【教培专用】三年级上册秋季数学奥数培优讲义-第05讲 多重周期问题 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、多重周期问题

1、 多重周期解题思路：

  （1）分别根据各自的周期计算结果，最后加以组合．

  （2）找到公共周期，并归纳出公共周期内的具体情况，再进行计算．

2、 由于公共周期必须同时是两个规律甚至更多规律的周期，所以公共周期的长度必须是这些周期长度的公倍数．一般的，要找最小的那个，称之为最小公倍数．

3、 对于报数问题一般有两种：

  第一种是两次报数都是同向的．

  第二种是第一次报数是从左向右，第二次报数却是从右到左，这时可以将反向的周期转化为同向的周期问题．

      在之前我们已经学习了两讲周期问题，实际生活中还存在一类更加复杂的周期规律．我们已经知道周期现象无处不在，那么自然的，这些周期现象就很可能组合起来，产生更复杂的规律．多重周期在怎么复杂也是由多个单一周期所组成的，所以我们可以有两种解题思路．

一、 多重周期问题

1、如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“大灰狼”3个汉字不断重复，第二行是“坏人”2个汉字不断重复．那么，第200列中从上到下是哪2个汉字？

【答案】
灰人

【解析】
根据每行周期直接计算第200列的数．第一行周期为3，，所以第200列第一行为灰．同理，第二行周期为2，，所以第200列第二行为人．综上，第200列中从上到下是灰人．

2、用“疯、狂、原、始、人”5个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．那么第84行84列交叉处填入的字是__________．

A．疯

B．狂

C．原

D．始

E．人

【答案】
B
 

【解析】
，所以第84行的第一个字是始，第80行依次为“始、人、疯、狂、原”循环出现，所以这一行的第84个字是狂．所以第84行84列交叉处填入的字是狂，答案为B．

3、如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“胡萝卜”3个汉字不断重复，第二行是“兔子”2个汉字不断重复，那么第3次从上到下出现“胡子”这2个字是在第多少列？

【答案】
16

【解析】
第一行周期为3，第二行周期为2，所以公共周期为6．每个周期有1个“胡子”，在第四个，所以第3次从上到下出现“胡子”这2个字是在第列．

4、如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“高兴”2个汉字不断重复，第二行是“要坚强”3个汉字不断重复，第三行是“做事情要果断”6个汉字不断重复．那么，第100列中从上到下是哪三个字？

【答案】
兴要要

【解析】
根据每行周期直接计算第100列的数．第一行周期为2，，所以第100列第一行为兴．同理，第二行周期为3，，所以第100列第二行为要．第三行周期为6，，所以第100列第三行为要．综上，第100列中从上到下是兴要要．

5、如图，观察图中图形的规律：

（1）第200个图形应该是下面A、B、C、D四个图形中的哪一个？

（2）这200个图形中出现了多少个A图形？

【答案】
（1）A（2）81

【解析】
（1）从图形形状上分析，5个一周期，，所以形状为五角星．从图形颜色分析，3个一周期，白，黑，黑．，所以颜色为黑．那么，第200个图形应该是下面A图所示图形．

（2）从图形形状上分析，5个一周期，从图形颜色分析，3个一周期，所以公共周期为15，每周期有6个A图形，，余下的不完整周期中有3个A图形，所以共有个．

二、 报数问题

6、1201名士兵排成一横排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从左到右1至4循环报数．那么两次都报1的士兵有多少名？

【答案】
101

【解析】
把士兵两次报数写出来，找到周期．第一行周期为3，第二行周期为4，公共周期为12，每周期有1名两次都报1的士兵，且为每周期的第1个．，所以两次都报1的士兵有个．

7、303名士兵排成一排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从右到左1至2循环报数．请问：有多少名士兵两次所报数相同？

【答案】
102

【解析】
第二行从右向左1至2循环报数，，所以最左边的人报1．把士兵两次报数写出来，找到周期．第一行周期为3，第二行周期为2，公共周期为6，每周期有2名士兵所报数相同，是每周期的第一、第二个．，剩余的不完整周期里有2个士兵报数相同，所以两次报数相同的士兵有个．

