第3节　电容器的电容　带电粒子在电场中的运动-2023年高考物理一轮复习对点讲解与练习（通用版）

第六章  静电场

第3节　电容器的电容　带电粒子在电场中的运动

考点一　平行板电容器的动态分析

【知识梳理】

1．常见电容器

(1)组成：由两个彼此绝缘又相互靠近的导体组成。

(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。

(3)电容器的充、放电

充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。

放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。

2．电容

(1)定义：电容器所带的电荷量与电容器两极板间的电势差的比值。

(2)定义式：C＝。

(3)物理意义：表示电容器容纳电荷本领大小的物理量。

(4)单位：法拉(F)，1 F＝106 μF＝1012 pF。

3．平行板电容器

(1)影响因素：平行板电容器的电容与极板的正对面积成正比，与电介质的相对介电常数成正比，与极板间距离成反比。

(2)决定式：C＝，k为静电力常量。

4．两种类型的动态分析思路

(1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．

(2)用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化．

(3)用定义式C＝判定电容器所带电荷量Q或两极板间电压U的变化．

(4)用E＝分析电容器两极板间电场强度的变化．

【诊断小练】

(1)电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和。(    )

(2)电容器的电容与电容器所带电荷量成反比。(     )

(3)放电后的电容器电荷量为零，电容也为零。(     )

(4)从C＝可以看出，电容的大小取决于带电荷量和电压．(　　)

(5)从C＝可以看出，电容的大小取决于电介质的种类、极板正对面积和两极板的位置关系．(　　)

(6)C＝是适用于各种电容器的定义式，C＝是只适用于平行板电容器的决定式．(　　)

【命题突破】

命题点1　电容器与电源相连接

1. 如图所示的装置，可以探究影响平行板电容器电容的因素，关于下列操作及出现的现象的描述正确的是(　　)

A．电容器与电源保持连接，左移电容器左极板，则静电计指针偏转角增大

B．电容器充电后与电源断开，上移电容器左极板，则静电计指针偏转角增大

C．电容器充电后与电源断开，在电容器两极板间插入玻璃板，则静电计指针偏转角增大

D．电容器充电后与电源断开，在电容器两极板间插入金属板，则静电计指针偏转角增大

2．如图，平行板电容器的两极板竖直放置并分别与电源的正负极相连，一带电小球经绝缘轻绳悬挂于两极板之间，处于静止状态．现保持右极板不动，将左极板向右缓慢移动．关于小球所受的电场力大小F和绳子的拉力大小T，下列判断正确的是(　　)

A．F逐渐减小，T逐渐减小

B．F逐渐增大，T逐渐减小

C．F逐渐减小，T逐渐增大

D．F逐渐增大，T逐渐增大

【方法总结】

　平行板电容器动态问题的分析思路

命题点2　电容器与静电计(验电器)相连接

3.研究与平行板电容器电容有关因素的实验装置如图所示。下列说法正确的是(　　)

A．实验前，只用带电玻璃棒与电容器a板接触，能使电容器带电

B．实验中，只将电容器b板向上平移，静电计指针的张角变小

C．实验中，只在极板间插入有机玻璃板，静电计指针的张角变大

D．实验中，只增加极板带电量，静电计指针的张角变大，表明电容增大

【方法总结】

两类动态变化问题的比较

考点二　带电粒子在电场中的直线运动

【知识梳理】

1．做直线运动的条件

(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动．

(2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速　直线运动．

2．用动力学观点分析

a＝，E＝，v2－v＝2ad.

3．用功能观点分析

匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv

非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1

【诊断小练】

(1)带电粒子在匀强电场中只能做类平抛运动．(　　)

(2)带电粒子在电场中，只受电场力时，也可以做匀速圆周运动．(　　)

(3)带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略．(　　)

(4)带电粒子在电场中做直线运动时一定被加速．(　　)

(5)示波管屏幕上的亮线是由于电子束高速撞击荧光屏而产生的。(     )

(6)带电粒子在电场中运动时重力一定可以忽略不计。(    )

【命题突破】

命题点1　仅在电场力作用下的直线运动

1．如图，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平；两微粒a、b所带电荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，与极板距离相等。现同时释放a、b，它们由静止开始运动。在随后的某时刻t，a、b经过电容器两极板间下半区域的同一水平面。a、b间的相互作用和重力可忽略。下列说法正确的是(　　)

A．a的质量比b的大

B．在t时刻，a的动能比b的大

C．在t时刻，a和b的电势能相等

D．在t时刻，a和b的动量大小相等

命题点2　在重力、电场力作用下的直线运动

2．如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量为q，从极板M的左边缘A处以初速度v0水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，则(　　)

A．微粒到达B点时动能为mv02

B．微粒的加速度大小等于gsin θ

C．两极板的电势差UMN＝

D．微粒从A点到B点的过程电势能减少

3．真空中存在电场强度大小为E1的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v0.在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变．持续一段时间t1后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点．重力加速度大小为g.

