2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第1章第1讲　集合Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第1章第1讲　集合Word版含解析，共21页。试卷主要包含了集合的概念，集合间的基本关系，集合的基本运算，A∩B＝A∪B⇔A＝B.，A∩＝∅；A∪＝U；∁U＝A.，∩＝∁U，∪＝∁U等内容，欢迎下载使用。

1．集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：eq \x(\s\up1(01))确定性、eq \x(\s\up1(02))互异性、eq \x(\s\up1(03))无序性.
(2)元素与集合的关系是eq \x(\s\up1(04))属于或eq \x(\s\up1(05))不属于两种，用符号eq \x(\s\up1(06))∈或eq \x(\s\up1(07))∉表示．
(3)集合的表示法：eq \x(\s\up1(08))列举法、eq \x(\s\up1(09))描述法、eq \x(\s\up1(10))图示法.
(4)常见数集的记法
2．集合间的基本关系
续表
3．集合的基本运算
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．
3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
4．A∩B＝A∪B⇔A＝B.
5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.
6．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
8．如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，∁U(A∪B)．
9．用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
1．(2022·湖北武汉摸底)已知集合P＝{－2，－1，0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝( )
A．{0,1} B．{0,2}
C．{0,1,2} D．{1,2}
答案 C
解析 当x＝±1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝－2时，y＝2.所以Q＝{0,1,2}．故选C.
2．(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2,3}
C．{3,4} D．{2,3,4}
答案 B
解析 因为A＝{x|－23．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，A∩(∁UB)＝{3}，则B＝( )
A．{1,2} B．{1,2,4}
C．{2,4} D．∅
答案 A
解析 结合Venn图(如图)可知B＝{1,2}．故选A.
4．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))
答案 D
解析 由A∩B＝B，得B⊆A，若B为空集，则方程ax＝1无解，解得a＝0；若B不为空集，则a≠0，由ax＝1，解得x＝eq \f(1,a)，所以eq \f(1,a)＝－1或eq \f(1,a)＝2，解得a＝－1或a＝eq \f(1,2)，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2))).故选D.
5．(2022·云南昆明月考)已知集合P＝{1，a}，Q＝{1，a2}，若P＝Q，则a＝________.
答案 0
解析 因为P＝Q，P＝{1，a}，Q＝{1，a2}，所以a＝a2，解得a＝0或a＝1(舍去)．
6．(2022·聊城摸底)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________.
答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 因为A＝{x|0≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x<0或x>2}，又B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
考向一 集合的概念
例1 (1)设集合M＝{x|x≥2eq \r(3)}，a＝eq \r(11)，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M B．a∉M
C．{a}∈M D．{a}∉M
答案 B
解析 符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，故C，D错误．∵a＝eq \r(11)<2eq \r(3)，∴a∉M.故选B.
(2)(2021·南通模拟)已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．10
C．12 D．13
答案 D
解析 由题意可知，集合A中的元素有：(－2,0)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，共13个．
(3)(2022·广东湛江月考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系①a≠2，②b＝2，③c≠0中有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________.
答案 201
解析 可分下列三种情形：若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，推出a＝b＝1，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，推出b＝0，c＝1，满足集合中元素的互异性．所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.

1．准确把握集合概念的方法
(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合．
(2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么．
2．解答集合的概念与表示问题的两个关注点
(1)当用描述法表示集合时，要注意集合中的元素表示的意义是什么．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
1.(多选)(2022·山东威海月考)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A B．－11∉A
C．3k2－1∈A D．－34∈A
答案 BCD
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－eq \f(10,3)∉Z，所以－11∉A，所以B正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确．
2．(2022·海口调研)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 C
解析 ∵x∈Z，且eq \f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，∴x的值分别为5,3,1,－1，故集合A中的元素个数为4.故选C.
3．(2022·滨州联考)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 由题意知，可分三种情况讨论：①当a－3＝－3时，a＝0，经检验符合题意；②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时2a－1＝a2－4不满足集合中元素的互异性；③当a2－4＝－3时，a＝±1，经检验，a＝1符合题意．综上可知，a＝0或1.
考向二 集合间的基本关系
例2 (1)(2021·潍坊四县5月联考)已知集合A＝{x∈N|x2－x－6<0}，以下可为A的子集的是( )
A．{x|－2C．{0,1,2} D．{－1,1,2}
答案 C
解析 A＝{x∈N|x2－x－6<0}＝{x∈N|－2(2)(2021·无锡市天一中学高三下第三次调研)设a，b∈R，集合P＝{x|(x－1)2(x－a)＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x－b)2＝0}，若P＝Q，则a－b＝( )
A．0 B．2
C．－2 D．1
答案 C
解析 由题意得，当a＝1时，P＝{1}，当a≠1时，P＝{1，a}；当b＝－1时，Q＝{－1}，当b≠－1时，Q＝{－1，b}，因为P＝Q，所以当且仅当a＝－1，b＝1时，符合题意，故a－b＝－2.故选C.
