数学湘教版（2019）3.1 函数导学案

这是一份数学湘教版（2019）3.1 函数导学案，共14页。

3．1.2　表示函数的方法
最新课程标准
学科核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2．理解函数图象的作用．
1.会用解析法、列表法、图象法表示函数．(数学建模)
2．会求函数的解析式．(逻辑推理、数学运算)
3．能作出函数的图象．(直观想象)


教材要点
要点　函数的表示法
表示法
定义
解析法
用________来表示函数的方法
列表法
用________来表示两个变量之间的对应关系的方法
图象法
用________来表示两个变量之间的对应关系的方法
状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．
2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.

基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　　)
(2)任何一个函数都可以用图象法表示出来．(　　)
(3)任何一个函数都可以用解析法表示出来．(　　)
(4)函数的图象一定是连续不断的曲线．(　　)

2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是(　　)
A．直线 B．射线
C．线段 D．离散的点
3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0)
C．y＝50x(x＞0) D．y＝100x(x＞0)
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1

x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为______．当g(f(x))＝2时，x＝________．


题型1　函数的表示法
例1　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求收款y(元)与台数x(台)之间的函数关系，分别用列表法、解析法和图象法表示出来．
















方法归纳
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．









题型2　函数图象的画法
例2　作出下列函数的图象
(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．













方法归纳
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
跟踪训练2　作出下列函数的图象．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)
(2)y＝2x2－4x－3，(x∈[0，3))．

















题型3　求函数的解析式
角度1　已知函数类型求函数解析式
例3　求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根的平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)．
















角度2　已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
例4　(1)若f1x＝x1-x，则当x≠0，且x≠1时，函数的解析式f(x)＝________；
(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________．
角度3　已知式中含f(x)，f1x或f(x)，f(－x)形式的式子，求f(x)的解析式
例5　已知f(x)＋2f1x＝x(x≠0)，则f(x)＝________．

方法归纳
1．待定系数法求解析式
根据已知的函数类型，设出函数的解析式，再根据条件求系数，常见的函数设法：

正比例函数
y＝kx，k≠0
反比例函数
y＝kx，k≠0
一元一次函数
y＝kx＋b，k≠0
一元二次函数
一般式：y＝ax2＋bx＋c，a≠0
顶点式：y＝a(x－h)2＋k，a≠0
两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，a≠0
2.换元法求函数的解析式
已知复合函数f(g(x))的解析式，令t＝g(x)，
当x比较容易解出时，可以解出x换元代入；
当x不容易解出时，可以考虑先构造，
如fx+1x＝x2＋1x2＝x+1x2－2，令t＝x＋1x，换元代入．
换元法还要注意换元t的范围．
3．解方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x).
跟踪训练3　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，则f(x)＝______．
(2)已知函数y＝f(x)是一次函数，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，则f(x)＝________．
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．
易错辨析　换元时忽略函数的定义域致误
例6　已知函数f(x＋2)＝x＋4x＋5，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2＋1　　B．f(x)＝x2＋1(x≥2)
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2(x≥2)
解析：∵f(x＋2)＝x＋4x＋5
令x＋2＝t≥2，则x＝t－2，
∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋5＝t2＋1(t≥2)
∴f(x)＝x2＋1(x≥2)，故选B.
答案：B
易错警示
易错原因
纠错心得
换元时，令x＋2＝t，忽略了t的范围，错选A.
已知函数y＝f(g(x))的解析式，求函数y＝f(x)的解析式时，若函数y＝g(x)的值域不是全体实数，则所求得的函数y＝f(x)的解析式必须带有定义域(即函数y＝g(x)的值域)．
课堂十分钟
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝(　　)
x
0≤x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x≤20
f(x)
2
3
4
5
A.2 B．3
C．4 D．5
2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　)
A．y＝1x B．y＝－1x
C．y＝2x D．y＝－2x
3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
4．已知函数f(2x－1)＝3x－5，若f(x0)＝4，则x0＝________．
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域．








3．1.2　表示函数的方法
新知初探·课前预习
要点
解析式　表格　图象
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时的图象为线段．故选C.
答案：C
3．解析：由题意知，x+3x2×y＝100，得2xy＝100，∴y＝50x(x>0)，故选C.
答案：C
4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)列表法：
x(台)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：如图所示．

(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
跟踪训练1　解析：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示：

用列表法表示如下：
x
1
2
3
4
y
－2
－3
－4
－5
例2　解析：(1)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
23
12
25
…

当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分．
(2)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．

跟踪训练2　解析：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0，1，2}，
所以该函数图象为直线y＝1－x上的孤立点(如图①)．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.
因为x∈[0，3)，故图象是一段抛物线(如图②)．

例3　解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以a2=4，ab+b=-1，解得a=2，b=-13或a=-2，b=1.
所以f(x)＝2x－13或f(x)＝－2x＋1.
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
所以f0=c，f4=16a+4b+c，
因为f(0)＝f(4)
所以4a＋b＝0.①
因为图象过点(0，3)，所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，
所以x12+x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝-ba2－2×ca＝10.
即b2－2ac＝10a2③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3.
例4　解析：(1)设t＝1x(t≠0，且t≠1)，则x＝1t，
∴f(t)＝1t1-1t＝1t-1，
∴f(x)＝1x-1(x≠0，且x≠1)．
(2)令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2≥0，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：(1)1x-1(x≠0且x≠1)　(2)x2－1(x≥1)
例5　解析：用1x替换式子中的x，
可得f1x＋2f(x)＝1x.
于是有fx+2f1x=xf1x+2fx=1x
∴消去f1x得f(x)＝23x-x3(x≠0)．
答案：23x-x3(x≠0)
跟踪训练3　解析：(1)设x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)
则[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b)
＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b
＝4x2－10x＋4，
所以k2=4，2kb-3k=-10，b2-3b=4，解得k=-2b=4或k=2，b=-1.
∴f(x)＝－2x＋4或f(x)＝2x－1.
(3)用－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，
由fx-2f-x=1+2x，f-x-2fx=1-2x.
消去f(－x)得f(x)＝23x－1.
答案：(1)x2－5x＋6　(2)－2x＋4或2x－1　(3)23x－1
[课堂十分钟]
1．解析：由图表可知f(11)＝4.故选C.
答案：C
2．解析：设y＝kx(k≠0)，当x＝2时，y＝1，所以1＝k2，得k＝2.故y＝2x.故选C.
答案：C
3．解析：方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1.
∵f(x－1)＝x2＋4x－5
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x；
方法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，
∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
故选A.
答案：A
4．解析：令t＝2x－1，则x＝t+12，f(t)＝3t+32－5＝32t－72.所以f(x)＝32x－72.
因为f(x0)＝4，所以32x0－72＝4，解得x0＝5.
答案：5
5．解析：(1)f(x)图象的简图如图所示．

(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].