高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案设计

第1课时　函数的单调性

课程标准

(1)了解函数的单调区间、单调性等概念．(2)会划分函数的单调区间，判断单调性．

(3)会用定义证明函数的单调性．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　增函数与减函数的定义

要点二　函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间I上______________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性❷，区间I叫做y＝f(x)的________________．

助 学 批 注

批注❶　“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般．

批注❷　(1)函数的单调性也叫函数的增减性；

(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1，2]上是增函数．(　　)

(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　)

(3)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数．(　　)

(4)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)上单调递减.(　　)

2．(多选)如图是函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)在下列区间单调递减的是(　　)

A．[－6，－4]       B．[－4，－1]

C.  [－1，2]         D．[2，5]

3．[2022·北京大兴高一期中]下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　　)

A.y＝x3            B．y＝3－x

C.y＝             D．y＝－x2＋4

4．函数y＝的单调递减区间是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　求函数的单调区间

例1　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝

(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.

方法归纳

1．求函数单调区间的方法

2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“和”连接，不能用“∪”连接．

巩固训练1　画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．

题型 2　函数单调性的判定与证明

例2　证明函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数．

方法归纳

利用定义判断或证明函数单调性的步骤

巩固训练2　[2022·湖南长沙高一期中]用函数单调性定义证明：函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．

题型 3　函数单调性的应用

例3　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．

(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．

(3)若函数 f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为________.

方法归纳

1．由函数解析式求参数

2．利用抽象函数单调性求范围

①依据：定义在[m，n]上的单调增(减)函数中，函数值与自变量的关系为f(a)＜f(b)⇒

②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题．

巩固训练3　(1)已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]

B．[2，3]

C．(－∞，－3]

D．[－3，－2]

(2)设函数f(x)是R上的减函数，若f(m2＋2)＞f(2m＋5)，则实数m的取值范围是________．

第1课时　函数的单调性

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

f(x1)＜f(x2)　f(x1)＞f(x2)　增　减

要点二

单调递增或单调递减　单调区间

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：结合图象易知，

函数f(x)在区间[－4，－1]、[2，5]上单调递减．

答案：BD

3．解析：对于A，y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，故A正确．对于B，y＝3－x在(0，＋∞)上是减函数，故B错误．对于C，y＝在(0，＋∞)上是减函数，故C错误．对于D，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上是减函数，故D错误．

答案：A

4．解析：函数y＝的单调递减区间应是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能写成(－∞，0)

答案：(－∞，0)和(0，＋∞)

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，

其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x＜1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，

函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．

f(x)在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．

巩固训练1　

解析：y＝|x|(x－2)＝

函数的图象如图所示．

由函数的图象知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．

例2　证明：设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个不同实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋()＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)(1－)＝.

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，则－1＋x1x2＜0，

∴＞0，

即f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数．

巩固训练2　证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个不同实数且x1>x2，

则x1－x2＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，

y1－y2＝＝＞0，

∴y1＞y2，

∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．

例3　解析：(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.

∴实数a的取值范围为(－∞，－4].

(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)＞f(5x－6)，

∴2x－3＞5x－6，即x＜1，∴实数x的取值范围为(－∞，1)．

(3)∵函数f(x)＝是定义在R上的减函数，

∴　∴

解得≤a＜，

∴a的取值范围为.

答案：(1)(－∞－4]　(2)(－∞，1)　(3)

巩固训练3　解析：(1)由题知，当－≤2或－≥3，即a≤2或a≥3时，满足题意．

(2)因为函数f(x)是R上的减函数，则f(m2＋2)＞f(2m＋5)等价于m2＋2＜2m＋5，即m2－2m－3＜0，即(m＋1)(m－3)＜0，解得－1＜m＜3，即m∈(－1，3)．

答案：(1)A　(2)(－1，3)