【教培专用】三年级上册秋季数学奥数培优讲义-第04讲 树形图 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、树形图法

1、对某件事情过程的枚举，一般会用树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有的情况的方法．

2、画树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“叶子”．这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“叶子”的数目即可．

二、数字计数（三下）

1、在涉及数字的枚举时，需要注意0不能在首位．对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举．

2、对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．类与类之间有时会有很多相似性，如果能够合理利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作量．

      我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举，接下来我们将学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法．

一、 树形图法

1、乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个．请问：它们共有多少种不同的站法？

【答案】
2

【解析】
因为乌龟不站在第一个，所以分兔子站第一个和米老鼠站第一个两种情况．当兔子站第一个时，乌龟和米老鼠分别可以站第二个，但当乌龟站第二个，米老鼠站第三个时不成立，所以可得1种站法．当米老鼠站第一个时，只能乌龟站第二个，兔子站第三个，可得1种站法．综上，共2种站法．

2、小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两个人中的任何一人，先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两个人中的任何一人，经过4次传球后，球又回到小高手上，请问：一共有多少种不同的传球过程？

【答案】
6

【解析】
如下图，每次可以传给除自己外的两人，画出树形图，可得6种不同的传球过程．

3、旦旦和雁雁比赛羽毛球，约定五局三胜，如果最后旦旦获胜了，那么比赛的进程有__________种可能．

【答案】
10

【解析】
把每局比赛的结果用树形图表示出来．可以看出，比赛进程有10种可能．

4、5块六边形的地毯拼成了如图的形状，每块地毯上都有一个编号．现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？

【答案】
5

【解析】
画出树形图，可知共有5种不同的走法．

5、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了5次之后，还在荷叶A上．请问：它一共有多少种不同的跳法？

【答案】
10

【解析】
画出树形图，可知，一共有10种不同的跳法．

6、小高去参加“逗你玩”挑战赛，答错一道题可得1分，答对一题可得2分，小高每题都答了．请问小高恰好得5分的情况有多少种？

【答案】
8

【解析】
画出树形图，可知共有8种恰好得5分的情况．

二、 数字计数

7、一个四位数，每一位上的数字都是0，1，2中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的四位数？

【答案】
16

【解析】
如下图，分首位为1或2，画出树形图，可得16个满足条件的四位数．

8、王老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字．试问：王老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？

【答案】
10次

【解析】
个位比十位大，十位比百位大，那么就是百位数字最小，而且百位不可能为0．则把百位作为树根来画树形图，要满足每个后一位上的数要比它前一位上面的数大．

按照从左到右的顺序就可以依次的读出每个可能的答案．比如在第一个树形图中，从上到下分别是：123、124、125；134、135；145．接下来的两个树形图中的数分别是：234、235；245．所以最多只需试10次就能打开公文包．

9、一个三位数，每一位上的数字都是0，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？

【答案】
8

【解析】
分首位为6或7，画出树形图，可知共有8和满足条件的三位数．

1、甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线，如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个．那么一共有多少种站队的方法？

【答案】
2

【解析】
因为甲和丁不站第一个，所以分乙和丙站第一位．

如果乙站第一位，则第二位可以为丙或丁．如果第二位为丙，则第三位为甲或丁，但第三位为甲时，第四位不能为丁，不成立，所以可得1种站法．如果第二位为丁，则第三位为甲，第四位不能为丙，不成立．那么乙站第一位时，可得1种站法．

如果丙站第一位，则只能丁站第二位，甲站第三位，乙站第四位，可得1种站法．

综上，共有2种站法．

2、有A、B、C三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A上，每次他都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A上．请问：它一共有多少种不同的跳法？

【答案】
6

【解析】
如下图，每次可以跳到其他两片叶中的一片，画出树形图，可知一共有6种不同的跳法．

3、一个三位数，每一位上的数字都是5，6，7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？

【答案】
12

【解析】
如下图，分首位为5、6或7，画出树形图，可得12个满足条件的三位数．

4、一个三位数，百位数字比十位数字大，十位数字比个位数字大，个位数字不小于5，那么这样的三位数一共有__________个．

【答案】
10

【解析】
通过树形图画出所有可能的情况，依次写出个位、十位、百位数字．可知，共有10个这样的三位数．

1、利用数字1、4、7能组成__________个无重复数字的三位数．

【答案】
6

【解析】
按顺序枚举，可以组成147、174、417、471、714、741共6个无重复数字的三位数．

2、由1、2能组成________个三位数．

【答案】
8

【解析】
如下图，分首位为1或2，画出树形图，可得8个满足条件的三位数．

3、由2、3、4各一个组成一个三位数，要求：百位不是2，十位不是3，个位不是4，则符合要求的三位数有________个．

【答案】
2

【解析】
因为百位不是2，所以分百位为3或4．

如果百位为3，则十位为2或4．但当十位为2时，个位为4不成立，所以有1个．

如果百位为4，则十位只能为2，个位为3，有一个符合要求的三位数．

综上，共有2个符合要求的三位数．

4、粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试________次就一定能打开日记本．

【答案】
12

【解析】
画出树形图，可得如下12种符合条件的密码，所以卡莉娅最多试12次就一定能打开日记本．

5、松鼠宝宝出去摘松果，每次出去都会摘回来1个松果或2个松果，那么松鼠宝宝恰好采4个松果有________种不同的过程．

【答案】
5

【解析】
分第一次采1个和2个两种情况，画出树形图，可得5种不同的过程．

6、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有________种可能的传球过程．

【答案】
3

【解析】
从甲开始，每次都把球传给剩下两人中的一个，画出树形图，可得如下3种可能得传球过程．

7、甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球不在丙的手上，那么一共有________种可能的传球过程．

【答案】
5

【解析】
从甲开始，每次都把球传给剩下两人中的一个，画出树形图，可得如下5种可能得传球过程．

8、甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第1局，并最终获胜．则一共有_________种不同的比赛过程．

【答案】
6

【解析】
甲胜了第1局，并最终获胜，则说明甲先胜3局，可得如下6种不同的比赛过程．

9、小高、墨莫、卡莉娅三个人在打牌（每局只有一个人赢）．一旦有人赢了2局就获胜，牌局结束．最后小高赢了，则墨莫和卡莉娅两个人最多一共赢了________局．

【答案】
2

【解析】
小高最后赢得了比赛，所以墨莫和卡莉娅最多各赢一局，他们一共最多赢两局．

10、甲、乙、丙、丁、戊按如下方式站成一圈传球，从甲开始，每次只能给相邻的人传球，传球4次后，球又回到甲的手里，请问：可能的传球过程有多少种？

【答案】
6

【解析】
画出树形图，可知共有6种可能的传球过程．