【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第05讲 最值问题二 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、最值问题二（六上）

1、最值问题中的常用方法

  （1）极端思考

       在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解．

  （2）枚举比较

       根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案．

  （3）分析推理

       根据两个事物在某些属性上的相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法．

  （4）构造调整

       在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果．

2、求最大值和最小值的结论．

  （1） 和一定的两个数，差越小，积越大．

  （2）积一定的两个数，差越小，积越小．

  （3） 两点之间线段最短．

1．“和同近积大”、“积同近和小”是最值问题中使用率最高的知识点，要注意其前提条件（即拆的个数相同）； 2．极端思考是最重要的一种思想，但一定要满足题意； 3．构造调整是常用的一种手段，主要分为两类： ①先构造符合要求的，再考虑最极端的 ②先构造最极端的，再考虑符合要求的； 4．本部分往往需要综合利用学过的多个知识点．

一、 和同近积大

1、如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架．这个长方体的体积最大可能是多少？

【答案】
294平方厘米

【解析】
长方体满足：厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近．所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为立方厘米．

2、有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛__________场．

【答案】
25场

【解析】
假设两组人数分别为a和b．在两组都进行单循环比赛之后，假如甲组的每个人都再跟乙组的每个人比赛一次，即再比赛场，那么11个人中任意两人都比赛过了，共场；因此两组内的单循环比赛共有场，要使这个数最小，则应最大，a和b尽量接近，取5和6，结果是场．

二、 极端思考

3、有5袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．这5袋糖块总共最少有多少块？

【答案】
103块

【解析】
任意3袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下4袋，同样可以取出一袋不少于21块糖果．现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于块．由于5袋糖果分别有21、21、21、20、20块，是符合要求的，所以103就是最小值．

4、把1至99依次写成一排，形成一个多位数：．从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？

【答案】
最大9999975859606162…979899；最小100000123450616263…979899

【解析】
（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9．首先，最开头的12345678这8个数字是要去掉的，留下了第一个9；然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9；再去掉3次的19个数，使得剩下第3、4、5个9．现在已经去掉了一共个数，剩下的数前5个数字都是9，然后是50515253545556575859…9899，还能再去掉15个数．但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8要去掉17个数，到下一个7要去掉15个数，于是最后结果的第6个数字最大是7，应该去掉的15个数字为505152535455565．所以剩下的数最大为999997585960…9899．

（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字1就行了．然后去掉234567891共9个数，留下第一个0；再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0；再去掉3次的19个数，就能得到第3、4、5个0．现在一共去掉了个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0，余下的部分是515253545556575859…9899，还能再去掉14个数．下一位取不到0了，只能去掉一个5，留下1；再下一位连1都取不到，只能去掉1个5，留下2；再去掉一个5，留下3；去掉一个5，留下4．现在还能再去掉10个数字，而剩下的是55565758596061……，接下来11个数中最小的数是5，所以取一个5．然后剩下的数前11个数字为55657585960，因而我们去掉10个数字5565758596，使下一位达到最小数字0．所以最后剩下的数最小是10000012345061626364…9899．

5、把2012拆成5个互不相同的自然数之和，其中最小的数最大是多少？

【答案】
400

【解析】
应让5个数尽量接近，最小的数最大是．

6、有13个不同的自然数，它们的和是100．其中偶数最多有多少个？最少有多少个？

【答案】
9个；5个

【解析】
根据奇偶性，奇数有偶数个，因此偶数有奇数个，注意到9个不同偶数和最小为，11个不同偶数的和最小为，所以偶数最多有9个；

又符合条件，所以偶数可以有9个．

奇数必须偶数个，8个奇数最小为64，10个奇数最小为100，所以奇数最多有8个．

又符合条件，所以奇数可以有8个，偶数最少有5个．

三、 构造调整

7、用1，2，3，4，5，6，7，8，9各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．

【答案】
 

【解析】
每个数都是9的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9的倍数．由于1到9总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过，因而三个数的各位数字之和分别为18、18和9．各位数字之和为9的数最大只能是621．其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9和8，十位取7和5，个位取4和3，有最大乘积，故所求的乘法算式是．

