【教培专用】五年级上册秋季数学奥数培优讲义-第01讲 公约数与公倍数初步 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、公因数与公倍数初步（五上）

熟练应用短除法、分解质因数和辗转相除求几个数的最大公因数和最小公倍数，

一、 最大公因数与最小公倍数的常用计算方法

1、用短除法计算：（1）（54，90），[54，90]；（2）（45，75，90）．

【答案】
（1）18，270（2）15

【解析】
（1），所以，．

（2），所以．

2、利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数．

（1）144和250          （2）240、80和96

【答案】
（1），（2），

【解析】
（1），，，．

（2），，，，．

3、计算：[1，2，3，4，5，6，7，8，9，10]=___________．

【答案】
2520

【解析】
求这10个自然数的最小公倍数，则它们的最小公倍数至少含有3个2（8）、2个3（9）、1个5和1个7，即．

4、利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数．

（1）377和221            （2）511和1314

【答案】
（1）（377，221）=13（2）（511，1314）=73

【解析】
（1），，，，．所以（377，221）=13．

（2），，，．所以（511，1314）=73．

5、计算：（374，714，323）=___________．

【答案】
17

【解析】
，，，所以．

6、用辗转相除法求1573、1859和1547的最大公因数.

【答案】
13

【解析】
先求1573和1547的最大公因数．，，，所以1573和1547的最大公因数为13．，所以13也为1859的因数．所以1573、1859和1547的最大公因数为13．

二、 最大公因数与最小公倍数的应用

7、（2011华杯赛小学组决赛）将120名男生和140名女生分成若干组，要求每组中的男生数相同，女生数也相同，则最多可以分成________组．

【答案】
20

【解析】
取120和140的最大公约数，即20．

8、（2014年金帆五春）一块长方形草地，长120米，宽100米．现在它的四周种树，四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离相等．请测算：最少要种______棵树．

【答案】
22

【解析】
相邻两棵树间距最大为米，四周共有间距数为个，故至少需种44棵．

9、老师在墨莫的班上发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生，最后剩下5个苹果，7个梨．请问班里一共有_________名学生．

【答案】
9或18

【解析】
分出去了个苹果，个梨，班里的学生数是54和90的公约数，且大于7．，18的约数中比7大的有9和18，所以班里学生有9或18名．

10、将252块巧克力，294盒饼干，336袋牛奶分成相同的份数，并且都没有余数，那么最多可以分成__________份．

【答案】
42

【解析】
，所以最多可以分成42份．

11、有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个，已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，则这筐桃子共有___________个．

【答案】
142

【解析】
桃子总数满足除以4余2，除以6余4，除以8余6，且总数在120～150之间．所以“总数+2”能整除4、6、8，，所以桃子共有个．

12、有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续11个整数之和，还能够表示成连续12个整数之和，则所有这样的数中最小的一个是_________．

【答案】
198

【解析】
根据等差数列的性质可知，满足条件的自然数既是9的倍数，也是11的倍数，同时还是6的奇数倍．这样的数中最小的是198．

13、早在距今两千多年的东汉之前，我们的祖先就采用干支纪年法，分别用10个天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——和12个地支——子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥——来搭配纪年．第一个甲子年称为黄帝纪年的元年，然后是乙丑、丙寅、丁卯……顺序搭配，到头以后就轮回，例如癸酉年的下一年是甲戌年，乙亥年的下一年是丙子年．如果2013年是癸巳年，请问：

（1）下一个癸巳年是哪一年？

（2）1949年用干支纪年法表示是什么年？

【答案】
2073，己丑

【解析】
（1），干支纪年法60年一循环，，所以2073年是下一个癸巳年．

（2），，所以1949年用干支纪年法表示是己丑年．

三、 思考题

14、三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处．里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米．甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．他们同时出发．请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？

【答案】
6小时

【解析】
甲跑里圈，每小时跑千米，里圈长度为千米，跑一圈需要小时；

乙跑中圈，每小时跑4千米，中圈长度为千米，跑一圈需要小时；

丙跑外圈，每小时跑5千米，外圈长度为千米，跑一圈需要小时．

题目相当于求、、的最小公倍数，．

1、用短除法法计算：（1）（36，48），[36，48]；（2）（28，42，70）．

【答案】
（1），（2）

【解析】
（1），所以，．

（2），所以．

2、利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数．

（1）1024和72          （2）60、84、90和700

【答案】
（1），（2），

【解析】
（1），，所以，．

（2），，，，所以，．

3、利用辗转相除法求出3009和2537的最大公约数．

【答案】
（3009，2537）=59

【解析】
，，，，，所以（3009，2537）=59．

4、小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖，3个苹果糖．请问小高把糖分给了___________个朋友．

