福建省福州市鼓楼区立志中学2021-2022学年八年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区立志中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的解是(    )

A. ， B.
C. ， D. ，

2. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 下列方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果将抛物线向右平移个单位，那么所得的抛物线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6. 如图，在平面直角坐标系中，、、为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图中的部分抛物线所示其中是该抛物线的顶点则下列说法正确的是(    )

A. 小球滑行秒停止
B. 小球滑行秒停止
C. 小球滑行秒回到起点
D. 小球滑行秒回到起点

9. 把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为若，，则的长度是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上，且设，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若正比例函数的图象经过点，则______．
12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长______．

13. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元．已知两次降价的百分率均为则第一次降价后的零售价是______元用含的代数式表示；若要求出未知数，则应列出方程______列出方程即可，不要解方程．
14. 如图，菱形中，是的垂直平分线，，则______．

15. 已知二次函数与轴交于，两点，则______．
16. 如图，点、分别在正方形的边、上，，与相交于点，点为的中点，连接，若的长为，则正方形的边长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：
    ；
    ．
18. 如图，在中，，为边上的中线，过点作，过点作，、相交于点求证：四边形为菱形．

19. 已知是关于的一元二次方程的一个根．
    求实数的值；
    求证：方程总有两个不相等的实数根．
20. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为米．计划建造车棚的面积为平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为米．则这个车棚的长和宽分别应为多少米？

21. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在直线上，连结．
    求直线对应的函数表达式和的面积；
    点为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点的坐标．

22. 为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为元，日均销售量包与每包售价元满足，且．
    当每包售价为元时，求日均利润为多少元？
    每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？
23. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：

自变量的取值范围取全体实数，与的几组对应值列表如下：其中______．

根括上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

观察函数图象，写出函数的一条性质______；
进一步探究函数图象解决问题：
方程有______个实数根；
在问的平面直角坐标系中画出直线，根据图象写出方程的一个正数根约为______精确到

24. 如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
    如图，连接交于点，若．
    求的度数；
    求的长；
    如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，连接，，求证：．
     

25. 在直角坐标系中，设函数是实数．
    当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式．
    若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围．
    若该函数的图象经过，两点是实数当时，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
因式分解，得，
于是，得，，
，，
故选：．
根据因式分解法解一元二次方程的一般步骤解出方程．
本题考查的是因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
不能判断；
，，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
能判断；
，，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
能判断；
，，
四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
能判断；
故选：．
由平行四边形的判定方法得出、、能判断四边形是平行四边形，不能判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．分别求出判别式的值，再利用判别式的意义对、、进行判断；利用因式分解法解方程可对进行判断．
【解答】
解：，所以方程有两个相等的实数解，所以选项错误；
B.，所以方程没有实数解，所以选项正确；
C.，所以方程有两个不相等的实数解，所以选项错误；
D.方程两个的实数解为，，所以选项错误．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移个单位得到点的坐标为，
所以所得的抛物线的表达式为．
故选C．
先得到抛物线的顶点坐标为，再将点向右平移个单位得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
利用平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、周边游图形的性质的部分知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
点坐标．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：根据二次函数开口向上，得出，
根据是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出，
故一次函数的大致图象经过一、三、四象限，
故选：．
首先根据二次函数图象得出，的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出，的符号是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，根据滑行的距离与时间的函数关系可得，当秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：．
根据函数图象结合与的关系得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由折叠可知，，，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得，
，
故选：．
由折叠可知，，，设，则，，在中，由勾股定理得，求出即为所求．
本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，在抛物线上，
，
A、当时，，
，，
此时、同号，与矛盾，故A不符合题意；
B、当时，，
，，
此时，与矛盾，故B不符合题意；
C、当时，，
，，
此时、异号，，故C符合题意；
D、当时，，
，，
此时，与矛盾，故D不符合题意；
故选：．
根据，在抛物线上，可得，由各选项的值用含的代数式表示、，再判定的符合，满足的选项即符合要求．
本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是用含的代数式表示、，再判定的符号．
 