(3)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________.
答案 m<－2或0≤m≤eq \f(5,2)
解析 A＝{x|－1≤x≤6}，若B⊆A，则当B＝∅时，有m－1>2m＋1，即m<－2时，符合题意；当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq \f(5,2).综上，实数m的取值范围是m<－2或0≤m≤eq \f(5,2).

1．判断集合间关系的方法
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．
(2)用列举法表示集合，从元素中寻找关系．
(3)利用数轴，在数轴上表示出两个集合(集合为数集)，从而确定集合与集合的关系．
2．已知两个集合间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
4.(2021·重庆一中高三月考)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．7
答案 D
解析 因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1,0,1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.
5．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
(1)若B⊆A，则实数a的取值范围为________；
(2)若A⊆B，则实数a的取值范围为________.
答案 (1)a≤－1或a＝1 (2)a＝1
解析 由题意，得A＝{－4,0}．
(1)∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．
当B＝∅时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，即Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1.
当B＝{－4}或B＝{0}时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此时B＝{0}，符合条件．
当B＝{－4,0}时，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝8a＋8>0，,－4＋0＝－2a＋1，,－4×0＝a2－1，))解得a＝1.
综上所述，a≤－1或a＝1.
(2)∵A⊆B，∴B＝{－4,0}．由(1)知a＝1.
多角度探究突破
考向三 集合的基本运算
角度 集合间的交、并、补运算
例3 (1)(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝( )
A．{3} B．{1,6}
C．{5,6} D．{1,3}
答案 B
解析 由题意可得∁UB＝{1,5,6}，故A∩(∁UB)＝{1,6}，故选B.
(2)(2021·日照三模)已知集合A＝{x|2x<4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∪B＝( )
A．[－1,2) B．(2,3]
C．(－1,3] D．(－∞，3]
答案 D
解析 ∵A＝{x|x<2}，B＝{x|－1≤x≤3}，∴A∪B＝(－∞，3]．故选D.
(3)(2021·临沂三模)若集合A，B，U满足A∩(∁UB)＝∅，则下面结论中一定成立的是( )
A．B⊆A B．A∪B＝U
C．A∪(∁UB)＝U D．B∪(∁UA)＝U
答案 D
解析 画出Venn图如右图，由图可知，∵A∩(∁UB)＝∅，∴A⊆B，∴A错误；∵A∪B＝B≠U，∴B错误；∵A∪(∁UB)≠U，∴C错误；∵B∪(∁UA)＝U，∴D正确．故选D.

1．集合基本运算的求解策略
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
2．集合的交、并、补运算口诀
交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．
6.(2021·枣庄二模)已知集合A＝{x|y＝ln x}，B＝{y∈Z|y＝2sinx}，则A∩B＝( )
A．(0,2] B．[0,2]
C．{1,2} D．{0,1,2}
答案 C
解析 集合A＝{x|y＝ln x}＝(0，＋∞)，B＝{y∈Z|y＝2sinx}＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}．故选C.
7．(2021·淄博三模)已知全集U＝R，集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|1－\f(2,x)<0))，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是( )
A．[－1,0) B．[－1,0)∪[1,2)
C．(1,2) D．(0,1)
答案 C
解析 由图可知所求集合为A∩(∁UB)，∵A＝(0,2)，∁UB＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．∴阴影部分表示的集合是(1,2)．故选C.
8．(2021·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M
C．N D．R
答案 B
解析 解法一：∵∁RM⊆N，∴M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.故选B.
解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁RM⊆N，结合图形可得M∪(∁RN)＝M.故选B.
角度 利用集合运算求参数
例4 (1)(2021·百校联盟联考)已知集合A＝{2a－1，a2,0}，B＝{1－a，a－5,9}，且A∩B＝{9}，则a＝( )
A．±3,5 B．3,5
C．－3 D．5
答案 C
解析 易知a2＝9或2a－1＝9，∴a＝±3或a＝5.当a＝3时，则1－a＝a－5＝－2，不满足集合中元素的互异性，舍去．当a＝5时，则A∩B＝{9,0}，与题设条件A∩B＝{9}矛盾，舍去．当a＝－3时，A＝{－7,9,0}，B＝{4，－8,9}，满足A∩B＝{9}，故a＝－3.
(2)(2022·潍坊一模)已知集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
B．[－1,2]
C．[－2,1]
D．[2，＋∞)
答案 C
解析 集合A＝{x|y＝eq \r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}≠∅，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－2，,a＋1≤2，))解得－2≤a≤1.