(1)求油滴运动到B点时的速度．

(2)求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t1和v0应满足的条件．已知不存在电场时，油滴以初速度v0做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍．

【归纳总结】

1．带电粒子在电场中运动时重力的处理

2.带电体在匀强电场中的直线运动问题的分析方法

考点三　带电粒子在电场中的偏转运动

【知识梳理】

1．基本规律

设粒子带电荷量为q，质量为m，两平行金属板间的电压为U，板长为l，板间距离为d(忽略重力影响)，则有

(1)加速度：a＝＝＝.

(2)在电场中的运动时间：t＝.

(3)速度

v＝，tan θ＝＝.

(4)位移

2．两个结论

(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时的偏转角度总是相同的．

证明：由qU0＝mv及tan φ＝得tan φ＝.

(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到电场边缘的距离为.

3．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系

当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．

【诊断小练】

如图，含有大量H、H、He的粒子流无初速度进入某一加速电场，然后沿平行金属板中心线上的O点进入同一偏转电场，最后打在荧光屏上．下列有关荧光屏上亮点分布的判断是否正确．

(1)出现三个亮点，偏离O点最远的是H.(　　)

(1)出现三个亮点，偏离O点最远的是He.(　　)

(3)出现两个亮点．(　　)

(4)只会出现一个亮点．(　　)

【命题突破】

命题点1　带电粒子在电场中偏转的能量转化

1．如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异号电荷．一带电微粒水平射入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么(　　)

A．若微粒带正电荷，则A板一定带正电荷

B．微粒从M点运动到N点电势能一定增加

C．微粒从M点运动到N点动能一定增加

D．微粒从M点运动到N点机械能一定增加

命题点2　利用类平抛运动规律处理偏转运动问题

2．如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速地飘入电场线水平向右的加速电场E1，之后进入电场线竖直向下的匀强电场E2发生偏转，最后打在屏上．整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，那么(　　)

A．偏转电场E2对三种粒子做功一样多

B．三种粒子打到屏上时的速度一样大

C．三种粒子运动到屏上所用时间相同

D．三种粒子一定打到屏上的同一位置

3．如图，两水平面(虚线)之间的距离为H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场．自该区域上方的A点将质量均为m、电荷量分别为q和－q(q>0)的带电小球M、N先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出．小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开．已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为N刚离开电场时动能的1.5倍．不计空气阻力，重力加速度大小为g.求：

(1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比；

(2)A点距电场上边界的高度；

(3)该电场的电场强度大小．

命题点3　带电粒子在电场中偏转的综合问题分析

4．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，在第Ⅰ象限内有与y轴平行、方向向上的匀强电场区域，区域形状是直角三角形，三角形斜边分别与x轴和y轴相交于(L,0)和(0，L)点．区域左侧沿x轴正方向射来一束具有相同质量m、电荷量为－q(q＞0)和初速度v0的带电微粒，这束带电微粒分布在0＜y＜L的区间内，其中从y＝的点射入场区的带电微粒刚好从(L,0)点射出场区，不计带电微粒的重力，求：

(1)电场强度大小；

(2)从0＜y＜的区间射入场区的带电微粒，射出场区时的x坐标值和射入场区时的y坐标值的关系式；

(3)射到(2L,0)点的带电微粒射入场区时的y坐标值．

考点四　解决带电粒子在交变电场中运动的方法

方法一　借助图象，展示物理过程

带电粒子在交变电场中运动时，受电场力作用，其加速度、速度等均做周期性变化．借助图象来描述它在电场中的运动情况，可直观展示物理过程，从而获得启迪，快捷地分析求解．

1. 如图(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是(　　)

A．0＜t0＜  

B．＜t0＜

C.＜t0＜T  

D．T＜t0＜

【归纳总结】

本题物理情景简单，但隐含条件较多．如打在A板上时速度方向为向左，位移方向为向左，做此类题目注意隐含条件的挖掘．另外，速度—时间图象的合理应用，可提高同学们的解题速度．

