湘教版九年级上册第3章 图形的相似综合与测试练习题

这是一份湘教版九年级上册第3章 图形的相似综合与测试练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每题3分，共30分)
1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C′等于( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若eq \f(AB,BC)＝eq \f(1,2)，则eq \f(DE,EF)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1
3．下列四组线段中，不是成比例线段的为( )
A．3，6，2，4 B．4，6，5，10
C．1，eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6) D．2，eq \r(5)，2 eq \r(3)，eq \r(15)
4．下列各组图形中有可能不相似的是( )
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
5．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为eq \f(1,3)，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
6．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，为计算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB为( )
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
8．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )
A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)
9．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝eq \f(1,3)FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于( )
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
10．已知△ABC的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根，做一个与△ABC相似的三角形木架，要求以其中一根为一边，将另一根截下两段(允许有余料)作为另外两边，那么另两边的长度分别为( )
A．10 cm，25 cm B．10 cm，36 cm或12 cm，36 cm
C．12 cm，36 cm D．10 cm，25 cm或12 cm，36 cm
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知eq \f(c,4)＝eq \f(b,5)＝eq \f(a,6)≠0，则eq \f(b＋c,a)＝________.
12．如图，∠1＝∠2，添加一个条件____________使得△ADE∽△ACB.
13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．
14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝______，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．
15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且eq \f(OE,EA)＝eq \f(4,3)，则eq \f(FG,BC)＝________．
16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．
17．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____________．
18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则Sn＝______________(用含n的式子表示，n为正整数)．
三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)
19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．

20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；
(2)计算△A′B′C′的面积．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
22．如图，竖立在B处的标杆AB＝2.4米，在F处的观测者从E处看到标杆顶端A、树顶C在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝8米，FB＝2.5米，EF＝1.5米，求树高CD.
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．
(1)若△CEF与△ABC相似．
①当AC＝BC＝2时，AD的长为________．
②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为__________．
(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)当α＝0°和α＝180°时，求eq \f(AE,BD)的值．
(2)试判断当0°≤α＜360°时，eq \f(AE,BD)的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．
参考答案
一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B
7．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
∴eq \f(AB,DC)＝eq \f(BE,CE)，即eq \f(AB,20)＝eq \f(20,10).
∴AB＝40 m.
8．B
9．B 点拨：设AB与OF相交于点M，
∵AF∥OB，
∴△FAM∽△OBM，
∴eq \f(OM,FM) ＝eq \f(BM,AM) ＝eq \f(BO,AF) ＝eq \f(1,2).
设S△BOM＝S，则S△AOM＝2S，
∵OC＝eq \f(1,3)FO，OM＝eq \f(1,2)FM，
∴OM＝OC.
∴S△AOC＝S△AOM＝2S，
S△BOC＝S△BOM＝S.
∴S△ABO：S△AOC：S△BOC＝3：2：1.
10．D 点拨：如果从30 cm长的一根中截，那么60 cm长的一根只能作为最长边，而△ABC的最长边也为60 cm，且另两边长之和大于30 cm，所以不符合题意．如果从60 cm长的一根中截，设截得的短边和长边的长分别为x cm，y cm，那么有三种情况，即20：30＝50：x＝60：y或20：x＝50：30＝60：y或20：x＝50：y＝60：30，解得x＝75，y＝90(x＋y＞60，不符合题意，舍去)或x＝12，y＝36或x＝10，y＝25.故选D.
二、11.eq \f(3,2)
12．∠D＝∠C(答案不唯一)
13．S1＝S2 点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，
∴BC2＝AC·AB.
又∵S1＝BC2, S2＝AC·AD＝AC·AB，
∴S1＝S2.
14．2；1：2；1：6 15.eq \f(4,7)
16.eq \f(60,17) 点拨：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x步，则CD＝x步，AD＝(12－x)步，
∵DE∥CF，
∴△ADE∽△ACB，
∴eq \f(ED,BC)＝eq \f(AD,AC)，
∴eq \f(x,5)＝eq \f(12－x,12)，∴x＝eq \f(60,17).
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是eq \f(60,17)步．
17.eq \f(6,5)或3 点拨：如图．
∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD＝90°，
∴BD＝eq \r(AB2＋AD2)＝10，
当PD＝AD＝8时，BP＝BD－PD＝2，
∵△PBE∽△DBC，
∴eq \f(BP,BD)＝eq \f(PE,CD)，即eq \f(2,10)＝eq \f(PE,6)，
解得PE＝eq \f(6,5)，
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′＝eq \f(1,2)CD＝3，
当PA＝AD时，显然不成立．
故答案为eq \f(6,5)或3.
18.eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n) 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝eq \f(1,2)BC＝1.
在Rt△ABB1中，AB1＝eq \r(AB2－BB21)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，
∴eq \f(S1,S)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2).∴S1＝eq \f(3,4)S.
同理可得S2＝eq \f(3,4)S1，S3＝eq \f(3,4)S2，S4＝eq \f(3,4)S3，….
∵S＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2)，
∴S1＝eq \f(3,4)S＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,4)，
S2＝eq \f(3,4)S1＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)，S3＝eq \f(3,4)S2＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)，S4＝eq \f(3,4)S3＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(4)，…，Sn＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n).
三、19.解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.
∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴eq \f(BC,FG)＝eq \f(AB,EF)，
∴x∶7＝12∶6，解得x＝14.
20．解：(1)如图．