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
9.(2021·重庆八中模拟)已知集合A＝{x|1m}，若A∩(∁RB)＝∅，则m的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 ∵A∩(∁RB)＝∅，∴A⊆B，又A＝{x|1m}，∴m≤1.
10．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.
答案 －5
解析 P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.
集合的新定义问题
1．(2021·哈尔滨师范大学附中模拟)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，若A＝{2,3,4,5}，B＝{3,5,6}，则A*B表示的6位字符串是( )
A．101010 B．011001
C．010101 D．000111
答案 C
解析 由已知得，若A＝{2,3,4,5}，B＝{3,5,6}，则A*B＝{2,4,6}，此集合表示的6位字符串为010101.
2．(2022·青岛模拟)若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，1))，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________.
答案 0或1或4
解析 因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若a＝0，则B＝∅，满足B为A的真子集，此时A与B构成“全食”，若a>0，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2＝\f(1,a)))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(a))，－\f(1,\r(a)))).若A与B构成“全食”或“偏食”，则eq \f(1,\r(a))＝1或eq \f(1,\r(a))＝eq \f(1,2)，解得a＝1或a＝4.综上，a的值为0或1或4.
答题启示
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

对点训练
1．如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝ eq \r(2x－x2)}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B为( )
A．{x|0B．{x|1C．{x|0≤x≤1或x≥2}
D．{x|0≤x≤1或x>2}
答案 D
解析 ∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，
∴A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1∴A⊗B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}．
2．集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(其中n≥2)，如果A中的元素满足a1a2…an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋\r(5),2)，\f(－1－\r(5),2)))是“复活集”；
②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4；
③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．
其中正确的结论是________.(填序号)
答案 ①③
解析 对于①，eq \f(－1＋\r(5),2)×eq \f(－1－\r(5),2)＝eq \f(－1＋\r(5),2)＋eq \f(－1－\r(5),2)＝－1，故①正确；对于②，不妨设a1＋a2＝a1a2＝t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的两个根，由Δ＝(－t)2－4t>0，可得t<0或t>4，故②错误；对于③，不妨设a1一、单项选择题
1．下列各组集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案 B
解析 由集合元素的无序性，易知{2,3}＝{3,2}．故选B.
2．(2021·天津高考)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{1,3,5}，C＝{0,2,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{0} B．{0,1,3,5}
C．{0,1,2,4} D．{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,3,5}，C＝{0,2,4}，∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0,1,2,4}．故选C.
3．(2021·沈阳教学质量监测)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x(x－2)lg2x＝0}的关系可表示为( )
答案 A
解析 因为N＝{x|x(x－2)lg2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A.
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
解析 因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．
5．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A．∅ B．S
C．T D．Z
答案 C
解析 因为s＝2n＋1，n∈Z，当n＝2k，k∈Z时，s＝4k＋1，k∈Z；当n＝2k＋1，k∈Z时，s＝4k＋3，k∈Z，所以TS，S∩T＝T.故选C.
6．(2021·青岛二模)已知A，B均为R的子集，且A∩(∁RB)＝A，则下列结论中一定成立的是( )
A．B⊆A B．A∪B＝R
C．A∩B＝∅ D．A＝∁RB
答案 C
解析 ∵A∩(∁RB)＝A，∴A⊆∁RB，用Venn图表示如下：
由图可知，A∩B＝∅，即C一定成立，A，B，D都不一定成立．故选C.
7．(2021·吉林省实验高三模拟)已知非零实数a，b，c，则代数式eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＋eq \f(c,|c|)表示的所有的值的集合是( )
A．{3} B．{－3}
C．{3，－3} D．{3，－3,1，－1}
答案 D
解析 若a，b，c都为正数，则eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＋eq \f(c,|c|)＝3；若a，b，c两正一负，则eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＋eq \f(c,|c|)＝1；若a，b，c一正两负，则eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＋eq \f(c,|c|)＝－1；若a，b，c都为负数，则eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＋eq \f(c,|c|)＝－3.所以代数式eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＋eq \f(c,|c|)表示的所有的值的集合是{3，－3,1，－1}．故选D.
8．(2021·长沙月考)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则a的值是( )
A．0 B．4
C．0或4 D．不能确定
答案 C
解析 当a＝0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.则a的值是0或4.故选C.
9．(2021·青岛三模)集合A＝{x∈N|y＝lg4(x3－8)}，集合B＝{y∈N|y＝2|x－1|，x∈R}，则(∁RA)∩B＝( )
A．(0,2] B．(－1,2]
C．{0,1,2} D．{1,2}
答案 D
解析 因为集合A＝{x∈N|y＝lg4(x3－8)}＝{x∈N|x3－8>0}＝{x∈N|x>2}，又集合B＝{y∈N|y＝2|x－1|，x∈R}＝{y∈N|y≥1}，所以(∁RA)∩B＝{1,2}．故选D.
