高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性课文ppt课件

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性课文ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了新知初探•自主学习，－x∈D，答案ACD，答案C，答案B，课堂探究•素养提升，答案A，答案D等内容，欢迎下载使用。

课程标准 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
教 材 要 点知识点　偶、奇函数1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且____________，则称y＝f(x)为奇函数．
f(－x)＝－f(x)
3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于_____成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于____对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
状元随笔　奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
基 础 自 测1．(多选)设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中错误的是(　　)A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0C．f(x)·f(－x)＜0 D．f(0)＝0
解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，所以f(－x)－f(x)＝0正确，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．f(－x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，f(0)＝0不一定成立．故选ACD.
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)A．－2 B．2C．0　　　 D．不能确定
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
4．下列图象表示的函数是奇函数的是______，是偶函数的是______．(填序号)
解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
题型1　函数奇偶性的判断[教材P106例题1]例1　判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1；
【解析】　(1)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f(－x)＝(－x)＋(－x)3＋(－x)5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．(2)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以函数f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)因为函数的定义域为R，所以x∈R时，－x∈R.又因为f(－1)＝0，f(1)＝2，所以f(－1)≠f(1)且f(－1)≠－f(1)，因此函数f(x)＝x＋1既不是偶函数也不是奇函数．
(4)f(x)＝x2，x∈[－1，3]；(5)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
【解析】(4)因为函数的定义域为[－1，3]，而3∈[－1，3]，但－3∉[－1，3]，所以函数f(x)＝x2，x∈[－1，3]既不是奇函数也不是偶函数．(5)因为x∈R，f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
【解析】方法一　作出函数图象如图：关于原点对称，所以函数是奇函数．方法二　当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)；当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．
方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法： (2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(5)y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)；(6)y＝x2，x∈(－1，1].
【解析】(5)F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数．(6)定义域不关于原点对称，非奇非偶．
状元随笔　先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．
题型2　函数奇偶性的图象特征[经典例题]例2　设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是_________________．
根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)＜0的解集．
{x|－2【解析】　由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5，5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．
跟踪训练2　如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
解析：方法一　因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f(1)状元随笔　方法一利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小；方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．
题型3　利用函数奇偶性求参数[经典例题]例3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝_____，b＝____；
状元随笔　利用定义法求a，也可利用特值法f (－1)＝－f (1)．
方法归纳由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．
跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝____，b＝_____；(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝___．
状元随笔　(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0，0)对称．(2)f(0)＝0？
题型4　函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]例4　(1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)【解析】　因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π＞3＞2，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，故f(π)＞f(－3)＞f(－2)．
(2)已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1，1)，在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)＜0.
状元随笔　1.由奇函数得f(－x)＝－f(x)．2．函数单调递减，若f(x1)＜f(x2)得x1＞x2.3．定义域易忽略．
方法归纳1．函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
跟踪训练4　(1)如果奇函数f(x)在区间[1，5]上单调递减，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(　　)A．单调递增且最小值为3B．单调递增且最大值为3C．单调递减且最小值为－3D．单调递减且最大值为－3
解析：(1)当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上单调递减．
(2)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求实数a的取值范围；
(3)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
状元随笔　(2)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．(3)两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．
题型5　利用函数的奇偶性求解析式[逻辑推理]例5　若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．
方法归纳利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．