【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第07讲 计数综合三 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、计数综合提高下（六上）

一、 复习巩固

1、满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？

【答案】
45

【解析】
按十位数字分类枚举．十位取2、8的红数各有个，取3、7的红数各有个，取4、5、6的红数各有个，因此共个．

2、下图由5部分组成，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？

【答案】
324

【解析】
从A开始依次染色即可，共种．

3、0、1、6、8、9颠倒过来后分别为0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7颠倒过来不是一个数字，如果一个自然数颠倒过来看等于它本身，则称其为“混沌数”，如69、101、8118等，那么六位数中有多少个“混沌数”？

【答案】
100

【解析】
前三位分别有4、5、5种选法，此时后三位随之确定，故有个．

4、（1）3个相同的白球和7个相同的黑球排成一排，要求每2个白球之间至少有2个黑球，共有多少种排列方法？

（2）3个相同的白球和7个相同的黑球排成一圈，要求每2个白球之间至少有2个黑球，共有多少种排列方法？（旋转或翻转后相同算同一种）

【答案】
（1）20（2）1

【解析】
（1）等价于3个相同的白球和5个相同的黑球排成一排，要求每2个白球之间至少有1个黑球．根据插空法，有种．

（2）先把3白6黑按要求排好，再把另一个黑球放入，显然只有1种．

二、 增量分析

5、（2013年北大附入学）利用上题的思路思考并解决下面两个问题：

（1）六条直线，最多把平面划分为多少块？详细描述你的思路和理由．

（2）n（n是大于6的自然数）条直线最多把平面划分为多少块？直接写出你的猜想．

【答案】
22；

【解析】
（1）第n条直线与前条直线最多有个交点，故其最多被分成n段。每段使原来平面的一部分一分为二，即可增加n部分。开始时平面只有一部分，故n条直线最多将平面分成部分。当时，共部分。

（2）见第（1）问。

6、（1）在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？

（2）在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？

【答案】
（1）122（2）68

【解析】
（1）第1个正方形将平面分为2部分，第2个正方形与第1个最多有8个交点，即被分为8段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加8部分．同理，第个正方形与之前的n个正方形最多有个交点，将使平面增加部分．因此，6个正方形最多可以把平面分成部分．

（2）第1个三角形将平面分为2部分，第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点，即被分为6段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加6部分，同理第3个三角形使平面增加个部分，至此共部分；每个圆与1个三角形最多有6个交点，两圆间还可有2个交点，故画完圆可再增加部分；直线与之前的5个图形最多有10个交点，故还能增加10部分．综上，共部分．

三、 递推计数

7、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？

【答案】
12

【解析】
假设有2级台阶，则有1种走法；假设有3级台阶，则有1种走法；假设有4级台阶，则有1种走法；假设有5级台阶，则有种走法；假设有6级台阶，则有种走法……以此类推，可得如下图所示结果．所以，走完这12级台阶，共有12种不同的走法．

8、如图，一个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？

【答案】
120

【解析】
先不考虑左下角那部分，其余6部分可看作5等分圆环染色问题．圆环中心有4种选法，之后根据传球法，周边5块有10种选法，最后左下角有3种．因此，共种．

四、 旋转、翻转相关问题

9、把一条木棍均匀五等分，然后用5种颜色给这5部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染色方法？（旋转或翻转后相同算同一种）

【答案】
680

【解析】
不考虑旋转和翻转时，共种，其中除对称的种情况外，其余只有一半是有效的，故染色方法应有种．

10、给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有__________种不同的染色方式．（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）

【答案】
10种

【解析】
从5种颜色中选4种颜色，有种方法．由于正四面体的四个面是对称的，我们不妨先确定底面的颜色，其它三个面有2种染法，共有种染法．

11、把一条均匀木棍六等分，然后用6种颜色给这6部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法？（旋转或翻转后相同算同一种）

【答案】
9375

【解析】
若不考虑旋转或翻转，共种．易知即为所求．

12、某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？

【答案】
14种

【解析】
先放红球，如图所示，这时10个白球要放到红球之间的3个缝隙中．

把10个白球分为三堆（每堆可以是0个）有14种方法，分别是：

0＋0＋10，0＋1＋9，0＋2＋8，0＋3＋7，0＋4＋6，0＋5＋5；

1＋1＋8，1＋2＋7，1＋3＋6，1＋4＋5；

2＋2＋6，2＋3＋5，2＋4＋4；

3＋3＋4．

对上述每一种分法，例如，因为图形可以旋转，可以把7个白球放到下面的缝隙中，如图所示．

又因为图形可以翻转，所以2个白球放在左右两个缝隙相同，所以每种分法确定唯一一种圆环，所以共14种不同的圆环．

1、满足以下条件的四位数称为“N数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2．例如3534是“N数”，但1234不是“N数”．一共有多少个N数？

【答案】
58

【解析】
传球法，共个．

2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？

【答案】
78

【解析】
依次画3个长方形、2个三角形和1条直线，通过增量分析可得最多可把这个平面分成个部分．

3、如图所示，一个圆环被分成8部分，现将每一部分染上红、黄、蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种染色方法？

【答案】
258种

【解析】
采用“传球法”，将圆环分别编号为A、B、C、D、E、F、G、H，设A染红色，如右图所示，H不能再染红色，有种染法，由对称性可知，共有种染法．

4、一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有_____________个．

【答案】
900

【解析】
六位回文数只要能确定前三位数字，这个数就可以确定，首位和个位有1、2、3、……9共9种取法，万位和十位有0、1、2、3、……9共十种选法，同理百位和千位有0、1、2、3……9共有10种选法，利用乘法原理六位回文数有个．