方法二　巧取分运动，化繁为简

某个方向的分运动不会因其他分运动的存在而受到影响，这就是运动的独立性原理，应用这一原理可以简捷分析某些带电粒子在交变电场中运动的问题．

2. 如图(a)所示，平行板电容器间距为d，两板所加电压如图(b)所示，t＝0时刻，质量为m、带电荷量为q的粒子以平行于极板的速度v0射入电容器，2.5T时恰好落在下极板上，带电粒子的重力不计，在这一过程中，求：

(1)该粒子的水平位移；

(2)粒子落到下极板时的速度．

方法三　巧建模型，化难为易

对于某些实际的物理过程，可根据题设条件，运用近似处理方法，通过简化描述来反映事物基本的物理特征，这有助于迅速、准确确定出解题方向和策略，使问题得到迅速解决．

3. 在真空中速度为v＝6.4×107 m/s的电子束连续地射入两平行极板之间，极板长度为L＝8.0×10－2 m，间距为d＝5.0×10－3 m，电子束沿两极板间的中线通过，如图所示，在两极板上加上50 Hz的交变电压u＝Umsin ωt，如果所加电压的最大值超过某一值UC，将开始出现以下现象：电子有时能通过两极板，有时不能通过，求UC的大小．(电子的比荷为1.76×1011C/kg)

【考能提升·对点演练】

1.如图所示为一只“极距变化型电容式传感器”的部分构件示意图．当动极板和定极板之间的距离d变化时，电容C便发生变化，通过测量电容C的变化就可知道两极板之间距离d的变化的情况．在下列图中能正确反映C与d之间变化规律的图象是(　　)

2．一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上．若将云母介质移出，则电容器(　　)

A．极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大

B．极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大

C．极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变

3．如图所示，电源电动势为E，内阻为r.电路中的R1为光敏电阻(其电阻随光照强度增大而减小)．R2为滑动变阻器，D为理想二极管，当开关S闭合时，电容器C中一带电微粒恰好处于静止状态．下列说法中正确的是(　　)

A．只增大R1的光照强度，电压表示数变小

B．只增大R1的光照强度，电流表示数变小

C．只将滑片向上端移动时，带电微粒将向下运动

D．若断开开关S，带电微粒将向下运动

4．如图所示，从灯丝发出的电子经加速电场加速后，进入偏转电场，若加速电压为U1，偏转电压为U2.仅仅改变加速电压后，电子在电场中的侧移量y增大为原来的2倍，下列说法中正确的是(　　)

A．加速电压U1减小到了原来的1/2

B．偏转电场对电子做的功变为原来的2倍

C．电子飞出偏转电场时的速度变为原来的2倍

D．电子飞出偏转电场时的偏转角变为原来的2倍

5．如图所示，A、B为水平正对放置的平行金属板，板间距离为d，一质量为m的带电油滴在两金属板之间，油滴运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比．将油滴由静止释放，若两金属板间的电压为零，一段时间后油滴以速率v匀速下降．若两金属板间加电压U，一段时间后油滴以速率2v匀速上升．由此可知油滴所带电荷量的大小为(　　)

A.            B．

C.           D．

6．如图所示，示波器的示波管可视为加速电场与偏转电场的组合，若已知加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转极板长为L，极板间距为d，且电子被加速前的初速度可忽略，则关于示波器灵敏度【即偏转电场中每单位偏转电压所引起的偏转量()】与加速电场、偏转电场的关系，下列说法中正确的是(　　)

A．L越大，灵敏度越高  

B．d越大，灵敏度越高

C．U1越大，灵敏度越高  

D．U2越大，灵敏度越高

7．如图所示，一价氢离子(H)和二价氦离子(He)的混合体，经同一加速电场加速后，垂直射入同一偏转电场中，偏转后，打在同一荧光屏上，则它们(　　)

A．同时到达屏上同一点  

B．先后到达屏上同一点

C．同时到达屏上不同点  

D．先后到达屏上不同点

8．如图所示，A、B为水平放置的两个平行金属板，两板相距d，分别与电源两极相连，两板的中央各有一个小孔M和N.今有一带电油滴，质量为m，从A板的上方距A板为d的P点由静止开始自由下落(P、M、N在同一竖直线上)，空气阻力忽略不计，带电油滴通过N孔时的动能Ek＜2mgd.若将极板A向上移一小段距离，到图中虚线所示位置，则带电油滴通过N孔时的动能Ek′和油滴所带电荷的种类是(　　)

A．油滴带正电，Ek′＝Ek  

B．油滴带正电，Ek′＜Ek

C．油滴带负电，Ek′＝Ek  

D．油滴带负电，Ek′＜Ek

9.如右图所示，质量相等的两个带电液滴1和2从水平方向的匀强电场中O点静止释放后，分别抵达B、C两点，若AB＝BC，则它们带电荷量之比q1∶q2等于(　　)

