2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式Word版含解析，共18页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，常用拆角、拼角技巧，辅助角公式，下列四个等式中正确的是，下列各式中，值为eq \f的是等内容，欢迎下载使用。

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．半角公式
sineq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(12))± eq \r(\f(1－csα,2))，cseq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(13))± eq \r(\f(1＋csα,2))，taneq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(14))± eq \r(\f(1－csα,1＋csα)).
1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq \f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.
2．降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
3．升幂公式：1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)；1－csα＝2sin2eq \f(α,2)；1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2；1－sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcsα(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanφ＝\f(a,b))).
1．sin20°cs10°－cs160°sin10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
答案 D
解析 原式＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
2．(2021·全国乙卷)cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝cs2eq \f(π,12)－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,12)))＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，故选D.
3．(多选)化简：eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝( )
A．eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) D．eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
答案 AC
解析 eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝eq \f(6,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx))＝eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))).故选AC．
4．(2020·全国Ⅱ卷)若sinx＝－eq \f(2,3)，则cs2x＝________.
答案 eq \f(1,9)
解析 cs2x＝1－2sin2x＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2＝1－eq \f(8,9)＝eq \f(1,9).
5．设sin2α＝－sinα，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan(π－2α)＝________.
答案 －eq \r(3)
解析 因为sin2α＝－sinα，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以csα＝－eq \f(1,2)，α＝eq \f(2π,3)，因此tan(π－2α)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(4π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \r(3).
6．(2021·海口高考调研考试)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为________.
答案 －eq \f(1,7)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，所以csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×1)＝－eq \f(1,7).
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
考向一 公式的直接应用
例1 (1)若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),10)
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sinαa>b D．a>c>b
答案 D
解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cs50°cs127°＋cs40°cs37°＝cs50°·cs127°＋sin50°sin127°＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)＝cs77°＝sin13°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin56°－cs56°)＝eq \f(\r(2),2)sin56°－eq \f(\r(2),2)cs56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)＝eq \f(1－\f(sin239°,cs239°),1＋\f(sin239°,cs239°))＝cs239°－sin239°＝cs78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))为增函数，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.
考向三 角的变换
例3 (1)(2021·齐齐哈尔二模)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2021π,6)－2x))＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(7,9)
C．eq \f(8,9) D．－eq \f(2,3)
答案 B
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2021π,6)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(336π＋\f(5π,6)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝1－2×eq \f(1,9)＝eq \f(7,9).故选B.
(2)(2021·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
答案 －eq \f(4,5)
解析 由题意知α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5).因为β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25).则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).

1．求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
5.(2022·江苏南通期末)已知eq \f(π,2)