8、有六十多人站成一行，从左到右由1开始按1~4依次循环报数，然后从右到左由1开始按1~3依次循环报数，最后发现刚好有12个人既报了1又报了2．请问：这一行最少有多少人？最多有多少人？

【答案】
最少62人；最多69

【解析】
（1）① 根据题意，假设这一行最少有61人，给这61人编为1号、2号……61号．第二次报数时，61人从右到左1~3循环报数，他们报的数以3为周期．，那么1号人在第二次报数时报的是1，而2号人第二次报的是3．写到第13号人时，发现他与1号人报的一样，第一次报1，第二次报1．类似地，14号人与2号人两次报的数也一样，那么综合考虑这些人两次报的数，发现是以12为周期的．其中每个周期既报了1又报了2的有2人．，在5个完整的周期里既报1又报2的有人，余1人两次都报1，所以61人中既报了1又报了2有10人，不合题意，舍去．

②根据题意，假设这一行最少有62人，同理，得，那么1号人在第二次报数时报的是2，而2号人第二次报的是1．同样发现是以12人为一周期，其中每个周期既报了1又报了2的有2人．，在5个完整的周期里既报1又报2的有人，余2人都既报1又报2，所以62人中既报了1又报了2有人，符合题意，所以最少有62人．

（2）根据题意，假设这一行最多有69人，同理，得，那么1号人在第二次报数时报的是3，而2号人第二次报的是2．同样发现是以12人为一周期，其中每个周期既报了1又报了2的有2人．，在5个完整的周期里既报1又报2的有人，余9人中有2人既报1又报2，所以69人中既报了1又报了2有人，符合题意，所以最多有69人．

9、66名士兵排成一列横队，第一次从左到右1至5循环报数，第二次从左到右1至2循环报数，那么，两次都报2的有多少名？既报1又报2的士兵有多少名？

【答案】
7，13

【解析】
把士兵两次报数写出来，找到周期．第一行周期为5，第二行周期为2，公共周期为10，每周期有1名两次都报2的士兵，在第二个．，所以两次都报2的有名．每周期既报1又报2的士兵有2名，在第六、第七个，所以既报1又报2的士兵有个．

1、如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“小鸡炖蘑菇”5个汉字不断重复，第二行是“宫保鸡丁”4个汉字不断重复，第三行则是“回锅肉”3个汉字不断重复．那么，第121列中从上到下依次是哪3个字？

【答案】
小宫回

【解析】
根据每行周期直接计算第200列的数．第一行周期为5，，所以第121列第一行为小．同理，第二行周期为4，，所以第121列第二行为宫．第三行周期为3，，所以第121列第三行为回．综上，第121列中从上到下是小宫回．

2、如图，用“原、始、人”3个字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．那么第88行18列交叉处填入的字是什么？

【答案】
人

【解析】
要想找第88行第18列的字是什么，可以先确定第88行第1列的数是什么．，所以第88行第1列是原，这一行是：原始人，原始人……．，所以第88行18列交叉处填入的字是人．

3、2010名学生排成一队，先从排头向排尾1至2报数，再从排尾向排头1至5报数．两次分别报了1和4的同学有多少人？

【答案】
201

【解析】
把学生两次报数写出来，找到周期．第一行周期为2，第二行周期为5，公共周期为10，每周期有1名两次分别报了1和4的同学．，所以两次分别报了1和4的同学有201个．

4、100名士兵排成一横排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从右到左1至4循环报数．请问：既报2又报3的士兵有多少名？

【答案】
18

【解析】
第二行从右向左1至4循环报数，，所以最左边的人报4．把士兵两次报数写出来，找到周期．第一行周期为3，第二行周期为4，公共周期为12，每周期有2名士兵既报2又报3，是每周期的第二、第三个．，剩余的不完整周期里有2个士兵报数相同，所以两次报数相同的士兵有个．

