人教A版(2019)高中数学必修第一册专项培优第3章章末复习课导学案

这是一份人教A版(2019)高中数学必修第一册专项培优第3章章末复习课导学案，共6页。

专项培优 3 章末复习课知识网络·形成体系　考点聚焦·分类突破考点一　求函数的定义域1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．2．通过对函数的定义域的求解，提升学生的数学运算素养．例1　(1)[2022·湖南长郡中学高一期末]函数f(x)＝xx-1+x-1的定义域是(　　)A．[1，＋∞)　　　 　　 B．[－1，＋∞)C．(－∞，1)∪1，+∞ D.1，+∞(2)函数y＝x-10x+x的定义域是(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(0，1)∪1，+∞D．(－∞，－1)∪-1，0∪0，+∞考点二　分段函数1．分段函数在定义域的不同部分上有不同的表达式，主要考查与分段函数有关的求值、求参数、单调性、奇偶性等问题．2．通过对分段函数的考查，提升学生的数学运算素养．例2　(1)己知函数f(x)＝x2，x＜3fx-2，x≥3，则f(f(5))＝________．(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x+a，x＜1-x-2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．考点三　求函数的解析式1．求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f(1x)，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．2．通过对函数解析式的求解，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例3　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．(2)已知f(1+xx)＝1+x2x2+1x，则f(x)的解析式为________．考点四　函数的单调性与奇偶性1．函数的单调性与奇偶性是函数最重要的性质，从命题形式看，求单调区间、单调性与奇偶性的判定，利用单调性求最值或参数的取值范围是命题的重点与热点．2．通过对函数性质的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例4　 已知函数f(x)＝mx+11+x2是R上的偶函数．(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性(不必证明)；(2)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值和最小值．考点五　函数模型的应用1．对函数模型应用的考查以二次函数与分段函数为主．2．通过对函数模型在实际问题上的掌握，提升学生的数学建模、逻辑推理素养．例5　党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展．新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2 500万元．每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝10x2+500x，0＜x＜40901x+10 000x-4 300，x≥40.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售－成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．专项培优3　章末复习课考点聚集·分类突破例1　解析：(1)由解析式有意义可得x-1≥0x-1≠0，故x＞1，故函数的定义域为(1，＋∞)(2)由题意可得：x-1≠0x+x≥0x+x≠0，解得：x＞0且x≠1，所以原函数的定义域为(0，1)∪1，+∞．答案：(1)D　(2)C例2　解析：(1)因为函数f(x)＝x2，x＜3fx-2，x≥3，所以f(5)＝f(3)＝f(1)＝12＝1，所以f(f(5))＝f(1)＝12＝1.(2)当a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，所以f(1－a)＝f(1＋a)，2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－32＜0，不满足，舍去；当a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－34＜0，满足．答案：(1)1　(2)－34例3　解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝-x＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝-x＋1，∴f(x)＝－-x－1.∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝1+x，x＞0，0，x=0，--x-1，x＜0.(2)令t＝1+xx＝1x＋1，则t≠1.把x＝1t-1代入f(1+xx)＝1+x2x2+1x，得f(t)＝1+1t-121t-12+11t-1＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪1，+∞．答案：(1)f(x)＝1+x，x＞00，x=0--x-1，x＜0(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪1，+∞例4　解析：(1)若函数f(x)＝mx+11+x2是R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)．即m-x+11+-x2＝mx+11+x2，解得m＝0.所以f(x)＝11+x2.函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又函数f(x)是R上的偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以函数f(x)在[－3，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减．又f(－3)＝110，f(0)＝1，f(2)＝15，所以f(x)min＝f(－3)＝110，f(x)max＝f(0)＝1.例5　解析：(1)当0＜x＜40时，L(x)＝9×100x－10x2－500x－2 500＝－10x2＋400x－2 500；当x≥40时，L(x)＝9×100x－901x－10 000x＋4 300－2 500＝1 800－(x＋10 000x)；所以L(x)＝-10x2+400x-2 500，0＜x＜401 800-x+10 000x，x≥40(2)当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－20)2＋1 500，当x＝20时，L(x)max＝1 500；当x≥40时，L(x)＝1 800－(x＋10 000x)≤1 800－2x·10 000x＝1 800－200＝1 600.(当且仅当x＝10 000x即x＝100时，“＝”成立)因为1 600＞1 500所以，当x＝100时，即2020年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1 600万元．