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2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第7讲 双曲线（一）Word版含解析
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这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第7讲 双曲线（一）Word版含解析，共24页。试卷主要包含了双曲线的概念，双曲线的标准方程和几何性质，等轴双曲线，已知F1，F2为双曲线C，如图，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
第7讲 双曲线(一)
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当a
(3)当a>c时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a
或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a
或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
4．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A． B．1
C． D．2
答案 C
解析 由题意可得＝1，∴e＝ ＝＝.故选C．
2．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
答案 B
解析 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D．
4．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式，得点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝.故选A．
5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
答案 y＝±x
解析 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
6．已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________.
答案 λ<－2或λ>－1
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.
考向一 双曲线的定义
例1 (1)(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A． B．3
C． D．2
答案 B
解析 双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝3.故选B.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
1.已知动点M(x，y)满足 －＝4，则动点M的轨迹是( )
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
答案 A
解析 设F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A．
2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
答案 9
解析 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点P在线段AF1上时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
考向二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C．
(2)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
答案 D
解析 由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D．
(3)经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
②常见双曲线的设法
(ⅰ)已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(ⅲ)已知渐近线方程为±＝0的双曲线，可设为－＝λ(λ≠0)．
③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断．
④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
3.(2021·北京高考)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
答案 A
解析 ∵e＝＝2，∴c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程为x2－＝1.故选A．
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A．y2－＝1(y≤－1)
B．y2－＝1
C．y2－＝－1
D．x2－＝1
答案 A
解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵在双曲线中，c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
多角度探究突破
考向三 双曲线的几何性质
角度 双曲线离心率问题
例3 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 由|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos60°，所以C的离心率e＝＝.故选A．
(2)若斜率为的直线与双曲线－＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
答案 D
解析 因为斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，所以>，则e＝＝ >＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D．
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
5.(多选)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点P的坐标为(0,1)，点Q为双曲线C左支上的动点，且△PQF的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为( )
A． B．2
C． D．3
答案 AC
解析 设双曲线C的左焦点为F′，则|QF|－|QF′|＝2a，即|QF|＝|QF′|＋2a，故|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|PQ|＋2a≥|PF′|＋2a.由题意可得|PF′|＝|PF|＝＝5，所以|PQ|＋|QF|＋|PF|≥2|PF|＋2a≥14，所以a≥2，则双曲线C的离心率e＝＝≤.因为e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围为(1，]．故选AC．
6．(2022·广东湛江模拟)已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(，2)
C．(1＋，＋∞) D．(1,1＋)
答案 D
解析 依题意，得0<∠AF2F1<，故0
例4 (1)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
答案 B
解析 由题可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d＝＝1，故4b2＝a2＋b2，即3b2＝a2，则＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选B.
(2)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，||＝2||＝2m(m＞0)，·＝m2，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 D
解析 因为|PF1|－|PF2|＝2a，||＝2||＝2m，所以m＝2a.由·＝m2可得4a·2acos∠F1PF2＝4a2，所以∠F1PF2＝60°，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即有4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×＝12a2，即c2＝a2＋b2＝3a2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D．
(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
7.(2021·湖南3月联考)赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史．赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为7.23米．设拱弧(假设桥拱的曲线是圆弧)的半径为R米，r为R精确到整数部分的近似值．已知双曲线C：－＝1(a>0)的焦距为r，则C的离心率为(参考数据：7.232＋18.852≈407.6)( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 C
解析 由题意知，R2＝2＋(R－7.23)2，
∴14.46R＝7.232＋18.852≈407.6，
∴R≈28.19，∴r＝28，∵a2＋192＝2＝142＝196，
∴a＝2，∴离心率e＝＝＝7.故选C．
8．(多选)(2021·山东烟台模拟)已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
答案 AC
解析 因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，将(3，)代入，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，A正确；该双曲线的离心率为≠，B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，D不正确．
9．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.