A．1∶2  

B．2∶1 

C．1∶  

D．∶1

10．如图所示，平行板电容器两极板接在电压恒为U的直流电源上，上极板A接地，两个带正电的点电荷被固定于极板间的P、Q两点，忽略两点电荷对板间电场的影响，现将平行板电容器的下极板B竖直向下移动一小段距离，则(　　)

A．两点电荷间的库仑力变小

B．P、Q两点的电势可能降低

C．两点电荷的电势能可能减小

D．电容器的电容减小，极板带电荷量增大

11．喷墨打印机的简化模型如图所示，重力可忽略的墨汁微滴，经带电室带负电后，以速度v垂直匀强电场飞入极板间，最终打在纸上，则微滴在极板间电场中(　　)

A．向负极板偏转

B．电势能逐渐增大

C．运动轨迹是抛物线

D．运动轨迹与所带电荷量无关

12．如图所示，电容器极板间有一可移动的电介质板，介质与被测物体相连，电容器接入电路后，通过极板上物理量的变化可确定被测物体的位置，则下列说法中正确的是(　　)

A．若电容器极板间的电压不变，x变大，电容器极板上带电荷量增加

B．若电容器极板上带电荷量不变，x变小，电容器极板间电压变大

C．若电容器极板间的电压不变，x变大，有电流流向电容器的正极板

D．若电容器极板间的电压不变，x变大，有电流流向电容器的负极板

13．如图，平行板电容器两极板的间距为d，极板与水平面成45°角，上极板带正电．一电荷量为q(q＞0)的粒子在电容器中靠近下极板处，以初动能Ek0竖直向上射出．不计重力，极板尺寸足够大，若粒子能打到上极板，则两极板间电场强度的最大值为(　　)

A.  B．

C.  D．

14．真空中的某装置如图所示，其中平行金属板A、B之间有加速电场，C、D之间有偏转电场，M为荧光屏．今有质子、氘核和α粒子均由A板从静止开始被加速电场加速后垂直于电场方向进入偏转电场，最后打在荧光屏上．已知质子、氘核和α粒子的质量之比为1∶2∶4，电荷量之比为1∶1∶2，则下列判断中正确的是(　　)

A．三种粒子从B板运动到荧光屏经历的时间相同

B．三种粒子打到荧光屏上的位置相同

C．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶2

D．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶4

15．如图甲所示，一光滑绝缘细杆竖直放置，与细杆右侧距离为d的A点处有一固定的正点电荷，细杆上套有一带电小环，设小环与点电荷的竖直高度差为h，将小环无初速度地从h高处释放后，在下落至h＝0的过程中，其动能Ek随h的变化曲线如图乙所示，则(　　)

A．小环可能带负电

B．从h高处下落至h＝0的过程中，小环电势能增加

C．从h高处下落至h＝0的过程中，小环经过了加速、减速、再加速三个阶段

D．小环将做以O点为中心的往复运动

16.如图，两平行的带电金属板水平放置．若在两板中间a点从静止释放一带电微粒，微粒恰好保持静止状态．现将两板绕过a点的轴(垂直于纸面)逆时针旋转45°，再由a点从静止释放一同样的微粒，该微粒将(　　)

A．保持静止状态

B．向左上方做匀加速运动

C．向正下方做匀加速运动

D．向左下方做匀加速运动

17．如图甲所示，长为L、间距为d的两金属板A、B水平放置，ab为两板的中心线，一个带电粒子以速度v0从a点水平射入，沿直线从b点射出，若将两金属板接到如图乙所示的交变电压上，欲使该粒子仍能从b点以速度v0射出，求：

(1)交变电压的周期T应满足什么条件？

(2)粒子从a点射入金属板的时刻应满足什么条件？

18.在真空中水平放置平行板电容器，两极板间有一个带电油滴，电容器两板间距为d，当平行板电容器的电压为U0时，油滴保持静止状态，如图所示．当给电容器突然充电使其电压增加ΔU1时，油滴开始向上运动；经时间Δt后，电容器突然放电使其电压减少ΔU2，又经过时间Δt，油滴恰好回到原来位置．假设油滴在运动过程中没有失去电荷，充电和放电的过程均很短暂，这段时间内油滴的位移可忽略不计．重力加速度为g.求：

(1)带电油滴所带电荷量与质量之比；

(2)第一个Δt与第二个Δt时间内油滴运动的加速度大小之比；

(3)ΔU1与ΔU2之比．