1、在下表中，第一行是“1、2、3”三个数字不断重复，第二行是“4、5”两个数字不断重复，那么第27列从上到下的两个数字之和是_________．

【答案】
7

【解析】
根据每行周期直接计算第27列的数．第一行周期为3，，所以第27列第一行为3．同理，第二行周期为2，，所以第27列第二行为4．综上，第27列中从上到下的两个数字之和是．

2、在下表中，第一行是“1、2、3”三个数字不断重复，第二行是“4、5”两个数字不断重复，那么第100列从上到下的两个数字之差是_________．

【答案】
4

【解析】
根据每行周期直接计算第100列的数．第一行周期为3，，所以第100列第一行为1．同理，第二行周期为2，，所以第100列第二行为5．综上，第100列中从上到下的两个数字之差是．

3、如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“中国”两个汉字不断重复，第二行是“大家庭”三个汉字不断重复，那么这70列从上到下出现“国家”这两个字有_________次．

【答案】
12

【解析】
第一行周期为2，第二行周期为3，公共周期为6，每周期会出现一次“国家”，在第2个．，所以这70列从上到下出现“国家”这两个字有次．

4、如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“鱼头两吃”四个汉字不断重复，第二行是“小炒肉”三个汉字不断重复，那么第5次从上到下出现“鱼肉”这两个字是在第_______列．

【答案】
57

【解析】
第一行周期为4，第二行周期为3，公共周期为12，每周期会出现一次“鱼肉”，在第9个．所以第5次从上到下出现“鱼肉”这两个字是在第列．

5、108名学生排成一横排，第一次从左到右1至2循环报数，第二次从左到右1至5循环报数．那么，第一次报1而第二次报5的学生有______名．

【答案】
11

【解析】
把学生两次报数写出来，找到周期．第一行周期为2，第二行周期为5，公共周期为10，每周期有1名第一次报1而第二次报5的学生．，所以第一次报1而第二次报5的学生有个．

6、152名士兵排成一列横队，第一次从左到右1至5循环报数，第二次从左到右1至3循环报数．那么，两次均报1的士兵的有_________名．

【答案】
11

【解析】
把士兵两次报数写出来，找到周期．第一行周期为5，第二行周期为3，公共周期为15，每周期有1名两次均报1的士兵，在第一个．，所以两次均报1的士兵有个．

7、在下面2行60列的方格表中，第一行从左至右依次填“A”、“B”、“A”、“B”……第二行从右至左依次填“1”、“2”、“3”、“1”、“2”、“3”……那么在方格表中，有________列同时写有“A”和“1”．

【答案】
10

【解析】
第二行从右至左依次填1、2、3，，所以最左边为3．第一行周期为2，第二行周期为3，公共周期为6，每周期有1列同时写有“A”和“1”．，所以在方格表中，有10列同时写有“A”和“1”．

8、100名学生排成一横排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从右到左1至2循环报数．那么，第一次报3而第二次报1的学生有_________名．

【答案】
16

【解析】
第二次从右到左1至2循环报数，，所以最左边的学生报2．第一次周期为3，第二次周期为2，所以公共周期为6，每周期有1名第一次报3而第二次报1的学生，在第六个．，不完整周期没有第一次报3而第二次报1的学生，所以共有16个第一次报3而第二次报1的学生．

9、如图，用“1、2、3”三个数字，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环填入．求第21行40列交叉处填入的数字是_________．

【答案】
3

【解析】
要想计算第21行40列交叉处填入的数字，先计算第21行第1列的数．，所以第21行第1列为3，且第21行依次为3、2、1，3、2、1……，所以第40个数为3，即第21行40列交叉处填入的数字是3．

10、500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1至5循环报数，第二次反过来从右到左1至3循环报数．那么，两次所报数的差（大减小）等于2的有多少名？

【答案】
133

【解析】
第二次从右到左1至3循环报数，，所以最左边的人报2．第一次周期为5，第二次周期为3，公共周期为15，每周期有4个两次所报数的差（大减小）等于2的士兵，分别为4、2，1、3，3、1，5、3．，不完整周期有1个，所以共有个两次所报数的差（大减小）等于2的士兵．