答案 y＝±x
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
一、单项选择题
1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
2．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为( )
A． B．
C．(±5,0) D．(0，±5)
答案 A
解析 将双曲线的方程化为标准形式为－＝1，所以c2＝＋＝，所以c＝，所以焦点坐标为.
3．(2021·重庆一中模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为a，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
答案 A
解析 设F(－c,0)(c>0)，由题知，一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0.因为d＝＝b＝a，所以＝，故渐近线方程为y＝±x.故选A．
4．(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin40° B．2cos40°
C． D．
答案 D
解析 由题意可得－＝tan130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故选D．
5．已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 B
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心为C(2,0)，半径r＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝＝1，所以3b2＝a2.由－＝1，得b2＝3，则a2＝9，所以2a＝6.故选B.
6．(2021·济南模拟)许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20米，上底直径CD＝20米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为( )
A．10米 B．20米
C．10米 D．10米
答案 B
解析 以最细处平行于CD的直径所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知D(－10，20)，B(10，－60)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴解得a2＝100，b2＝400，∴a＝10，∴|EF|＝2a＝20，故选B.
7．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.
8．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 A
解析 ∵＝，∴c＝a，根据双曲线的定义可得||F1P|－|F2P||＝2a，∵S△PF1F2＝|F1P|·|F2P|＝4，∴|F1P|·|F2P|＝8.∵F1P⊥F2P，∴|F1P|2＋|F2P|2＝(2c)2，∴(|F1P|－|F2P|)2＋2|F1P|·|F2P|＝4c2，即(2a)2＋2×8＝4(a)2，解得a＝1，故选A．
9．(2021·浙江高考)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是( )
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
答案 C
解析 因为函数f(x)＝ax2＋b，所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，所以[f(s)]2＝f(s－t)f(s＋t)，即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[a(s＋t)2＋b]，化简得－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，得t＝0或2as2－at2＝2b，易知点(s，t)的轨迹是直线和双曲线．故选C．
10．(2022·北京海淀模拟)如图，已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与y轴的正半轴交于A点，△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N.若|MN|＝2，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
答案 D
解析 设△AMF1的内切圆在边AF1，AM的切点分别为E，G，则|AE|＝|AG|，|EF1|＝|F1N|，|MN|＝|MG|.又|MF1|－|MF2|＝2a，则|EF1|＋|MG|－|MF2|＝2a，由对称性可知|AF1|＝|AF2|，即|EF1|＋|AE|＝|MF2|＋|MG|＋|AG|，化简可得|MN|＝a，则a＝2，a＋2＝4，所以双曲线C的离心率为＝.
二、多项选择题
11．已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．对任意实数k，曲线C都不可能为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
答案 BC
解析 对于A，当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，该曲线为椭圆，焦距2c＝2＝4，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，该曲线为双曲线，则a＝，c＝，其离心率e＝＝，B正确；对于C，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则无解，故不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C正确；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为－＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y＝±x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝＝≠3，所以双曲线C的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选BC．
12．(2021·山东日照三模)已知曲线C：＋＝1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2＝
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3
答案 ABD
解析 对于A，当m＝－3时，曲线C：－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为y＝±x，故渐近线的倾斜角分别为，，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A正确；对于B，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，所以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B正确；对于C，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，)，则cos∠F1MF2＝＝＝－<0，故∠F1MF2为钝角，所以曲线C上存在点P，使得∠F1PF2＝，故C错误；对于D，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为Smax＝×2c×b＝×2×＝3，故D正确．故选ABD．
三、填空题
13．(2021·全国乙卷)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________.
答案
解析 由题意可知，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式得距离d＝＝.
14．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________.
答案 4
解析 双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝± x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
15．(2022·河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________.
答案
解析 由F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝.设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，S△IF1F2＝·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，得|PF1|·r＝·|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝.
16．点P是椭圆＋＝1(a1＞b1＞0)和双曲线－＝1(a2＞0，b2＞0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F1PF2＝，则的值是________.
