2023怀化高二上学期开学考试数学试卷含答案

高二数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占20%，必修第二册占60%，选择性必修第一册第一章占20%。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，若，则a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足，则（    ）

A.5 B.4 C.3 D.2

3.已知单位向量，满足，则（    ）

A. B. C. D.

4.冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz）提出的，可作为动物种群数量变化的模型，也可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型（，当时表示2022年初的种群数量），经过n年后，当该物种的种群数量不足2022年初种群数量的20%时，即将有濒临灭绝的危险，则n的最小值为（参考数据：）（    ）

A.10 B.11 C.12 D.13

5.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（    ）

A. B. C. D.

6.已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ）

A.   B.

C.  D.  

7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知,则的最大值为（    ）

A. B. C. D

8.已知甲箱有2个红球和2个白球，乙箱有3个红球和3个白球，现任选1个箱子并从中任取1个球，记下球的颜色后将球放入另1个箱子内，再任选1个箱子并任取1个球，若两次取出的球的颜色相同为“成功”，则（    ）

A两次都从甲箱取球时“成功”的概率最大

B两次都从乙箱取球时“成功”的概率最大

C先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率最大

D先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功"”的概率最大

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知空间中三点，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.A，B，C三点共线

10.小军进人高一后的12次数学考试成绩如下：

110，95，90，102，120，100，110，115，98，125，106，130，则（    ）

A这12次数学考试成绩的极差为40

B.这12次数学考试成绩的众数为110

C这12次数学考试成绩的50%分位数比40%分位数多5

D.在这12次数学考试成绩中，120分及以上数学成绩的标准差为

11.已知，，且，则（    ）

A.有最小值5  B.有最小值6 

C.ab有最大值 D.ab有最小值

12.在棱长为2的正方体，中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为60°，则（    ）

A.动点F的轨迹周长为 B.动点F的轨迹周长为

C.直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为

D.直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知空间向量，，，若，，共面，则______.

14.现有一组数据1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于3的概率为______.

15.在四面体ABCD中，，，，且，则几何体ABCD的外接球的体积为______.

16.如图，在四边形ABCD中，，，，，，E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点，且，则的最大值与最小值的比值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.

（1）求A；

（2）若，求的周长.

18.（12分）

某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中a的值；

（2）试估计本次竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（3）该校准备对本次竞赛中分数位于前20%的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于多少？

19.（12分）

如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆O的直径AB长为4，点C是圆上一点，，点D是劣弧上的一点，平面平面，且.

（1）证明：平面平面POD.

（2）当三棱锥的体积为时，求点B到平面PCD的距离.

20.（12分）

为有效控制我国儿童和青少年近视发病率，提高儿童和青少年的视力健康水平，教育部发文鼓励和倡导学生积极参加乒兵球、羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某学校提倡学生利用暑期的早上和晚上参加体育锻炼活动，已知甲、乙两位同学都选择羽毛球作为暑期的体育锻炼活动，这两位同学过去30天的安排如下表：

假设甲、乙每天的选择相互独立，用频率代替概率.

（1）在过去的30天内任取一天，求甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率；

（2）只考虑早上和晚上参加体育缎炼活动的情况，且早上和晚上都参加体育锻炼活动视为参加了2次锻炼，求甲、乙两位同学在一天中参加锻炼的次数之和为2的概率.

21.（12分）

如图，在几何体ABCDEF中，平面平面ABCD，.四边形CDEF为矩形.在四边形ABCD中，，，.

（1）点G在线段BE上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（2）点P在线段DF上，求直线BP与平面ABE所成角的正弦值的取值范围.

22.（12分）

已知函数的图象关于直线对称.

（1）若的最小正周期为，求的解析式.

（2）若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.

高二数学考试参考答案

1.B  因为，所以.

2.A  设复数，a，.因为,所以，即解得，.

3.B  因为,所以.

4.D  由，得，则.

5.D  设平面ABCD的法向量为，则即.

令，可得，，则.

.

设AP与平面ABCD所成的角为：则.

故P到平面ABCD的距离为，即四棱锥的高为.

6.A当时，，，；当时，，，.所以当x>0时，其解集为.因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，由奇偶性可知，当时，其解集为，所以不等式的解集是.

7.C  ，整理得，则，当且仅当时，等号成立

8.D  两次都从甲箱取球时“成功”的概率；

两次都从乙箱取球时“成功”的概率；

先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率；

先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功”的概率.

