【教培专用】四年级上册秋季数学奥数培优讲义-第02讲 乘法原理进阶 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、乘法原理进阶（四上）

一、 要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面三个要求：

1.        每步骤只是整个事情的一个部分，必须全部完成才能做完这件事；

2.        步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再作下一步，直到最后；

3.        做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数．如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数不同，就不能直接用乘法原理计算．简称“前不影响后原则”

二、 对于染色问题等较复杂的乘法原理问题，在分步时要优先考虑课选择情况较少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数．

三、 乘法原理的考题类型：

1.        路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；

2.        字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色的方法；

3.        地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4.        排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5.        数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．

1、用4种不同的颜料给图中的圆圈染色，每种颜料只能使用一次，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
24

【解析】
种颜色全排列共有种方法．

2、现有10种不同颜色的颜料，给图中的A、B、C三个部分染色，每个部分只能用一种颜色染，每种颜料最多能使用一次，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
720

【解析】
A有10种方法，A确定后B有9种方法，C有8种方法，综上一共有种方法．

3、用红、蓝、绿3种染料给图中的5个格子染色，每个格子只能染一种颜色，并且相邻的两个不能同色．如果C格子不能染蓝色，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
32

【解析】
C有2种方案，B有两种方案，D有两种方案，A和E都有两种方案，综上一共有种方案．

4、用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色，如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染色？

【答案】
32

【解析】
竖着的三个每一个都有2种方法，A、C每一个也都有两种方法，综上一共有种方法．

5、如图，一张地图上有五个国家 A、B、C、D、E，现在要求用4种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同一种颜色，那么这幅地图有多少种着色方法？

【答案】
96

【解析】
C有4种方法，然后B有3种方法，D有2种方法，E和A都有两种方法，综上一共有种方法．

6、（2011年金帆五升六）如图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑、紫6种颜色中的某一种颜色，要使相邻区域染不同颜色，那么共有______________种不同的染色方法．

【答案】
960

【解析】
考虑乘法原理，A能有6种染色方法，则B有5种，C有4种，D有3种，E有4种，所以总共的染色方法有：种．

7、从7个学生中挑选几个人，可以选1人、2人、3人、4人、5人、6人、7人参加比赛，有____________种不同的选法．

【答案】
127

【解析】
采用排除法，所有的选法一共有种方法，其中不满足条件的是一个都不选，一共有1种方法，所以满足题目的方法数是127种．

8、甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一队，乙同学必须站在队伍的正中间，甲必须站在排头，有多少种不同的排队方式？

【答案】
6

【解析】
其中甲、乙是固定位置，只有一种方法，其余的同学是任意排列一共有种方法．

9、甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人．其中甲不住A房间，丙只住D房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？

【答案】
4

【解析】
丙确定后，甲有两种方法，剩下的两个人由两种方法，说以一共有4中住法．

1、用红、蓝、绿3种染料给图中的3个圆圈染色，每个圈只能染一种颜色，并且相邻的两个不能同色．如果B圆圈不能染蓝色，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
8

【解析】
B有两种方法，A和C都有两种方法，综上一共有种方法．

2、用红、黄、蓝三种颜料给如图所示的三个圆圈染色，每种颜料只能使用一次，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
6

【解析】
三种颜色的全排列种方法．

3、用5种不同的颜色，给图中的A、B、C、D四个部分分别染色，每个部分只能用一种颜色染，相邻不能同色．有多少种不同的染色方法？

【答案】
180

【解析】
A有5种方法，B有4种方法，C有3种方法，D有3种方法，所以一共有种方法．

4、现有5种不同颜色的颜料，给图中的A、B、C、D四个部分染色，每个部分只能用一种颜色染，每种颜料最多能使用一次，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
120

【解析】
B有5种方法，C有4种方法，A有3种方法，D有2种方法，综上一共有种方法．

5、用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色，如果要求关于中间那条横线上下对称，一共有多少种不同的染色？

【答案】
64

【解析】
横着的5个圆圈每个都有2种方法，G和F是一样的颜色共有2种方法，综上有种方法．

6、从6个学生中挑选几个人，可以选1人、2人、3人、4人、5人、6人参加比赛，有__________种不同的选法．

【答案】
63

【解析】
采用排除法，所有的选法一共有种方法，其中不满足条件的是一个都不选，一共有1种方法，所以满足题目的方法数是63种．

7、甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一队，乙同学必须站在队伍的正中间，有多少种不同的排队方式？

【答案】
24

【解析】
乙同学的位置是固定的，其余的人任意排列，共有种方法．

8、甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人．其中甲只住A房间，丙只住D房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？

【答案】
2

【解析】
甲和丙的房间是固定的，所以另外两个人是可以交换的一共只有两种方法．

1、用3种染料给图中的6个格子染色，每个格子只能染一种颜色，并且相邻的两个不能同色．有多少种不同的染色方法？

【答案】
96

【解析】
A有3种方法，剩余的5个格子都有2种方法，所以一共有种方法．

2、用5种染料给图中的3个圆圈染色，每个圈只能染一种颜色，并且相邻的两个不能同色．有多少种不同的染色方法？

【答案】
80

【解析】
B有5种方法，A和C分别有4种方法，所以一共有种方法．

3、用4种染料给图中的4个圆圈染色，每个圈只能染一种颜色，并且相邻的两个不能同色．有多少种不同的染色方法？

【答案】
108

【解析】
A有4种颜色，B有3种颜色，C有3种颜色，D有3种颜色，综上共有种方法．

4、用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色，如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染色？

【答案】
16

【解析】
E、C、D都有2种方法，A和B一样，A确定以后B就确定了，所以A和B共有2种方法，综上一共有种方法．

5、用2种不同的颜色给图中的圆圈染色，每个圆圈只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
32

【解析】
每个圆圈都有两种染色方法，所以一共有种方法．

6、现有6种不同颜色的颜料，给图中的A、B、C、D、E五个部分染色，每个部分只能用一种颜色染，每种颜料最多能使用一次，一共有多少种不同的染色方法？

【答案】
720

【解析】
C有6种选择，B有5种选择，D有4种选择，E有3种选择，A有2种选择，综上一共有种方法．

7、（2012年四中入学）某班从四位同学中选代表担任路口交通协管员（不受名额限制，也可以不选），则不同的选派方式有___________种．

【答案】
16

【解析】
将其中一个同学挑出来，要么他会被选，要么不会被选，有两种情况，所以四个同学的选派方式有种．

8、从5个学生中挑选几个人，可以选1人、2人、3人、4人、5人参加比赛，有_________种不同的选法．

【答案】
31

【解析】
采用排除法，所有的选法一共有种方法，其中不满足条件的是一个都不选，一共有1种方法，所以满足题目的方法数是31种．

9、（人大附）用3种颜色把一个3×3的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有____________种不同的染色法．

【答案】
12

【解析】
先给第一行选颜色，有种．容易看出，第一行颜色确定后，第二行第一列有2种选法．而第二行第一列颜色确定后，其他方格颜色均固定，所以共有种染法．

10、小西、小蒙、小许、小吕、雯雯老师站成一排照相，雯雯老师不站两端，小许必须在边上，有多少种不同的站法?

【答案】
36

【解析】
雯雯不在两端有3中位置可以选，小许在边上也有两种位置可以选，其余的同学任意排列，共有．