2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第8章第5讲　空间直线、平面的垂直Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第8章第5讲　空间直线、平面的垂直Word版含解析，共30页。试卷主要包含了直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，二面角的有关概念，三种距离等内容，欢迎下载使用。
第5讲　空间直线、平面的垂直




1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理

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判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
(3)直线与平面垂直的性质定理

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图形语言
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性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理

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判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

⇒α⊥β
(3)平面与平面垂直的性质定理

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图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)斜线与平面所成的角的范围：.
直线与平面所成的角的范围：.
4．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
5．三种距离
(1)点面距
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
(2)线面距
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(3)面面距
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做这两个平行平面间的距离．

直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

1．(2022·广东深圳调研)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
答案　B
解析　因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B.
2．(多选)下列命题中正确的有(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案　ABC
解析　若α⊥β，则α内至少有一条直线垂直于平面β，而非所有直线都垂直于平面β.故选ABC．
3．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成的角的大小为(　　)
A．60° B．45°
C．30° D．90°
答案　A
解析　斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面α所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，所以∠ABO＝60°.故选A．

4．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　)

A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案　A
解析　∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A．
5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如图，∵PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，在Rt△POA中，OA2＝PA2－PO2，同理OB2＝PB2－PO2，OC2＝PC2－PO2.又PA＝PB＝PC，故OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．

(2)由PA⊥PB，PA⊥PC，可知PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，又PO⊥BC，∴BC⊥平面PAO，∴AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB.故O是△ABC的垂心．
6．(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________.
答案　
解析　如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．

又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝ ＝.



考向一　有关垂直关系的判断
例1　(1)已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是(　　)
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
答案　A
解析　由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线与平面垂直的判定定理，而A中，直线l可能与平面α垂直，也可能与平面α相交但不垂直，还可能与平面α平行，故选A．
(2)(多选)(2022·湖南长沙摸底)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)

答案　BD
解析　对于A，易证AB与CE所成的角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于C，易证AB与CE所成的角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于D，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，且ED∩CE＝E，则AB⊥平面CDE.故选BD.
　　判断垂直关系需注意的问题
(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．
(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了．
(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
　1.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是(　　)

答案　BC
解析　设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC或其补角为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC＝，CP＝1，故tan∠POC＝＝，故MN⊥OP不成立，故A错误；对于B，如图2所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN，由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ⊂平面MADT，故SM⊥OQ，而SM∩MT＝M，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；
　
对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，AO，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线OP，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝AC＝，OQ＝＝＝，OP＝＝＝，OQ2，
∴在线段A′C上存在点P满足条件，
此时＝＝＝.
若选条件②二面角A′－MN－C的大小为60°，
由(1)得∠A′MB是二面角A′－MN－C的平面角，∴∠A′MB＝60°，∴S△A′BM＝×1×2×＝，
三棱锥A′－BCM的体积为V＝S△A′BM·＝.
所以在线段A′C上存在点P满足条件，且＝1.
若选条件③A′到平面BCNM的距离为，
过A′作A′O⊥BM，垂足为O，则A′O⊥平面BCNM，
∴A′O＝，∴∠A′MB＝45°或135°，
∴S△A′BM＝×1×2×＝，
三棱锥A′－BCM的体积为V＝S△A′BM·＝