2022-2023学年河南省郑州实验外国语中学九年级（上）开学数学试卷（Word解析版）

2022-2023学年河南省郑州实验外国语中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.   C.  D.

4. 解分式方程，去分母得(    )

A.  B.
C.  D.

5. 某跳远队准备从甲、乙、丙、丁名运动员中选取成绩好且稳定的一名选手参赛，经测试，他们的成绩如表，综合分析应选(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 如图，在▱中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定▱为矩形的只有(    )

A.  B. ，，
C.  D.

7. 如图，已知，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在▱中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，若的周长为，则▱的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 将正方形与正方形按如图方式放置，点、、在同一直线上，已知，，连接，是的中点，连接，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 因式分解：______．
12. 已知∽，和是它们的对应角平分线，若：：，的周长为，则的周长是______．
13. 如图，在▱中，按如下步骤操作：以点为圆心，长为半径画弧交于点；再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点；连接并延长交于点，连接若，，则的长为______．
14. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的长度为______．

15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当时，的长为______．

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 先化简，再求值，其中．
17. 解下列方程：
    ；
    ．
18. 年月日，青海玉树杂多县发生级地震，为救助灾区，某校学生会向全校学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
    
    本次被调查的学生有______人，扇形统计图中______．
    将条形统计图补充完整．
    本次调查获取的样本数据的众数是______，中位数是______．
    若该校有名学生，根据以上信息，估计全校本次活动捐款金额为元的学生有多少人．
19. 已知是关于的一元二次方程的一个根．
    求实数的值；
    求证：方程总有两个不相等的实数根．
20. 如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接、．
    
    
    
    求证：四边形是平行四边形；
    填空：
    当的值为______时，四边形是矩形；
    当的值为______时，四边形是菱形．
21. 某商场购进甲、乙两种空调共台，已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多万元；用万元购进乙种空调数量是用万元购进甲种空调数量的倍．请解答下列问题：
    求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
    若商场预计投入资金不多于万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少台，商场有哪几种购进方案？
22. 中，，，点为直线上一动点点不与，重合，以为边在右侧作正方形，连接．
    
    观察猜想：如图，当点在线段上时，
    与的位置关系为：______．
    ，，之间的数量关系为______；将结论直接写在横线上
    数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，中的结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
    拓展延伸如图，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接若已知，，请直接写出的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据大小小大中间找得出解集为，
故选：．
根据不等式解集的四种情况，求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是分式方程，故本选项不合题意；
B.是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
C.当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.未知数是最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解分式方程的去分母步骤．
分式方程变形后，两边乘以最简公分母得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：分式方程整理得：，
去分母得：，
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：从平均数看，甲和乙的平均成绩较好，
从方差看，乙和丁的成绩比较稳定，
则成绩好且稳定的是乙，
故选：．
分别从平均成绩和方差两个方面判断．
本题考查的是方差和平均数，掌握平均数的性质、方差的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．
B、正确．，，，
，
，
平行四边形为矩形．
C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，
D、正确，，
，
，
平行四边形是矩形．
故选：．
根据矩形的判定方法即可一一判断．
本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数值即可求出．
本题考查了平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例“是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以不等式的解集是．
故选：．
写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：对角线的垂直平分线分别交，于点，，
，
的周长为，
．
四边形是平行四边形，
，，
▱的周长为．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，那么由的周长为可得，再根据平行四边形的性质可得，，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，平行四边形对边相等．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质．
根据正方形的性质和全等三角形的判定得出≌，求出，进而利用勾股定理求出，再解答即可．
【解答】
解：延长交于点，

四边形和四边形都是正方形，，，
，，
点，，在同一直线上，
，
，，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应角平分线，：：，
与的相似比为：，
，
的周长为，
，
解得：．
故答案为：．
根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比求解即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，

故答案为
通过证明四边形是菱形，可得，，，由勾股定理，即可求的长．
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
设，交于，根据正方形的性质得到，，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，点，分别是，的中点，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可得到结论．
【解答】
解：设，交于，

四边形是正方形，
，，
点，分别是边，的中点，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
，，，
∽，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】解：如图：

，，
，
点为的中点，
，，
，
点、、在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
，
当点在的延长线上，
在中，，
，
综上所述：当时，的长为或，
故答案为：或．
分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
所以，；
，
，
解得． 

【解析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先移项合并得到，然后解方程即可．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次方程．
 

18.【答案】    元  元 

【解析】解：人，，
故答案为：，；
人，补全条形统计图如图所示：
捐款元有人，出现次数最多，因此众数为元，从大到小排列后处在第、位的数都是元，因此中位数是元，
故答案为：元，元；
人，
答：该校有名学生中捐款金额为元的学生有人．
从两个统计图中可以得到捐款元的人占调查人数的，即可求出调查人数，捐款元的百分比就是人占人的百分比；
计算出捐款元的人数，即可补全统计图；
根据众数、中位数的意义，可以得出中位数、众数；
人学生中捐款在元的人数占．
此题主要考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点、众数、中位数的意义，以及样本估计总体的统计方法，理解统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：是关于的一元二次方程的一个根．
，
解得；
证明：


，
方程总有两个不相等的实数根． 

【解析】根据一元二次方程的解的定义，将代入关于的一元二次方程，列出关于的方程，通过解该方程求得值即可；
求出根的判别式，据此可得答案；
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

20.【答案】解：证明：四边形是菱形，
，
，
又点是边的中点，
，
在与中

≌，
，
四边形是平行四边形；
；
． 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定及性质．
利用菱形的性质和已知条件可证明四边形的对边平行且相等即可；
有可知四边形是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即，所以时即可；
当平行四边形的邻边时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形是等边三角形即可．
【解答】
解：见答案；
当的值为时，四边形是矩形．理由如下：
平行四边形是矩形，
，
，
，
又菱形，
，
．
故答案为；
当的值为时，四边形是菱形．理由如下：
平行四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
．
故答案为．  

21.【答案】解：设甲空调每台的进价为万元，则乙空调每台的进价为万元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：甲空调每台的进价为万元，则乙空调每台的进价为万元；
设购进甲种空调台，则购进乙种空调台，
根据题意，得：，
解得：，
又，
，
则整数的值可以是，，，，
所以商场共有四种购进方案：
购进甲种空调台，乙种空调台；
购进甲种空调台，乙种空调台；
购进甲种空调台，乙种空调台；
购进甲种空调台，乙种空调台． 

【解析】设甲空调每台的进价为万元，则乙空调每台的进价为万元，根据“用万元购进乙种空调数量是用万元购进甲种空调数量的倍”列出方程，解之可得；
设购进甲种空调台，则购进乙种空调台，由“投入资金不多于万元”列出关于的不等式，解之求得的取值范围，继而得到整数的可能取值，从而可得所有方案．
本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：正方形中，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，即；
故答案为：；
≌，
，
，
；
故答案为：；

成立；不成立，理由如下：
正方形中，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
．
，
，
．
，，
．

解：过作于，过作于，于，如图所示：

，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，．
根据正方形的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形的性质可推出≌，根据全等三角形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论；
根据正方形的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
过作于，过作于，于，如图所示，由≌，推出，，推出，，由是等腰直角三角形，推出，推出，再由勾股定理即可解决问题．
本题考查了四边形综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．