9.AB  ，，，，A正确.

因为，所以，B正确，D错误.

,C错误.

10.ABD  将这组数据按从小到大排列得90，95，98，100，102，106，110，110，115，120，125，130.

12次数学考试成绩的极差为，A正确.12次考试数学成绩的众数为110，B正确.

因为，，所以40%分位数为102，50%分位数为，所以50%分位数比40%分位数多，C错误；

在这12次数学考试成绩中，120分及以上的有3次，分别为120，125，130，

其平均数为，方差标准差为，D正确.

11.AD  由可得，令，，则

，当且仅当时，等号成立.由解得，故，当且仅当时，等号成立.

12.AC  如图1，取AD的中点H，连接EH，HF，HG，则底面ABCD，所以为EF与底面ABCD所成的角，则，从而，所以F的轨迹为以H为圆心：为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2.

在图2中，，所以，则，根据对称性可知，所以，故动点F的轨迹周长为.

因为，所以（或其补角）为直线EF与直线BC所成角的平面角.

在中，,

，，因为

，所以，，故直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为.

13.3  因为，，共面，所以，

即，

则解得，，.

14.  依题意得这组数据各数之和为15，设删去的两数之和为x.若剩下数据的平均数大于3，则，解得，则删去的两个数可以为1，2或1，3或1，4或2，3，故所求概率为.

15.  因为，，，所以.因为，所以和均为直角三角形，且有公共斜边AC，所以AC的中点到A，B，C，D四个点距离相等，都为2.故几何体ABCD的外接球的体积为.

16.

  如图，补全图形，则在直角中，，则，，由，得.

根据在上的投影向量，可得，此时；

，此时.

故的最大值与最小值的比值为.

17.解：（1）因为，所以，则.…2分

因为，所以，.…4分

（2）因为，所以，即.…6分

因为，即，…8分

所以，解得.故的周长为.…10分

18.解：（1）根据题意可得,…2分

解得.…3分

（2）本次竞赛成绩的平均分.……7分

（3）由频率分布直方图，可得最后一组的频率为，…8分

后两组的频率之和为.…9分

设获得荣誉证书的学生分数不低于x，则.…10分

，解得.

故获得荣誉证书的学生分数不低于86.…12分

19.（1）证明：因为，平面PCD，平面PCD，

所以平面PCD.…1分

因为平面ABCD，且平面平面，

所以.…2分

因为，所以，

所以，即.…3分

因为平面ABCD，平面ABCD，所以.

因为，所以平面POD.…5分

（2）解：因为，所以.…7分

因为与同底同高，所以，

所以三棱锥的体积为.…8分

因为，…9分

所以的面积为.…10分

记B到平面PCD的距离为d，因为，

所以，得，即B到平面PCD的距离为.…12分

20.解：（1）甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率为…4分

（2）由表格数据知，甲一天中参加锻炼的次数为0的概率为；参加锻炼的次数为1的概率为；参加锻炼的次数为2的概率为.…6分

乙一天中参加锻炼的次数为0的概率为；参加锻炼的次数为1的概率为；参加锻炼的次数为2的概率为.…8分

所求概率.…12分

21.解：（1）因为四边形CDEF为矩形，所以.

因为平面平面ABCD，平面平面，

所以平面ABCD.…1分

不妨设，则.…2分

以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.…3分

，，，

.…4分

因为，所以，解得.

故存在实数，使得，且的值为.…6分

（2）设平面ABE的法向量，则即

不妨取，则.…8分

设，，

则，.…9分

直线BP与平面ABE所成的角为，

则.…10分

令，当时，；当时，.

所以.

故直线BP与平面ABE所成角的正弦值的取值范围为.…12分

22.解：（1）因为的最小正周期为，所以.

因为，所以.…2分

因为的图象关于直线对称，所以，，

即，.因为，所以.

故.…4分

（2）因为为的零点，为图象的对称轴，

所以①，②，，.

得，所以.…6分

因为，，所以，即为正奇数.…7分

因为在上单调，所以，即，解得.…8分

当时，，.

因为，所以，此时.

令，.

在上单调递增，在上单调递减，

故在上不单调，不符合题意.…9分

当时，，.

因为，所以，此时.

令，.

在上单调递减，

故在上单调，符合题意.…10分

当时，，.

因为，所以，此时.

令，.

在上单调递减，

故在上单调，符合题意.…11分

综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.…12分