10．定义集合的商集运算为eq \f(A,B)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B))，已知集合A＝{2,4,6}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(k,2)－1，k∈A))，则集合eq \f(B,A)∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案 B
解析 由题意知，B＝{0,1,2}，eq \f(B,A)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)))，则eq \f(B,A)∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7个元素．故选B.
二、多项选择题
11．(2022·烟台月考)已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝∅
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩(∁RB)＝{x|2答案 BD
解析 ∵A＝{x|－12}，∴A∪(∁RB)＝{x|x<－2或x>－1}，A∩(∁RB)＝{x|212．(2022·河北唐山模拟)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列结论中可能成立的是( )
A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
答案 BD
解析 因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；设M＝{x∈Q|x三、填空题
13．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2x，\f(y－1,x)，1))，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x＋y＝________.
答案 2
解析 显然y＝1，即A＝{2x,0,1}，B＝{x2，x＋1,0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A中元素不满足互异性，舍去．∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2.
14．(2022·湖北宜昌摸底)已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.
答案 0或3
解析 由B⊆A，得m＝3或m＝eq \r(m)，解m＝eq \r(m)，得m＝0或m＝1，由集合元素的互异性知m≠1.∴m＝0或3.
15．设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________.
答案 (1,2]
解析 A＝{x|(x－a)2<1}＝{x||x－a|<1}＝{x|a－1因为2∈A,3∉A，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1<2，,a＋1>2，,a＋1≤3，))解得116．(2022·德州月考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5四、解答题
17．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(\f(2x－1,x＋1)－1)))))，集合B＝{x|－1≤x＋a≤2}．
(1)求集合A；
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
解 (1)由eq \f(2x－1,x＋1)－1≥0，即eq \f(x－2,x＋1)≥0得x<－1或x≥2，所以集合A＝{x|x<－1或x≥2}．
(2)集合B＝{x|－1≤x＋a≤2}＝{x|－1－a≤x≤2－a}，由B⊆A得2－a<－1或－1－a≥2，解得a>3或a≤－3，所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪(3，＋∞)．
18．(2022·临沂模拟)在①A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(4,x＋1)>1))，②A＝{x|x2－2x－3<0}，③A＝{x||x－1|<2}这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题：
设集合________，集合B＝{x|(x－2m)(x－m2－1)<0}(m≠1)，
(1)当m＝－1时，求A∩B，B∪(∁RA)；
(2)若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝－1时，B＝{x|(x＋2)(x－2)<0}＝{x|－2若选①：eq \f(4,x＋1)>1⇔eq \f(4,x＋1)－1>0⇔eq \f(3－x,x＋1)>0⇔(x－3)(x＋1)<0，解得－1所以A∩B＝{x|－1∁RA＝{x|x≤－1或x≥3}，
B∪(∁RA)＝{x|x<2或x≥3}．
若选②：x2－2x－3<0⇔(x－3)(x＋1)<0，
解得－1下同选①.
若选③：由|x－1|<2得－2所以A＝{x|－1下同选①.
(2)由(1)知A＝{x|－10，即m2＋1>2m，B＝(2m，m2＋1)，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m≥－1，,m2＋1≤3，))解得－eq \f(1,2)≤m≤eq \r(2).
所以实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\r(2))).
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
eq \x(\s\up1(11))N
eq \x(\s\up1(12))N*(或N＋)
eq \x(\s\up1(13))Z
eq \x(\s\up1(14))Q
eq \x(\s\up1(15))R
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
构成两个集合的元素是eq \x(\s\up1(16))一样的
eq \x(\s\up1(17))A⊆B且eq \x(\s\up1(18))B⊆A⇔A＝B
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
eq \x(\s\up1(19))A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉A
eq \x(\s\up1(20))AB或BA
表示
关系
文字语言
符号语言
结论
任何一个集合是它本身的子集
A⊆A
若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集
A⊆B，B⊆C⇒eq \x(\s\up1(21))A⊆C
空集是eq \x(\s\up1(22))任何集合的子集，是eq \x(\s\up1(23))任何非空集合的真子集
∅⊆A
∅B(B≠∅)
并集
交集
补集
图形
符号
A∪B＝eq \x(\s\up1(24)){x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝eq \x(\s\up1(25)){x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝eq \x(\s\up1(26)){x|x∈U，且x∉A}
集合
{x|f(x)＝0}
{x|f(x)>0}
{x|y＝f(x)}
{y|y＝f(x)}
{(x，y)|y＝f(x)}
代表元素
方程
f(x)＝0的根
不等式f(x)>0的解
函数y＝f(x)的自变量的取值
函数y＝f(x)的函数值
函数y＝
f(x)图象上的点