5、（2012年首师附入学）从楼下经过一些台阶走到楼上，规定你每一步只能跨上一级或两级台阶．问：

（1）从楼下登上第五级台阶，有多少种不同的走法？

（2）从楼下登上第十级台阶，有多少种不同的走法？

【答案】
（1）8（2）89

【解析】
设登上第n阶台阶有种走法，则，所以数列为1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144，所以第五级有8种方法，第十级有89种方法．

6、（2014高思杯六年级）正方体的八个顶点分别标记为A、B、C、D、E、F、G、H．现在用四种颜色给顶点染色，要求有棱相连的两个顶点的颜色不同，一共有_______种不同的染法．（旋转或翻转后相同算不同的染法）

【答案】
2652

【解析】
 

我们染色的过程分为两个步骤．如图所示，先染A、E、C、G这四个顶点，再染剩下的四个顶点．根据第一步染色用的颜色的种类数，我们可以将染色的方法分为以下四类：

第一类，A、E、C、G这四个顶点只用一种颜色．先选颜色，有4种选法，这四个点的染法唯一．接下来染剩下的四个顶点，每个顶点有3种颜色可选．所以一共有种染法．

第二类，A、E、C、G这四个顶点用两种颜色．先选颜色，有种选法．染法又可以分成两类：如果其中三个点用一种颜色，剩下一个点用一种颜色，有种染法．剩下的四个顶点中有3个顶点有2种颜色可选，1个有3种颜色可选；但如果A、E、C、G中两个点用一种颜色，剩下的两个点用另一种颜色，这四个顶点的染法就有种．剩下的4个顶点每个都有2种颜色可选．那么第二类一共有种染法．

第三类，A、E、C、G这四个顶点用三种颜色．先选颜色，有种选法．这4个点中，有两个点用一种颜色，剩下的两个点各用一种颜色，有种染法．剩下的4个点中，有2个有2种颜色可选，有2个只有1种颜色可选．一共有种染法．

第四类，A、E、C、G这四个顶点用四种颜色．那么这四个点的颜色两两不同，有种染法．剩下的4个顶点都只有1种颜色可选，所以一共有种染法．

最后一共有种染法．

1、8个人围成一圈做游戏，共有________种不同的坐法．

【答案】
5040

【解析】
圆排列，共种．

2、满足下面性质的三位数称为“黑数”：它的个位比十位小，十位比百位小，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如642、520是“黑数”，但872就不是“黑数”．一共有________个“黑数”．

【答案】
54

【解析】
传球法，共个．

3、一个五位数只由1、2、3、4组成，它的每相邻两位数字的差都是1，这样的五位数有________个．

【答案】
26

【解析】
传球法．共个．

4、如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成________个部分．

【答案】
62

【解析】
增量分析．每画一个凸五边形，最多可与之前的n个凸五边形有个交点，可使平面增加部分．因此，画4个凸五边形最多可以把平面分成个部分．

5、有10条直线和2个圆，最多可以把平面分成________个部分．

【答案】
98

【解析】
增量分析．先画直线，画完第1条直线后平面被分为2部分．时，第n条直线与之前图形最多有个交点，可使平面增加n部分；第1个圆与直线最多有个交点，可使平面增加20部分；第2个圆与之前的图形最多有个交点，可使平面增加22部分．因此，10条直线和2个圆最多可以把平面分成部分．

6、一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：五位回文数有_____________个．

【答案】
900

【解析】
五位回文数确定了前三位则这个回文数即可确定，首位数字和个位数字相同有9种取法（0-9去掉0），万位数字和十位数字取0-9都可以，共有10种方法，百位数字同样可以取0-9这十个数，所以五位回文数有个．

7、把一个木棍4等分，然后用3种颜色给它染色，要求相邻不同色，那么共有______种染法．（旋转或翻转后相同算同一种）

【答案】
12

【解析】
若不考虑旋转或翻转，共种．易知即为所求．

8、4个相同的白球和10个相同的黑球排成一圈，使得任意两个白球之间至少2个黑球，那么共有________种不同的排法．（旋转或翻转后相同算同一种）

【答案】
3

【解析】
先把4白8黑按要求排好，再把另2个黑球放入．若这两个黑球在相同的两个白球之间，有1种；若在不同的两个白球之间，有2种．综上，共种．

9、把一个木棍四等分，然后用3种颜色给它染色，相邻可同色，那么共有________种染法．（旋转或翻转后相同算同一种）

【答案】
45

【解析】
不考虑旋转和翻转时，共种，其中除对称的种情况外，其余只有一半是有效的，故染色方法应有种．

10、（龙校五年级秋季）将4×4的表格的每个方格，要么染成黑色，要么染成白色，并且每行每列的4个方格中，恰有2个黑格和2个白格，则一共有几种染色方案？（表格不能旋转或翻转）

【答案】
90

【解析】
只需把黑子放好即可．第一步排第一行，有种排法．第二步排第一行黑子所在列的另两个黑子，分为两类：若两子在同一行，行数有种选法，此时另四个黑子只有一种放法，即此类有种；若两子不在同一行，这两个子有种选法，此时共有3行放了黑子，故剩下的4个黑子中一定有2个在另一行，最后2个黑子有2种放法，即此类有种．综上，第二步有种放法，共种染色方案．