北师大版4 探索三角形相似的条件第2课时课后测评

4　探索三角形相似的条件

第2课时

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．三边成比例的两个三角形相似．(　√　)

2．三角相等的两个三角形不相似．(　×　)

3．若AB＝12，BC＝15，AC＝24，DE＝16，EF＝20，DF＝30，则 △ABC 和 △DEF相似．(　×　)

4．黄金比为0.618.(　×　)

5．一条线段只有1个黄金分割点．(　×　)

知识点1　三边成比例的两个三角形相似

1．(概念应用题)(2021·重庆质检)下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是(　C　)

A．AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC＝7 cm，A′B′＝2 cm，B′C′＝4 cm，A′C′＝3.5 cm

B．∠A＝42°，∠B＝118°，∠A′＝118°，∠B′＝20°

C．AB＝4 cm，AC＝3.2 cm，∠B＝50°，A′B′＝2 cm，A′C′＝1.6 cm，∠B′＝50°

D．AB＝8，AC＝4，∠A＝105°，A′C′＝16，B′C′＝8，∠C′＝105°

【解析】A.∵AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC＝7 cm，A′B′＝2 cm，B′C′＝4 cm，A′C′＝3.5 cm，

∴＝＝，

∴△ABC∽△A′B′C′，

故本选项不符合题意；

B.∵∠A＝42°，∠B＝118°，

∴∠C＝20°，

∵∠A′＝118°，∠B′＝20°，

∴∠C′＝42°.

∴∠A＝∠C′，∠B＝∠A′，

∠C＝∠B′，

∴△ABC∽△C′A′B′，

故本选项不符合题意；

C．两三角形不能判定相似，故本选项符合题意；

D．∵AB＝8，AC＝4，A′C′＝16，B′C′＝8，

∴＝＝，

又∵∠A＝105°，∠C′＝105°，

∴△ABC∽△C′A′B′.

故本选项不符合题意．

2．(2021·永州期中)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似(　C　)

A．2 cm，3 cm      B．4 cm，5 cm

C．5 cm，6 cm      D．6 cm，7 cm

【解析】设△DEF的另两边为x cm，y cm，

若△DEF中为4 cm边长的对应边为6 cm，

则：＝＝，

解得：x＝5，y＝6；

若△DEF中为4 cm边长的对应边为7.5 cm，

则：＝＝，

解得：x＝3.2，y＝4.8；

若△DEF中为4 cm边长的对应边为9 cm，

则：＝＝，

解得：x＝，y＝.

3．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果△DEF与△ABC相似(相似比不为1)，那么△DEF的面积为__1__．

【解析】如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，

则＝，＝，＝，

∴＝＝＝，

∴△DEF∽△ABC，

△DEF的面积＝×2×1＝1.

4．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF.请你写出与△ABC相似的其他三角形，并写出简要的证明过程．

【解析】③△DEB中，DE∶BD∶BE＝2∶2∶＝1∶∶；

④△FBG中，FB∶FG∶BG＝∶∶5＝1∶∶；

⑤△HGF中，HG∶HF∶FG＝∶2∶＝1∶∶；

△CDB的三边之比不符合，故与△ABC相似的三角形的序号是③④⑤.

知识点2　黄金分割

5．下列判断中，不正确的有(　B　)

A．三边对应成比例的两个三角形相似

B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似

C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似

D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似

【解析】A.三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；

B．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；

C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；

D．有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意．

6．(2021·绍兴质检)点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有(　C　)

①AC＝AB，②AC＝AB，③AB∶AC＝AC∶BC，④AC≈0.618AB.

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，

∴AC＝AB，①正确，②错误；

BC∶AC＝AC∶AB，③正确；

AC≈0.618AB，④正确．

7．(2021·成都质检)已知线段AB＝10 cm，C，D是AB上的两个黄金分割点，则线段CD的长为__(10－20)cm__．

【解析】∵C，D是AB上的两个黄金分割点，

∴AD＝BC＝AB＝5－5，

∴CD＝AD＋BC－AB＝(10－20) cm.