答案
解析 不妨设P是第一象限内的交点，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可知m＋n＝2a1，①
由双曲线定义可知m－n＝2a2，②
由①②得m＝a1＋a2，n＝a1－a2.
在△F1PF2中，由余弦定理的推论可得，
cos∠F1PF2＝＝，
即m2＋n2－mn＝4c2，
∴(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，即a＋3a＝4c2，
又知a－b＝c2，a＋b＝c2，
∴b＋c2＋3(c2－b)＝4c2，∴b＝3b，
又知b1>0，b2>0，∴＝.
四、解答题
17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解 (1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.
因为双曲线过点(4，－)，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：设＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
所以·＝(－2－3)×(2－3)＋(－m)2＝－3＋m2，
因为点M在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2－3＝0，
所以·＝0.
(3)因为△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以S△F1MF2＝×4×＝6.
18．(2022·江苏南京摸底)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．
解 (1)依题意得
解得故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)证明：因为点M在双曲线上，所以－＝1.所以m2＝.
不妨设F1在x轴下方，则F1(0，－)，F2(0，)，
所以·＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，
所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．
19．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两个曲线的方程；
(2)若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解 (1)由已知c＝，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.
则
解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，
又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝＝＝.
20．(2021·新高考八省联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解 (1)设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，B，
因为|AF|＝|BF|，故＝a＋c，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
又e>0，故e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈.
当∠BFA＝时，由题意易得∠BAF＝，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠时，
因为tan∠BFA＝－＝－，
tan∠BAF＝，
所以tan2∠BAF
＝＝
＝
＝
＝
＝
＝－＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
第7讲 双曲线(一)
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当a
(3)当a>c时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a
或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a
或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
4．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A． B．1
C． D．2
答案 C
解析 由题意可得＝1，∴e＝ ＝＝.故选C．
2．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
答案 B
解析 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17，故选B.
3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，∴＝，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋a2＝a2，∴e＝＝.故选D．
4．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式，得点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝.故选A．
5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
答案 y＝±x
解析 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
6．已知曲线方程－＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________.
答案 λ<－2或λ>－1
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.
考向一 双曲线的定义
例1 (1)(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A． B．3
C． D．2
答案 B
解析 双曲线的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝3.故选B.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.
答案 x2－＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
1.已知动点M(x，y)满足 －＝4，则动点M的轨迹是( )
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
答案 A
解析 设F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A．
2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
答案 9
解析 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点P在线段AF1上时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
考向二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2021·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C．
(2)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
答案 D
解析 由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D．
(3)经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
答案 －＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
②常见双曲线的设法
(ⅰ)已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(ⅲ)已知渐近线方程为±＝0的双曲线，可设为－＝λ(λ≠0)．
③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断．
④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
3.(2021·北京高考)双曲线C：－＝1过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1 D．－y2＝1
答案 A
解析 ∵e＝＝2，∴c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此，双曲线的方程为x2－＝1.故选A．
4．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A．y2－＝1(y≤－1)
B．y2－＝1
C．y2－＝－1
D．x2－＝1
答案 A
解析 由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵在双曲线中，c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
多角度探究突破
考向三 双曲线的几何性质
角度 双曲线离心率问题
例3 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案 A
解析 由|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cos60°，所以C的离心率e＝＝.故选A．
(2)若斜率为的直线与双曲线－＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
答案 D
解析 因为斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，所以>，则e＝＝ >＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D．
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
5.(多选)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点P的坐标为(0,1)，点Q为双曲线C左支上的动点，且△PQF的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为( )
A． B．2
C． D．3
答案 AC
解析 设双曲线C的左焦点为F′，则|QF|－|QF′|＝2a，即|QF|＝|QF′|＋2a，故|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|PQ|＋2a≥|PF′|＋2a.由题意可得|PF′|＝|PF|＝＝5，所以|PQ|＋|QF|＋|PF|≥2|PF|＋2a≥14，所以a≥2，则双曲线C的离心率e＝＝≤.因为e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围为(1，]．故选AC．
6．(2022·广东湛江模拟)已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(，2)
C．(1＋，＋∞) D．(1,1＋)
答案 D
解析 依题意，得0<∠AF2F1<，故0
例4 (1)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
答案 B
解析 由题可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d＝＝1，故4b2＝a2＋b2，即3b2＝a2，则＝，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选B.
