2020-2021学年4.1 指数学案

第1课时　指数函数的概念、图象及性质

课程标准

(1)了解指数函数的概念．(2)会画出指数函数图象．(3)会求指数函数的定义域、值域．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　指数函数的定义

一般地，函数________(a>0，且a≠1❶)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.

要点二　指数函数的图象和性质

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

助 学 批 注

批注❶　规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，ax可能无意义；②当a＞0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a＞0，且a ≠1.

批注❷　底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．

批注❸　无论a取a＞0，且a ≠1中的任何实数，指数函数的图象都过(0，1)点．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝x2是指数函数．(　　)

(2)y＝2x－1是指数函数．(　　)

(3)指数函数的图象都在x轴上方．(　　)

(4)因为a0＝1(a＞0且a≠1)，所以函数y＝ax恒过(1，0)点．(　　)

2．下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A．y＝(－3)x    B．y＝－3x

C．y＝3x－1      D．y＝()x

3．指数函数y＝f(x)的图象过点(2，4)，则f(3)的值为(　　)

A．4      B．8

C．16     D．1

4．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点，则它的坐标为________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　指数函数的概念

例1　(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　　)

A.y＝(－4)x    B．y＝πx

C．y＝－4x    D．y＝ax＋2(a＞0且a≠1)

(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　)

A．(－2，)    B．(－1，)

C．(1，2)      D．(3，)

方法归纳

1．判断一个函数是指数函数的策略

2．求指数函数解析式的一般步骤

巩固训练1　(1)函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值是(　　)

A．a＞1且a≠1    B．a＝1

C．a＝1或a＝2    D．a＝2

(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________．

题型 2　指数型函数图象

例2　(1)函数f(x)＝2ax－3＋1(a>0且a≠0)的图象必经过点________．

(2)

如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)

A．a＜b＜1＜c＜d    B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d    D．a＜b＜1＜d＜c

方法归纳

解决与指数函数有关图象问题的策略

巩固训练2　(1)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是(　　)

(2)设函数f(x)＝3ax＋1－1(a＞0且a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝________．

题型3　指数型函数的定义域、值域

例3　(1)[2022·山东胶州高一期中]函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．(3，＋∞)    B．[3，＋∞)

C．(4，＋∞)    D．[4，＋∞)

(2)函数y＝()x2－2的值域为________．

方法归纳

1．指数型函数y＝af(x)的定义域的求法

函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同

2．求指数型函数y＝af(x)值域的一般步骤

巩固训练3　函数y＝的定义域为________，值域为________．

第1课时　指数函数的概念、图象及性质

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

y＝ax

要点二

(0，1)　0　1　y>1　0<y<1　0<y<1　y>1　增函数　减函数

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：由指数函数的定义可知选项D正确．

答案：D

3．解析：设指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则a2＝4，所以a＝2，即f(x)＝2x，所以f(3)＝8.

答案：B

4．解析：令x－2＝0，x＝2，此时y＝1，

所以它的坐标是(2，1)．

答案：(2，1)

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)由指数函数的定义可知，只有B符合．

(2)设f(x)＝ax，(a>0，且a≠1)，

∵f(－1)＝＝2，∴a＝，

即f(x)＝()x

因为f(－2)＝()－2＝4，f(－1)＝()－1＝2，

f(1)＝，f(3)＝()3＝，所以D正确．

答案：(1)B　(2)D

巩固训练1　解析：(1)由指数函数的定义，得，解得a＝2.

(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

由f＝得＝，

所以a＝3，

所以f(x)＝3x，

所以f(－2)＝3－2＝.

答案：(1)D　(2)

例2　解析：(1)因为函数f(x)＝2ax－3＋1，其中a>0，a≠1，

令x－3＝0得x＝3，把x＝3代入函数的解析式得y＝3，

所以函数f(x)＝2ax－3＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点的坐标为(3，3)．

(2)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1，0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.

答案：(1)(3，3)　(2)B

巩固训练2　解析：(1)需要对a讨论：

①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0<a<1时，f(x)＝ax过原点且斜率小于1，g(x)＝ax是减函数，显然B正确．

(2)令x＋1＝0，即x＝－1时，此时f(－1)＝2.

∴m＝－1，n＝2，∴m＋n＝－1＋2＝1.

答案：(1)B　(2)1

例3　解析：(1)由，得x>3，

所以函数的定义域为(3，＋∞)．

(2)由于x2－2≥－2，y＝()x在R上单调递减，

所以0<≤()－2＝4，

所以函数y＝的值域为(0，4].

答案：(1)A　(2)(0，4]

巩固训练3　解析：要使函数有意义，则x－1≠0，∴x≠1，

∴函数的定义域为{x|x≠1}，

由于＝＝1＋≠1，

≠2且>0，即y>0且y≠2.

∴函数的值域为(0，2)

答案：{x|x≠1}　(0，2)