数学必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

课程标准

(1)从函数观点看一元二次方程．

(2)会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系

知识点二　一元二次方程根与系数的关系

若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝________________，x1x2＝________________．

状元随笔　应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：

x1x2) －2x1x2 ＝(x1 ＋x2)2 －2x1x2；

(2)(x1 －x2)2 ＝(x1 ＋x2)2 －4x1x2；

(3)|x1 －x2|＝ ＝；

(4) ＋ ＝；

(5) ＋ ＝ ＝.

基 础 自 测

1.方程x2－2kx＋3k2＝0的根的情况是(　　)

A．有一个实数根

B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根

D．没有实数根

2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为(　　)

A.(x＋1)2＝6      B．(x＋2)2＝9

C．(x－1)2＝6    D．(x－2)2＝9

3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为(　　)

A．7或－1      B．1或－5

C．－1或－5    D．不能确定

4．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则＋3x1x2＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　方程根个数的判断及应用[经典例题]

例1　已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．

(1)方程有两个不相等的实数根；

(2)方程有两个相等的实数根；

(3)方程有实数根；

(4)方程无实数根．

状元随笔　利用Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情况讨论根的情况．

方法归纳

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有

(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；

(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；

(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．

跟踪训练1　一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是(　　)

A．无实数根

B．有一个正根，一个负根

C．有两个正根，且都小于3

D．有两个正根，且有一根大于3

题型2　直接应用根与系数的关系进行计算[教材P50例2]

例2　已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：

；

(2)|x1－x2|.

方法归纳

在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．

跟踪训练2　已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：

；

(2).

题型3　应用根与系数的关系求字母系数的值或范围[经典例题]

例3　已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．

(1)方程两实根的积为5；

(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.

方法归纳

利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.

跟踪训练3　(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　)

A．－2或3    B．3

C．－2        D．－3或2

(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差的绝对值为1，则k的值为________．

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点一

两个不相等　　两个相等的实数根　无实数根

知识点二

－

[基础自测]

1．解析：Δ＝(－2k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.

答案：C

2．解析：因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.

答案：C

3．解析：由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，

x2－6x－7＝0，∴x＝，

解得x1＝－1，x2＝7.故选A.

答案：A

4．解析：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝－5，

＋3x1x2

＝(x1＋x2)2＋x1x2

＝22＋(－5)＝－1.

答案：－1

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．

(1)因为方程有两个不相等的实数根，

所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<.

(2)因为方程有两个相等的实数根，

所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝.

(3)因为方程有实根，

所以Δ≥0，即4(1－3k)≥0，所以k≤.

(4)因为方程无实根，

所以Δ<0，即4(1－3k)<0，所以k>.

跟踪训练1　解析：(x＋1)(x－3)＝2x－5，整理得x2－2x－3＝2x－5，

则x2－4x＋2＝0，(x－2)2＝2，

解得x1＝2＋＞3，x2＝2－＞0，

故有两个正根，且有一根大于3.

故选D.

答案：D

例2　【解析】　由一元二次方程根与系数的关系，得

x1＋x2＝－，x1x2＝－2.

(1)由上有＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－2)＝.

(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×(－2)＝，

所以|x1－x2|＝ ＝.

跟踪训练2　解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.

＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.

(2)＝＝＝3.

例3　【解析】　Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3，

Δ≥0，k≥.

(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝k2＋1＝5，

k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．

(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝.

方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0满足．

②若x1<0，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.

方程为x2＋＝0而方程无解，

所以k≠－1，所以k＝.

跟踪训练3　解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，

∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.

∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，

解得m＝6或m＝－2.

∴m＝－2.

(2)设x1，x2为方程的两个根，则，

|x1－x2|＝1，－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.

检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．

答案：(1)C　(2)－3或9