11.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象经过点，
，即．
故答案为：．
由点在正比例函数图象上，根据正比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出值．
本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征求出正比例函数的系数是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
由矩形的性质可得，可证是等边三角形，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

13.【答案】   

【解析】解：两次降价的百分率均为，
第一次降价后的零售价是：，
第二次后的价格是．
故答案为；，．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，即可得出答案．
此题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，此题是负增长率，一般设为形式．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
故答案为：．
由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由菱形的性质可得，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，是方程的两个实数解，
可得，，
则，
故答案为：．
由根与系数的关系得到，，结合已知即可求解．
本题考查二次函数的性质，根与系数的关系；灵活运用并掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
设正方形的边长为，则
、，
在中，
由勾股定理得，，
，
解得或舍去，
正方形的边长为，
故答案为：．
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
或，
解得，；
，
，
则或，
解得，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．   
又，为边上的中线，
               
又为边上的中线
               
                
平行四边形是菱形． 

【解析】求出四边形是平行四边形，推出，根据菱形的判定得出即可；
本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．
 

19.【答案】解：是关于的一元二次方程的一个根．
，
解得；
证明：


，
方程总有两个不相等的实数根． 

【解析】根据一元二次方程的解的定义，将代入关于的一元二次方程，列出关于的方程，通过解该方程求得值即可；
求出根的判别式，据此可得答案；
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

20.【答案】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又这堵墙的长度为米，
，
．
答：这个车棚的长为米，宽为米． 

【解析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据建造车棚的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙的长度即可确定结论；
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
的面积；
设，
当时，，解得，则，
的面积与的面积相等，
，
解得或，
点坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求直线的解析式；利用三角形面积公式求的面积；
先确定点坐标，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：熟练掌握利用待定系数法求一次函数的一般步骤是解决此类问题的关键．求一次函数，则需要两组，的值．
 

22.【答案】解：日均销售量包与每包售价元满足，
当时，，
日均利润为：元，
当每包售价为元时，日均利润为元；
设药店的日均利润为元，
由题意得：，
，，
当时，有最大值，最大值为，
每包售价定为元时，药店的日均利润最大，最大为元． 

【解析】把代入求出，再用一包的利润即可；
设日均毛利润为，根据日均利润每包利润销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
 

23.【答案】解：；
如图所示；

由函数图象知：当时，随的增大而减小；
；图象如图所示：
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象，一元二次方程以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
把代入函数解析式即可得的值；
描点、连线即可得到函数的图象；
观察函数图象，得到函数的图象当时，随的增大而减小；
根据函数图象与直线交点个数即可得到结论；画出直线，根据题意和表格即可求得．
【解答】
解：把代入，
得，
即，
故答案为；
见答案；
见答案；
由函数图象知：函数图象与有个交点，所以对应的方程有个实数根．
故答案为；
如图，

由图象和表格可知方程的一个正数根约为，
故答案为．  

24.【答案】解：四边形是边长为的正方形，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
如图，过点作于点，
，，
，，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
又，
，
解得：，
；
证明：过点作于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
设，则，
，
四边形是边长为的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
由勾股定理得：，，
，
． 

【解析】由正方形的性质得，，，则，再证是等腰直角三角形，得，则，即可得出结论；
过点作于点，证，，设，则，再由勾股定理得，然后由，得，即可解决问题；
过点作于点，证，设，则，，再由勾股定理即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：当时，则，
把点代入得，，
，
，即；
，
抛物线与轴的交点为，，
抛物线的对称轴为直线，
，
对称轴为直线，
抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，
，
；
函数的图象经过，两点是实数，
，，


，
，
，
，
． 

【解析】根据待定系数法即可求得；
求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，解得即可；
把，两点代入，表示出和，然后将配方可得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．