九年级上册数学人教版·北京市海淀区中国人民大学附属中学期中试卷附答案

这是一份九年级上册数学人教版·北京市海淀区中国人民大学附属中学期中试卷附答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分：选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 方程x2－5x－2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，﹣5，﹣2B. 1，5，2C. 1，5，﹣2D. 0，﹣5，﹣2
2. 若点A(3，﹣2)与点B关于原点对称，则B点坐标为（ ）
A. (3，2)B. (﹣3，2)C. (3，﹣2)D. (﹣3，﹣2)
3. 若点(0，a)，(4，b)都在二次函数y＝(x－2)2的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A. a＞bB. a＜bC. a＝bD. 无法确定
4. 用配方法解方程，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，RtABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以B点为中心，将ABC旋转至DBE，使E点恰好在AB上，则AE的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于C点，交弧AB于D点，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）
A. 50cmB. 30cmC. 25cmD. 20cm
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，则下列说法中不正确的是（ ）
A. a＜0，c＜0B. 4a＋b＝0
C. 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3D. 不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3
8. 如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：
（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；
（2）分别以A、C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆交于D点；
（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．
根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE．所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
第二部分：非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案．下图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是___________．
10. 将抛物线y＝x2向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为_____________．
11. 如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
12. 若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则k=_____．
13. 如图，AB是半圆O的直径，C、D点在半圆O上，若∠BOC＝80°，则∠BDC＝_______．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是将DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是___________．
15. 某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为_______________．
16. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中，下列结论：
①若这个函数的图象经过点，则它必有最大值；
②若这个函数的图象经过第三象限的点P，则必有；
③若，则方程必有一根大于1；
④若，则当时，必有y随x增大而增大．
结合图象判断，所有正确结论的序号是____________．
三、解答题（共68分，第17－21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24－26题每题6分，第27－28题每题7分）
17. 解方程：x2－6x＝7
18. 如图，AB＝AC，CA平分∠BCD，E点在BC上，且∠BAE＝∠CAD＝90°，求证：CD＝BE．
19. 已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的值．
20. 如图，A、B是⊙O上两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．
21. 下图是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程．
已知：∠MON．
求作：射线OP，使得OP平分∠MON．
作法：如图，
①在射线OM上任取一点A，以A为圆心，OA长为半径作圆，交OA的延长线于B点；
②以O为圆心，OB长为半径作弧，交射线ON于C点；
③连接BC，交⊙A于P点，作射线OP．
射线OP就是要求作的角平分线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：∵OB⊙A直径，P点在⊙A上
∴∠OPB＝90°（ ）（填依据）
∴OP⊥BC
∵OB＝OC
∴OP平分∠MON（ ）（填依据）
22. 关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
23. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋mx＋n的对称轴为直线x＝2，且经过点A(0，3)．
（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；
（2）将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 单位时，所得到的新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4．
24. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
25. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过O点作OD⊥BC于D点，交弧BC于E点，连接AE交BC于F点．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E；
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
26. 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－1．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若这条抛物线过点(m－2，y1)，(m＋n，y2)，且y1＜y2，结合图象，求n的取值范围．
（3）直线y＝﹣x＋b与x轴交于A(3，0)，与y轴交于B点，过B点作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于P、Q点，若△OAP和△OAQ中有且仅有一个为钝角三角形，结合图像，求m的取值范围．
27. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为平面内一点，且AD＜AB，以A点为中心，将线段AD逆时针旋转180°－α，得到线段AE．
（1）如图1，当D点在线段BC上时，恰有AE∥BC，连接DE交AC于F点，求证：F为线段DE中点；
（2）连接BE、CD，取BE中点G，连接AG．
①如图2，当D点在△ABC内部时，用等式表示线段AG与CD之间的数量关系，并证明；
②令α＝90°，若当A、D、G三点共线时，恰有∠AGB＝120°，直接写出此时的值．
28. 在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和图形W，如果对于给定的角α（0°＜α≤90°），线段AB上存在一点C，使得线段AB绕点C顺时针旋转α角之后，所得线段与图形W有公共点，则称图形W是线段AB的α﹣联络图形．例如，下图中的正方形即为线段AB的90°﹣联络图形．
已知点A(1，0)
（1）若点B(3，0)，直线y＝﹣1是线段AB的α﹣联络图形，则α可能是下列选项中的 （填序号）．
①15° ②30° ③54°
（2）若点B(t，0)，直线y＝x＋是线段AB的60°﹣联络图形，求t的取值范围．
（3）若第一象限内的点B满足AB＝2，点P(m，0)，Q(m－1，)，若存在某个点B和某个α，使得线段PQ是线段AB的α﹣联络图形，直接写出m的取值范围．
参考答案与解析
一、选择题
1. A 2. B 3. C 4. D
5. B 6. C 7. D 8. D
二、填空题
9.①③（③①） 10. 11. 12. 1
13. 14. （2，2） 15. 200（1+x）2=320 16.①③④
三、解答题
17.解：x2-6x＝7
x2-2×3x+9=7+9
（x-3）2=16
∴x-3=-4或x-3=4
∴x1=-1或x2=7
18. 证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACD，
在与中，
，
∴，
∴BE＝CD．
19. 解：∵是方程的一个根，
∴．
∴．
∴
．
20.证明：如图，连接，
是的中点，
，
，
在和中，
，
，
．
21. 解：（1）作图如下：
（2）∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上
∴∠OPB＝90°（直径所对的圆周角为）
∴OP⊥BC
∵OB＝OC
∴OP平分∠MON（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）
故答案为：直径所对的圆周角为；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合
22.解：（1）关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0中，，
方程总有两个实数根；
（2）
解得
方程有一个实数根为负数，
解得
m是正整数
23. 解：（1）∵二次函数y＝x2＋mx＋n的对称轴为直线x＝2，
∴，
∴，
将点A(0，3)代入二次函数解析式得：，
∴二次函数解析式为：，
图像如下：
；
（2）将原图像向下平移，则对称轴不变，
新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4，
则新函数图像经过点，
则平移后得解析式为：，
则由向下平移个单位得到，
故答案为：．
24. 解：（1）①运动停止时，分别到达终点点和B点，
故答案为
②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系
故答案为一次函数
（2）①由题意可得：，
△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为
∴当时，取得最大值，最大值为
25. 解：（1）
，
，
（2）是直径
又
在中，
26.解：（1）∵，
∴；
（2）∵此二次函数对称轴为x=m，且a=1＞0开口向上
∴当时，y的值随x的增大而减小，当时，y的值随x的增大而增大；
又∵
∴，化简得
∴或
（3）将A(3，0)带入中得，
∴
当x=0时，y=3
所以B（0，3）
若△OAP和△OAQ中有且仅有一个为钝角三角形，可得两点在轴的左右两侧，
根据二次函数与一元二次方程的关系，可得，有两个异号的实数根
设的两个根为，，
则，
由题意可得：，即解得
故答案为
27. 解：（1）由题意得，
根据旋转可得，
所以 F为线段DE中点.
（2）①延长至点，使得，即可证明四边形是平行四边形，进而证明，可得，进而可得；
②由①可知，根据已知条件和含30度角的直角三角形的性质，进而可得，，在中，设，进而求得．
28. 解：（1）如图所示，将线段AB绕点A逆时针旋转，使点B落到直线上的C点，过点C作于点D，
∵A（1，0），B（3，0），
∴，，
∴，
∴在中，，
如下图，将线段AB绕AB中点逆时针旋转90°，
此时点B刚好落到直线y=-1上的B'点，
即若直线y=- 1是线段AB的α-联络图形，α最大取值为90°，
∴30°≤α≤90°
故答案为：②③；
（2）在中，当时，，
当时，，
，
∴，，
∴，，
∵在中，，
∴，
如图所示，连接AC，
∵A（1，0），
∴OA=1，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
，
即，
∴；
（3）如图所示，当时，过点Q作于点C，
∵，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
如图所示，当点B在y轴上时，
∵在中，，
∴，
∴当m=1时，线段AB在直线PQ上，
又∵点B在第一象限，
∴m的取值范围是：．