高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.4 数乘向量学案设计

6．1.4　数乘向量

【课程标准】

通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；

当λ<0时，λa的方向与a的方向______．

(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.

状元随笔　理解数乘向量应注意的问题

(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．

(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．

知识点二　共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．

状元随笔　向量共线定理的理解注意点及主要应用

(1)定理中a→≠不能漏掉. 若＝ ＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ．

(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.

基 础 自 测

1．存在两个非零向量a，b，满足b＝－3a，则有(　　)

A．a与b方向相同     B．a与b方向相反

C．|a|＝|3b|       D．|a|＝|b|

2．设P，Q两点把线段AB三等分(P靠近A)，则下列向量表达式中错误的是(　　)

A．＝       B．＝

C．＝－      D．＝

3．6×(－a)(　　)

A．化简结果为2a      B．与向量a同向

C．与向量a反向　     D．其长度为2

4．点M在AB上，且＝，则等于(　　)

A．－3    B．

C．－    D．3

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　数乘向量的定义与数乘向量的运算[数学抽象、数学运算]例1　(1)设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________．

①|－λa|≥|a|；

②a与λ2a方向相同；

③|－2λa|＝2|λ|·|a|.

(2)化简下列各式：

利用数乘向量的运算直接进行化简．

①×4a；

②×2×9a；

③6×(－)a.

方法归纳

(1)数乘向量与原来向量是共线的，其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小．

解决数乘向量问题的关键应注意两点：方向是相同还是相反，模长放大还是缩小．

(2)λa中的实数λ叫作向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数．

数乘向量的运算可以与以前我们学习过的数乘单项式运算相类比．

跟踪训练1　(1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．

(2)下列计算正确的个数是(　　)

①(－5)·3a＝－15a；

②3(a＋b)＝3a＋b；

③(－4＋1)(a＋2a)＝－9a.

A．0　　　    B．1

C．2　　　    D．3

(3)化简下列各式．

①4×(－)a.

②－2××(－3a).

题型2　向量共线条件的应用

例2　(1)已知a＝2e, b＝－4e, 判断a，b是否平行，求|a|∶|b|的值；若a∥b，说出它们是同向还是反向；

(2)已知＝e，＝－3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点．

利用数乘向量的定义解决．

方法归纳

向量共线定理的应用

(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．

(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．

跟踪训练2　(1)已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是(　　)

(2)下列结论成立的是(　　)

A．λa与a的方向相同

B．λa与a的方向相反的充要条件是λ<0

C．与a方向相同的单位向量可表示为

D．若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝(－)

题型3　用已知向量表示其它向量[经典例题]

例3　如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.

方法归纳

用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

跟踪训练3　如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．

结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，．

(1)＝________；

(2)＝________．

6．1.4　数乘向量

新知初探·自主学习

知识点一

向量　数乘　λa　(2)相同　相反　

知识点二

b＝λa

[基础自测]

1．解析：因为－3<0，所以a与－3a方向相反．且|－3a|＝3|a|，即|b|＝3|a|，故选B.

答案：B

2．解析：由向量数乘的定义可以得到A、B、C中的表达式都是正确的，只有D错误．

答案：D

3．解析： 6×(－a)＝－2a，与向量a反向，其长度为2|a|.

答案：C

4．解析：如图＝，所以＝.

答案：B

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)当0<λ<1 时，|－λa|<|a|，①错误；②③正确．

(2)①×4a＝(×4)a＝2a；

②×2×9a＝6a；

③6×(－)a＝－3a.

【答案】　(1)②③　(2)见解析

跟踪训练1　解析：(1)由数乘向量定义可知，2x－1>0，即x>.

(2)因为(－5)·3a＝－15a，故①正确；3(a＋b)＝3a＋3b，故②错误；(－4＋1)(a＋2a)＝ －3×3a＝－9a，故③正确．

(3)①4×(－)a＝－a.

②－2××(－3a)＝3a.

答案：(1)x>　(2)C　(3)见解析

例2　【解析】　(1)因为b＝－4e＝－2(2e)＝－2a ，

所以a∥b，且2|a|＝|b|，即|a|∶|b|＝1∶2.

向量a，b反向．

(2)因为＝－3e＝－3 ，所以∥，

且有公共点B，所以A，B，C三点共线，

又因为BC＝3AB，且向量反向，

如图，所以点A是线段BC的三等分点．

跟踪训练2　解析：(1)根据题意得到和是共线同向的，且BC＝2AB.

(2)当λ<0且a≠0时，λa 与a的方向相反，故A，B不正确；若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝)，D不正确；C正确．

答案：(1)A　(2)C

例3　【解析】　在▱ABCD中，

＝＝a＋b，

＝＝a－b.

由平行四边形的两条对角线互相平分，得

＝－＝－(a＋b)＝－a－b，

＝＝(a－b)＝a－b，

＝＝a＋b，

＝－＝－a＋b.

跟踪训练3　解析：因为∥，||＝2||，所以 ＝2，＝.

(1)＝＝e2＋e1.

(2)＝＝－＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.

答案：(1)e2＋e1　(2)e1－e2