(2)S△A′B′C′＝4×4－eq \f(1,2)×2×2－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×2×4＝6.
21．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠ADC＝90°.
∴△BDE∽△CAD.
(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD＝5.
∵AC＝AB＝13，
∴由勾股定理可知
AD＝eq \r(AC2－CD2)＝12.
由(1)中△BDE∽△CAD可知eq \f(DE,AD)＝eq \f(BD,AC)，得eq \f(DE,12)＝eq \f(5,13)，故DE＝eq \f(60,13).
22．解：过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G，如图所示．

由题意得，EF⊥FD，AB⊥FD，
CD⊥FD.
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝2.5米，GH＝BD＝8米，
∴AG＝AB－GB＝2.4－1.5＝0.9(米)．
∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，∴eq \f(AG,CH)＝eq \f(EG,EH)，
∴eq \f(0.9,CH)＝eq \f(2.5,2.5＋8)，
解得CH＝3.78米，
∴CD＝CH＋DH＝3.78＋1.5＝5.28(米)．
答：树高CD为5.28米．
23．解：(1)①eq \r(2) ②eq \f(9,5)或eq \f(5,2)
(2)相似．理由：连接CD交EF于点O.
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD＝DB＝eq \f(1,2)AB，
∴∠DCB＝∠B，
由折叠知∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠DCB＋∠CFE＝90°，
∴∠B＋∠CFE＝90°.
∵∠CEF＋∠CFE＝90°，
∴∠B＝∠CEF.
在△CEF和△CBA中，∠ECF＝∠BCA，∠CEF＝∠B，
∴△CEF∽△CBA.
24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴BD＝4，AE＝EC＝eq \f(1,2)AC.
∵∠B＝90°，
∴AC＝eq \r(82＋42)＝4 eq \r(5)，
∴AE＝CE＝2 eq \r(5)，
∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(2 \r(5),4)＝eq \f(\r(5),2).
当α＝180°时，如图①，
易得AC＝4 eq \r(5)，CE＝2 eq \r(5)，CD＝4，
∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC＋CE,BC＋CD)＝eq \f(4 \r(5)＋2 \r(5),8＋4)＝eq \f(\r(5),2).

(2)无变化．
证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)，∠EDC＝∠B＝90°.
在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴eq \f(CE,CA)＝eq \f(CD,CB)仍然成立．
∵∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD.∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(AC,BC).
由(1)可知AC＝4 eq \r(5).
∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(4 \r(5),8)＝eq \f(\r(5),2).∴eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2).
∴eq \f(AE,BD)的大小不变．
(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4 eq \r(5)；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝eq \r(AC2－CD2)＝8.又知DE＝2，∴AE＝6.
∵eq \f(AE,BD)＝eq \f(\r(5),2)，∴BD＝eq \f(12 \r(5),5).
综上，BD的长为4 eq \r(5)或eq \f(12 \r(5),5).