【答案】
4、6或12

【解析】
分出去了60个奶糖和72个水果糖，那么朋友们的个数应该是60和72的公约数，且大于3．（60，72）=12，12的因数中且大于3的有4、6和12，所以小高把糖分给了小朋友可能是4、6或12人．

5、有些自然数既能够表示成连续3个整数之和，又能够表示成连续4个整数之和，还能够表示成连续5个整数之和，则所有这样的数中最小的一个是___________．

【答案】
30

【解析】
根据等差数列的性质可知，满足条件的自然数既是3的倍数，也是5的倍数，同时还是2的奇数倍．这样的数中最小的是30．

6、（2011希望杯四年级初赛）既是6的倍数又是8的倍数的所有的两位数的和__________．

【答案】
240

【解析】
既是6的倍数又是8的倍数的两位数有：24、48、72、96，它们的和是．

7、（2013希望杯六年级复赛）老师让小明在400米的环形跑道上按照如下的规律插上一些棋子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备___________面旗子．

【答案】
40

【解析】
直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，小明走了（米），小明要准备的旗子数是（面）．

8、（2013希望杯六年级复赛）若A、B、C三种文具分别有38个，78个和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B，20个C，则学生最多有___________人．

【答案】
36

【解析】
三种文具分给学生的个数分别是：（个）、（个）、（个）．学生人数最多有（人）．

9、教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．那么：用这些水果最多可以分成_________份同样的礼物，在每份礼物中，苹果有_________个，桔子有_________个，香蕉有_________个．

【答案】
分成40份，苹果8个，桔子6个，香蕉5个

【解析】
依题意，所求份数等于200、240、320的最大公约数．

．

所以这些果品最多可以分成40份同样的礼物，每份礼物中，苹果有8个，桔子有6个，香蕉有5个．

1、计算：__________．

【答案】
508

【解析】
．

2、计算：__________．

【答案】
20024

【解析】
．

3、计算：__________．

【答案】
405

【解析】
．

4、计算：__________．

【答案】
31

【解析】
，，，，所以．

5、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是下午__________点钟．

【答案】
3

【解析】
，电子钟180分钟一循环，所以中午12点整电子钟既响铃又亮灯后180分钟出现下一次既响铃又亮灯，即下午3点钟．

6、将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少可以剪出__________块．

【答案】
105

【解析】
面积相等的小正方形的边长都是相等的，剪出的小正方形的块数越少，则小正方形的边长越大．，所以小正方形的边长最大是6厘米，此时小正方形的个数是：块．

7、甲、乙、丙三人到图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔7天去一次，丙每隔8天去一次．如果3月5日他们三人恰好在图书馆相遇，那么下次他们三人又在图书馆相遇是5月__________日．

【答案】
16

【解析】
甲每隔5天去一次图书馆借书，则甲每6天去一次；同理乙每8天去一次，丙每9天去一次．，三人去图书馆每72天一循环，3月5日三人恰好在图书馆相遇，下一次三人又在图书馆相遇是72天后，则5月16日．

8、卡莉娅用魔法来剪绳子，剪的每段都一样长，且为整厘米数．第一根绳子长149厘米，最后剩余5厘米；第二根绳子长172厘米，最后剩余4厘米．那么剪下的绳子每段最长可能是__________厘米．

【答案】
24

【解析】
第一根绳子剪去厘米，第二根绳子剪去厘米，所以剪下的绳子每段长是144和168的公因数．，所以剪下的绳子每段最长可能是24厘米．

9、幼儿园买来桃126个，杏168个，桔子210个，分给大班的小朋友，每人要分得一样多，结果每种水里都恰好分完．大班最多有__________个小朋友．

【答案】
42

【解析】
因为分出去桃126个，杏168个，桔子210个，且每个小朋友分得一样多，所以小朋友的人数是126、168和210的公因数．，所以大班最多有42个小朋友．

10、请分别利用短除法和分解质因数法计算24和84的最大公约数和最小公倍数．

【答案】
（24，84）=12，[24，84]=168

【解析】
方法一：短除法．如图所示，所以，．

方法二：分解质因数法．，，所以，．