人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案及答案

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

课程标准

(1)会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(2)能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　二倍角❶公式

助 学 批 注

批注❶　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是的2倍等．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．(　　)

(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　)

(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(　　)

(4)对于任意角α，总有tan 2α＝.(　　)

2．已知sinα＝，cos α＝，则sin 2α等于 (　　)

A．         B．   

C．        D．

3．已知sin α＝－，则cos 2α的值为(　　)

A．－      B．

C．          D．－

4．已知tan α＝－，则tan 2α＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　给角求值

例1　求下列各式的值：

(1)sin2π－cos2π；

(2)；

(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

方法归纳

利用二倍角公式解决给角求值问题的策略

巩固训练1　(1)的值为(　　)

A．－        B．－

C．          D．

(2)2sin18°cos 36°的值为(　　)

A．           B．1

C．           D．2

(3)cos4－sin4＝________________．

题型 2　给值求值

例2　(1)已知sin(θ－)＝，则sin 2θ的值为(　　)

A．    B．－    C．    D．－

(2)若cos (＋α)＝，则sin (－2α)＝ (　　)

A．－    B．－    C．    D．

方法归纳

利用二倍角公式解决给值求值问题的策略

巩固训练2　(1)[2022·广东潮州高一期末]已知cos (α－)＝，则cos 2α＝(　　)

A．－         B．   

C．－       D．

(2)已知sin (－x)＝，0＜x＜，则cos 2x＝________．

题型 3　化简与证明

例3　(1)化简：；

(2)证明：＝tan θ.

方法归纳

三角函数式化简，证明的常用技巧

巩固训练3　(1)若θ∈()，化简的结果为(　　)

A．2sin θ          B．2cos θ

C．－2sin θ        D．－2cos θ

(2)证明：3＋cos 4α－4cos 2α＝8sin4α.

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

2sin αcos α　cos2α－sin2α　1－2sin2α　2cos2α－1

[基础自测]

1答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．解析：sin2α＝2sin αcos α＝2×＝.

答案：D

3．解析：cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×(－)2＝.

答案：C

4．解析：因为tanα＝－，

所以tan 2α＝＝＝－.

答案：－

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cosπ

＝－cos (π－)＝cos ＝.

(2)原式＝＝2×

＝＝.

(3)原式＝

＝

＝

＝＝＝.

巩固训练1　解析：(1)＝＝tan 150°＝×(－)＝－.

(2)2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2×

＝＝＝＝.

(3)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)

＝cos2－sin2

＝cos＝.

答案：(1)A　(2)A　(3)

例2　解析：(1)由sin (θ－)＝，得sin (θ－)＝cos sin θ－sin cos θ＝(sin θ－cos θ)＝，

即sin θ－cos θ＝，等式两边同时平方，

得1－sin 2θ＝，所以sin 2θ＝－.

(2)因cos (＋α)＝，

则sin (－2α)＝sin [－(＋2α)]＝cos 2(＋α)＝2cos2(＋α)－1＝2×()2－1＝－.

答案：(1)B　(2)A

巩固训练2　解析：(1)∵cos(α－)＝sin α＝，

∴cos 2α＝1－2sin2α＝－.

(2)因为x∈(0，)，所以－x∈(0，)，

又因为sin(－x)＝，所以cos (－x)＝，

所以cos 2x＝sin (－2x)＝2sin (－x)cos (－x)

＝2×＝.

答案：(1)A　(2)

例3　解析：(1)原式＝＝＝－＝－tan2θ.

(2)证明：左边＝

＝

＝tan θ＝右边

所以等式成立．

巩固训练3　解析：(1)∵θ∈()，∴0>cos θ>sin θ，

∴

＝

＝

＝|sin θ＋cos θ|＋|sin θ－cos θ|

＝－(cos θ＋sin θ)＋cos θ－sin θ

＝－2sin θ.

(2)证明：左边＝3＋2cos22α－1－4cos2α

＝2(cos22α－2cos2α＋1)

＝2(cos 2α－1)2

＝2(1－2sin2α－1)2

＝8sin4α

＝右边

所以等式成立．

答案：(1)C　(2)见解析