高中3.2 函数的基本性质学案

第2课时　函数的最大(小)值

课程标准

(1)理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(2)能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(3)能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　函数的最大值与最小值

助 学 批 注

批注❶　函数的最值与值域的关系：

(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．

(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．

(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何函数都有最大(小)值．(　　)

(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的．(　　)

(3)函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(　　)

(4)如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M].(　　)

2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)

A．有最大值无最小值

B.有最小值无最大值

C．有最大值也有最小值

D.无最大值也无最小值

3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为(　　)

A．3，5    B．－3，5

C.1，5     D．－5，3

4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　利用函数的图象求函数的最值

例1　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值．

方法归纳

图象法求最值的一般步骤

巩固训练1　若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)

A．2      B．1

C．－1    D．无最大值

题型 2　利用函数的单调性求最值

例2　已知函数f(x)＝.

(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．

方法归纳

函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．

巩固训练2　求函数y＝在区间[2，6]上的最大值和最小值．

题型 3　求二次函数的最值

例3　(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值．

(2)求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．

(3)已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0，1]上的最大值．

方法归纳

求二次函数最值问题的解题策略

一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解．

巩固训练3　已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．

第2课时　函数的最大(小)值

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

≤　≥　f(x0)＝M　纵坐标　纵坐标

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)单调递减，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．

答案：A

3．解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.

答案：B

4．解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，

∴ymax＝2，ymin＝－1.

答案：－1，2

题型探究·课堂解透

例1　解析：作出f(x)的图象如图：

由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值2；当x＝时，f(x)取最小值－.

所以f(x)的最大值为2，最小值为－.

巩固训练1　解析： 在同一坐标系中，作出函数的图象(如图中的实线部分)，

则f(x)max＝f(1)＝1.

答案：B

例2　解析：(1)f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：任取－1<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝＝，

因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，

所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，

最大值f(4)＝＝.

巩固训练2　解析：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝＝

由于2<x1<x2<6, 得x2－ x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)

所以，函数y＝在区间[2，6]上单调递减．

x＝2时取最大值，最大值是2，在x＝6时取最小值，最小值为.

例3　解析：(1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．

图1

∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.

(2)当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，

函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；

当t>1时，函数图象如图2所示，

图2

图3

函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，

所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，

函数图象如图3所示，最小值为

g(t)＝f(1)＝1，

综上所述，g(t)＝.

(3)因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝，

当，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；

当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.

综上f(x)max＝.

巩固训练3　解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a，对称轴为x＝a.

(1)当a<0时，f(x)在[0，1]上单调递减，∴f(0)＝2，即a＝－2.

(2)当a>1时，f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(1)＝2，即a＝3.

(3)当0≤a≤1时，f(x)在[0，a]上单调递增，在[a，1]上单调递减，

∴f(a)＝2，即a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1，与0≤a≤1矛盾．

综上a＝－2或a＝3.