

当时，求的值域．
 

19. 本小题分

 正项数列的前项和满足：．

求数列的通项公式；
令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．






 

20. 本小题分
    设，函数，函数，
    求函数的单调区间和最值；
    若当时，对任意的，，都有成立，求实数的取值范围．
    
    
    
    
    
     

21. 本小题分

某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形的长千米，宽千米，半圆的圆心为中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧、线段、组成的观光道路，其中线段经过圆心，点在线段上不含线段端点、，已知道路、的造价为每千米万元，道路造价为每千米万元，设，观光道路的总造价为．

试求与的函数关系式，并写出的取值范围；

当为何值时，观光道路的总造价最小．






 

22. 本小题分
    已知函数．

若，，求函数的最值

若，函数在上是增函数，求的最大整数值．