高中人教B版 (2019)6.2.1 向量基本定理导学案

6．2　向量基本定理与向量的坐标

6．2.1　向量基本定理

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　共线向量的基本定理

一般地，有如下共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.

状元随笔　在共线向量基本定理中：

(1)＝λ时，通常称为能用表示．

(2)其中的“唯一”指的是，如果还有＝μ，则有λ＝μ．这是因为：由λ＝μ可知(λ－μ)＝，如果λ－μ≠0，则＝，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ．

(3)定理中的条件“≠”不能省略， 如果＝，≠，不存在实数λ，使得＝λ．如果＝，＝ ，则对任意实数λ，都有＝λ．

知识点二　平面向量的基本定理

一般地，有如下平面向量基本定理：

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.

状元随笔　平面向量基本定理的理解

(1)1，2是同一平面内的两个不共线的向量，1，2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．

(2)平面内的任一向量a→都可以沿基底进行分解．

(3)基底1，2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．

(4)本质：就是利用平面内两个不共线的向量通过向量的加法、减法及数乘向量表示平面内的任意一个向量．

基 础 自 测

1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：

①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)

A．①②    B．①③

C．①④    D．③④

2．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3，则可表示为(　　)

A．＝＋

B．＝＋

C．＝－2＋3

D．＝＋

3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．

4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　共线基本定理

例1　设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线时，λ的值为(　　)

A．0　      B．－1　

C．－2　     D．－

状元随笔　利用向量共线定理解答．

方法归纳

1．共线向量定理的应用

(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

提醒：证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点．

2．利用向量共线求参数的方法

已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．同时利用此定理也可以证明点共线或线共面问题．

跟踪训练1　已知两个非零向量a、b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.

(1)证明：A，B，C三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．

状元随笔　(1)根据共线向量基本定理证明；(2)利用共线向量基本定理建立方程组求解．

题型2　平面向量基本定理的理解[经典例题]

例2　(1)设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

利用相同向量的系数对应相等求解．

①e1与e1＋e2；

②e1－2e2与e2－2e1；

③e1－2e2与4e2－2e1；

④e1＋e2与e1－e2.

其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)；

(2)已知平面向量e1，e2是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________．

状元随笔　由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．

方法归纳

对基底的理解

(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．

(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．

跟踪训练2　(1)对于向量a，b有下列表示：

①a＝2e，b＝－2e；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；

④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.

其中，向量a，b不可以作为基底的有(　　)

A．①②③　　    B．②③④

C．①③④　　    D．①②③④

(2)下面三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；

③零向量不可以作为基底中的向量．

其中正确的说法是(　　)

A．①②    B．②③

C．①③    D．①②③

状元随笔　平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．

题型3　用基底表示平面向量[经典例题]

例3　如图，，不共线，且＝t (t∈R)，用，表示.

结合图形，利用、表示

方法归纳

用基底表示向量的两种方法

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．

(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．

跟踪训练3　如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.

状元随笔　解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．

6．2　向量基本定理与向量的坐标

6．2.1　向量基本定理

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．

答案：B

2．解析：由＝3，得＝＝＝)＝.

答案：B

3．解析：由图可知，＝4e1＋3e2.

答案：＝4e1＋3e2

4．解析：因为＝3e1＋2e2，

＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，

所以＝＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

又因为e1与e2不共线，所以

解得k＝－.

答案：－

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2，所以解得λ＝－.

【答案】　D

跟踪训练1　解析：(1)因为＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.

则＝＝a＋2b－(a＋b)＝b，

而＝＝a＋3b－(a＋b)＝2b，

于是＝2，又有公共点A，所以A，B，C三点共线．

(2)因为ka＋b与a＋kb共线，则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又因为非零向量a，b不共线，所以一定有解得k＝±1.

例2　【解析】　(1)①设e1＋e2＝λe1，则无解，

∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．

②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，

则无解，

∴e1－2e2与e2－2e1不共线，

即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．

③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，

∴e1－2e2与4e2－2e1共线，

即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．

④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，

则无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．

(2)因为平面向量e1，e2是一组基底，所以向量e1，e2不共线，所以解得x－y＝3.

【答案】　(1)③　(2)3

跟踪训练2　解析：(1)对于①，a＝－b；对于②，a＝－b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．

(2)平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确．

答案：(1)A　(2)B

例3　【解析】　因为＝t，

所以＝

＝＋t

＝＋t()

＝＋t－t

＝(1－t)＋t.

跟踪训练3　解析：＝

＝－＝－＝a－b.

＝＝－＝b－a.