(2)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，||＝2||＝2m(m＞0)，·＝m2，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 D
解析 因为|PF1|－|PF2|＝2a，||＝2||＝2m，所以m＝2a.由·＝m2可得4a·2acos∠F1PF2＝4a2，所以∠F1PF2＝60°，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即有4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×＝12a2，即c2＝a2＋b2＝3a2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D．
(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
7.(2021·湖南3月联考)赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距今已有1400余年的历史．赵州桥的桥拱的跨度为37.7米，拱矢(拱顶至石拱两脚连线的高度)为7.23米．设拱弧(假设桥拱的曲线是圆弧)的半径为R米，r为R精确到整数部分的近似值．已知双曲线C：－＝1(a>0)的焦距为r，则C的离心率为(参考数据：7.232＋18.852≈407.6)( )
A．5 B．6
C．7 D．8
答案 C
解析 由题意知，R2＝2＋(R－7.23)2，
∴14.46R＝7.232＋18.852≈407.6，
∴R≈28.19，∴r＝28，∵a2＋192＝2＝142＝196，
∴a＝2，∴离心率e＝＝＝7.故选C．
8．(多选)(2021·山东烟台模拟)已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
答案 AC
解析 因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，将(3，)代入，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，A正确；该双曲线的离心率为≠，B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，D不正确．
9．(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.
答案 y＝±x
解析 因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
一、单项选择题
1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
2．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为( )
A． B．
C．(±5,0) D．(0，±5)
答案 A
解析 将双曲线的方程化为标准形式为－＝1，所以c2＝＋＝，所以c＝，所以焦点坐标为.
3．(2021·重庆一中模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为a，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
答案 A
解析 设F(－c,0)(c>0)，由题知，一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0.因为d＝＝b＝a，所以＝，故渐近线方程为y＝±x.故选A．
4．(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin40° B．2cos40°
C． D．
答案 D
解析 由题意可得－＝tan130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故选D．
5．已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
答案 B
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心为C(2,0)，半径r＝1.双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝＝1，所以3b2＝a2.由－＝1，得b2＝3，则a2＝9，所以2a＝6.故选B.
6．(2021·济南模拟)许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20米，上底直径CD＝20米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为( )
A．10米 B．20米
C．10米 D．10米
答案 B
解析 以最细处平行于CD的直径所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知D(－10，20)，B(10，－60)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∴解得a2＝100，b2＝400，∴a＝10，∴|EF|＝2a＝20，故选B.
7．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.
8．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 A
解析 ∵＝，∴c＝a，根据双曲线的定义可得||F1P|－|F2P||＝2a，∵S△PF1F2＝|F1P|·|F2P|＝4，∴|F1P|·|F2P|＝8.∵F1P⊥F2P，∴|F1P|2＋|F2P|2＝(2c)2，∴(|F1P|－|F2P|)2＋2|F1P|·|F2P|＝4c2，即(2a)2＋2×8＝4(a)2，解得a＝1，故选A．
9．(2021·浙江高考)已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是( )
A．直线和圆 B．直线和椭圆
C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
答案 C
解析 因为函数f(x)＝ax2＋b，所以f(s－t)＝a(s－t)2＋b，f(s)＝as2＋b，f(s＋t)＝a(s＋t)2＋b.因为f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，所以[f(s)]2＝f(s－t)f(s＋t)，即(as2＋b)2＝[a(s－t)2＋b]·[a(s＋t)2＋b]，化简得－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，得t＝0或2as2－at2＝2b，易知点(s，t)的轨迹是直线和双曲线．故选C．
10．(2022·北京海淀模拟)如图，已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与y轴的正半轴交于A点，△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N.若|MN|＝2，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
答案 D
解析 设△AMF1的内切圆在边AF1，AM的切点分别为E，G，则|AE|＝|AG|，|EF1|＝|F1N|，|MN|＝|MG|.又|MF1|－|MF2|＝2a，则|EF1|＋|MG|－|MF2|＝2a，由对称性可知|AF1|＝|AF2|，即|EF1|＋|AE|＝|MF2|＋|MG|＋|AG|，化简可得|MN|＝a，则a＝2，a＋2＝4，所以双曲线C的离心率为＝.