8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点P，点P是BD的黄金分割点(BP大于PD)，已知AD＝1，求BC的长．

【解析】∵AD∥BC，∴△ADP∽△CBP，

∵点P是BD的黄金分割点(BP大于PD)，AD＝1，

∴＝，解得BC＝.

故BC的长是.

　　　　　　　　　　 关键能力·综合练

1．(2021·天津质检)如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(　A　)

【解析】根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，

∴BC∶AC∶AB＝1∶∶，

A．三边之比为1∶∶，图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似；

B．三边之比为∶∶3，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；

C．三边之比为1∶∶2，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；

D．三边之比为2∶∶，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似．

2．(2021·娄底期中)下列条件不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是(　C　)

A．∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠A′＝50°

B．∠A＝∠A′＝90°，＝

C．∠A＝∠A′，＝

D．＝＝

【解析】A.若∠C＝∠C′＝90°，∠B＝∠A′＝50°，则△CBA∽△C′A′B′；

B．若∠A＝∠A′＝90°，＝，即＝，则Rt△ABC∽Rt△A′B′C′；

C．若∠A＝∠A′，＝，则不能判断△ABC∽△A′B′C′；

D．若＝＝，则△ABC∽△B′C′A′.

3．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是(　C　)

A．S1＞S2       B．S1＜S2

C．S1＝S2       D．不能确定

【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，

设正方形ABCD的边长为2a，

∵E为AD的中点，∴AE＝a，

在Rt△EAB中，由勾股定理得：BE＝＝＝a，

∵EF＝BE，∴EF＝a，

∴AF＝EF－AE＝a－a＝(－1)a，

即AF＝AH＝(－1)a，

∴S1＝AF×AH＝(－1)a×(－1)a＝6a2－2a2，

S2＝S正方形ABCD－S长方形ADIH＝2a×2a－2a×(－1)a＝6a2－2a2，

即S1＝S2.

4．某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，如图，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与DC平行吗？说明你的理由．

【解析】公路AB与DC平行．理由如下：∵＝＝，＝＝，＝＝，

∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD＝∠BDC，

∴AB∥DC.

5．(2021·岳阳质检)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD.

【证明】∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴DF，EF，DE是△ABC的中位线，

∴DF＝BC，EF＝AB，DE＝AC，

∴＝＝＝，

∴△ABC∽△EFD.

6．(素养提升题)(2021·成都质检)黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC∶AB＝BC∶AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.

(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；

(2)求出线段AD的长．

【解析】(1)∵AB＝AC＝1，

∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－36°)＝72°，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，

∴∠BDC＝180°－36°－72°＝72°，

∴DA＝DB，BD＝BC，

∴AD＝BD＝BC，

易得△BDC∽△ABC，

∴BC∶AC＝CD∶BC，即BC2＝CD·AC，

∴AD2＝CD·AC，

∴点D是线段AC的黄金分割点；

(2)设AD＝x，则CD＝AC－AD＝1－x，

∵AD2＝CD·AC，

∴x2＝1－x，解得x1＝，x2＝(舍去)，

即AD的长为.

易错点　对黄金分割的概念理解不清致错．

【案例】(2021·秦皇岛期中)线段AB为80 cm，点C为线段AB的黄金分割点，线段AC的长度为__40(－1)cm或40(3－)cm__．

【解析】根据黄金分割定义，得

如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且AC是AB和BC的比例中项．

设AC的长为x cm，则BC＝(80－x)cm.

∴AC2＝AB·BC，

即x2＝80(80－x)，

整理，得x2＋80x＝6 400，

解得x1＝40(－1)，x2＝－40－40(不符合题意，舍去).

所以线段AC的长为40(－1)cm.

同理若AC＜BC，

则AC＝80－(40－40)＝40(3－).

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