2023贵阳高三上学期8月摸底考理数试题含答案

贵阳市2023届高三年级摸底考试试卷

理科数学

2022年8月

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将姓名、报名号、座位号用钢笔填写在答题卡相应位置上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 复数满足，则复数的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 若实数，满足，则的最大值为（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

5. 已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

6. “云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得米，，则云楼的高度CD为（    ）

A. 20米 B. 25米 C. 米 D. 米

7. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知数列的前项和为，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 贵安新区是中国第八个国家级新区，位于贵州省贵阳市和安顺市结合部，是南方数据中心核心区、全国大数据应用与创新示范区，同时也是内陆开放型经济新高地和生态文明示范区．“贵安”拼音大写形式为“GUIAN”，现从这5个字母中任选2个，则取到的2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且异于长轴端点．点在所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，．当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23、24题为选考题，考生根据要求作答

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 二项展开式中项的系数是______．

14. 已知平面向量，，若，则________．

15. 自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________．

16. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．

三、解答题：第17题至21题每题12分，第22、23、24题为选考题，各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．

（1）求B；

（2）若，________，求△ABC的周长．

在①；②△ABC的面积为这两个条件中任选一个，补充在横线上．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. 年月日—月日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻．某机构将每天关注冬奥时间在小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？

（2）现从抽取的岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取人，然后，再从这人中随机选出人，其中“冬奥迷”的人数为，求的分布列及数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

19. 如图，在直三棱柱中，，，，分别是的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面的夹角．

20. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

21. 已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若，设是的两个极值点，求证；．

请考生在第22、23、24题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．

选修4—4：极坐标与参数方程

22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l和曲线C交于两点，点，求的值.

选修4—5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数m的取值范围．

（还未学过选修4—4、4—5的同学可选做此题）

24. 已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列通项公式；

（2）若数列满足，数列的前项和，求证：．