二、多项选择题
11．已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．对任意实数k，曲线C都不可能为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
答案 BC
解析 对于A，当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，该曲线为椭圆，焦距2c＝2＝4，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，该曲线为双曲线，则a＝，c＝，其离心率e＝＝，B正确；对于C，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则无解，故不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C正确；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为－＝1，该曲线为双曲线，其渐近线方程为y＝±x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝＝≠3，所以双曲线C的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选BC．
12．(2021·山东日照三模)已知曲线C：＋＝1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2＝
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3
答案 ABD
解析 对于A，当m＝－3时，曲线C：－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为y＝±x，故渐近线的倾斜角分别为，，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为，故A正确；对于B，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，所以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B正确；对于C，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，)，则cos∠F1MF2＝＝＝－<0，故∠F1MF2为钝角，所以曲线C上存在点P，使得∠F1PF2＝，故C错误；对于D，若m＝3，则曲线C：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为Smax＝×2c×b＝×2×＝3，故D正确．故选ABD．
三、填空题
13．(2021·全国乙卷)双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________.
答案
解析 由题意可知，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式得距离d＝＝.
14．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________.
答案 4
解析 双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝± x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
15．(2022·河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________.
答案
解析 由F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，可得2c＝＝，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝.设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，S△IF1F2＝·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，得|PF1|·r＝·|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝.
16．点P是椭圆＋＝1(a1＞b1＞0)和双曲线－＝1(a2＞0，b2＞0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F1PF2＝，则的值是________.
答案
解析 不妨设P是第一象限内的交点，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可知m＋n＝2a1，①
由双曲线定义可知m－n＝2a2，②
由①②得m＝a1＋a2，n＝a1－a2.
在△F1PF2中，由余弦定理的推论可得，
cos∠F1PF2＝＝，
即m2＋n2－mn＝4c2，
∴(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，即a＋3a＝4c2，
又知a－b＝c2，a＋b＝c2，
∴b＋c2＋3(c2－b)＝4c2，∴b＝3b，
又知b1>0，b2>0，∴＝.
四、解答题
17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解 (1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ.
因为双曲线过点(4，－)，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：设＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
所以·＝(－2－3)×(2－3)＋(－m)2＝－3＋m2，
因为点M在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2－3＝0，
所以·＝0.
(3)因为△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以S△F1MF2＝×4×＝6.
18．(2022·江苏南京摸底)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．
解 (1)依题意得
解得故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)证明：因为点M在双曲线上，所以－＝1.所以m2＝.
不妨设F1在x轴下方，则F1(0，－)，F2(0，)，
所以·＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，
所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．
19．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两个曲线的方程；
(2)若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解 (1)由已知c＝，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.
则
解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，
则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，
又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝＝＝.
20．(2021·新高考八省联考)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解 (1)设双曲线的半焦距为c，
则F(c,0)，B，
因为|AF|＝|BF|，故＝a＋c，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
又e>0，故e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈.
当∠BFA＝时，由题意易得∠BAF＝，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠时，
因为tan∠BFA＝－＝－，
tan∠BAF＝，
所以tan2∠BAF
＝＝
＝
＝
＝
＝
＝－＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.
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