高考数学一轮复习第1章1.4一元二次方程与一元二次不等式课件

这是一份高考数学一轮复习第1章1.4一元二次方程与一元二次不等式课件，共55页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，常用结论，考点自诊，关键能力学案突破，答案D等内容，欢迎下载使用。

案例探究　二次函数的零点分布问题
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
答案 (-2,-1)答案不唯一　
3.(2019天津,文10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　. 
4.不等式(x+3)(1-x)≥0的解集为　　　　　. 
答案 {x|-3≤x≤1}　解析由题知,(x+3)(1-x)≥0,即(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
5.对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　. 
答案 (-4,0]　
考向1　不含参数的一元二次不等式【例1】 解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,∵Δ=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,∴原不等式的解集为⌀.
解题心得1.解一元二次不等式的4个步骤变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式↓判—计算对应方程的判别式↓求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实数根↓写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集
2.求解不含参数的一元二次不等式口诀函数方程不等式,图象交点是标志;首项系数先化正,判别式,符号定;若为正,记口诀,小于中间大于侧.
考向2　含参数的一元二次不等式【例2】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解题心得解含参数的一元二次不等式的步骤
对点训练1(1)不等式-2x2+x+3<0的解集是(　　)
答案 (1)D　(2)D　
【例3】 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0解 (1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0解题心得解不等式应用题的步骤
对点训练2如图所示,某小区内有一个矩形花坛ABCD,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3 m,AD=2 m.要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则DN的长度应在什么范围内?
【例4】 设抛物线y=x2+mx+2与以A(0,1),B(2,3)为端点的线段总有两个交点,求m的取值范围.
解 线段AB的方程为y=x+1(0≤x≤2),代入抛物线方程得x2+(m-1)x+1=0.则问题转化为方程f(x)=x2+(m-1)x+1=0在[0,2]上总有两个根.
解题心得一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法:由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根,从而由根与系数的关系,找出系数a,b,c之间的关系,写出不等式的解集.
(2)求解步骤:第一步:审结论——明确解题方向如要解cx2+bx+a<0,首先确定c的符号,最好能确定a,b,c的值.第二步:审条件——挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a,b,c的方程组,用a表示b,c.第三步:建联系——找解题突破口由给定不等式的解集形式→确定关于a,b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求不等式→求解cx2+bx+a<0的解集.
对点训练3设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1),并且x2+bx的最小值是- ,求b.
解 由x2+bx≤-x,得x[x+(b+1)]≤0.又b<-1,∴b+1<0,-(b+1)>0,则0≤x≤-(b+1).①求f(x)在①的范围内的最小值.
考向1　在R上恒成立A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)
考向2　在给定区间上恒成立【例6】 (2020河南豫西南五校联考)若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(　　)A.(-∞,-3]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.(-∞,1]
答案 A　解析 (方法1)令f(x)=x2-2x+a,则由题意,解得a≤-3,故选A.(方法2)当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立,等价于a≤-x2+2x恒成立,即在区间[-1,2]上,a小于函数f(x)=-x2+2x的最小值.而f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,f(x)min=-3,故可得a≤-3,故选A.
解题心得在给定区间上恒成立问题的求解策略(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.
对点训练4(1)(2020山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则实数m的取值范围为(　　)A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.[-3,0)D.[-4,+∞)(2)(2020河北石家庄模拟)若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]都成立,则实数m的取值范围是　　　　　. (3)(2020陕西延安高三期末)函数f(x)=x2+ax+3.①当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;②当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,令f(x)=x2-4x,∵f(x)图象的对称轴为直线x=2,则f(x)在(0,1]上单调递减,∴当x=1时,f(x)取到最小值为-3,即实数m的取值范围是(-∞,-3],故选A.
(3)解 ①∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,则Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,解得-6≤a≤2,∴实数a的取值范围是[-6,2].②对于任意x∈[-2,2],f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0对任意x∈[-2,2]恒成立,解得-6≤a≤2,或a=⌀,或-7≤a<-6.综上可知,实数a的取值范围为[-7,2].
案例探究　二次函数的零点分布问题
【例1】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)两个正根;(2)有两个负根;(3)有一正一负根.思考对于(1)(2)(3)都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?
【例2】 关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?
解令f(x)=x2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1,故m的取值范围为(-∞,1).
【例3】 将探究2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图象,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n)内,另一根在(p,q)内;(2)两个根都在(m,n)内.
解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图象如图,
归纳小结 设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)