8、把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大．问：这个乘积最大可能是多少？

【答案】
162

【解析】
14比较大，可以先从较小的数开始尝试，可以发现规律“多拆3，少拆2，不拆1”，所以把拆成时乘积最大，为．

9、（金帆四年级春季）国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个的棋盘，至少要放几个皇后？

【答案】
2

【解析】
显然1个皇后不够，经试验2个即可，如图．

四、 几何中的最值

10、邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？

【答案】
26千米

【解析】
如图1，由于的A、B两点连出的边是3条，也就是奇数条，仅当A与B为出发点和终点时，才能一笔画．不能从邮局出发一笔把这个图画出，即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局，他至少应该多走1千米街道，最小是26千米．在图2中，给出了邮递员走26千米走遍所有街道的一种方法．

11、如图，有一个长方体形状的柜子．一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．

【答案】
】5；4条；见解析

【解析】
为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图1．蚂蚁要从A处爬到B处，途中必须经过两个相邻的面，两个相邻面的交线必是EH、HF、FG、GC、CD、DE六条线段中的一条．一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG、DE的情形为一类，交线是HE、GC的情形为一类，交线是FH、DC的情形为一类．

情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH，那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图2．这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点．此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线，它恰好直角三角形ABC的斜边．由于，，因此．

情况2：如果两相邻面的交线是GC．同样我们也可以沿着GC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图3．此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边．由于，，因此．

情况3：如果两相邻面的交线是DC．同样我们也可以沿着DC，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图4．此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长．而AG的长度是，所以AB一定大于6．

其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同．所以爬行路线长度最少是5，（1）和（2）的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线．把展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线（如图5、6）．因此在长方体表面，从A到B的最短路线的长度是5，一共有4条满足要求．

12、一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？

【答案】
 

【解析】
设剪去的四个正方形的边长为x，依题意得长方体的容积为：，可化为；其中，，的和为10，是一个定值，根据“几个数的和为定值时，这几个数越接近，乘积越大”，当且仅当时，这三个数最接近，乘积也就最大．此时．所以容积的最大值是．

1、用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？

【答案】
576

【解析】
长、宽、高之和为，且应尽量接近．，故体积最大为．

2、有5个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500分，那这五人的总积分最少是多少？

【答案】
834

【解析】
把每3人的和都加起来，共个和，每人被加了次．故总积分理论上最少为分，且可以达到，如166、167、167、167、167分．

3、用1、2、3、4、5、6各一个组成两个三位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．

【答案】
 

【解析】
先假设百位分别为5、6，则6所在三位数的另两位之和应为3的倍数，只能为1、2或2、4，相应最大值为和，易知后者更大．

4、把1至20依次写成一排，形成一个多位数：1234…1920．从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？

【答案】
95617181920；10111111110

【解析】
若要最大，显然首位应为9，先划去1-8，为91011121314151617181920．再划12个数字，易知第二位最多为5，进而求得最大值为95617181920；若要最小，前两位应为10，将1-9划去即可．之后尽量让1出现在前几位，并保留最后的0，可得最小值为10111111110．

5、黑板上写着1、2、3、4、……、20这20个数，墨莫每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，那么这个数最小是___________．

【答案】
2

【解析】
尽量每次擦去较大的数，擦去20、18写19，擦19、19写19，擦19、17写18，擦18、16写17，……，擦7、5写6，擦6、4写5，擦5、3写4，擦4、2写3，擦3、1写2．

6、（金帆四年级春季）比较下面两个乘积的大小：，．

【答案】
 

【解析】
易知．根据和同近积大原则，．

1、（金帆五年级春季）4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？

【答案】
16

【解析】
设4个真分数分别为，（m、n、a、b均为正整数），则，，从开始试，，，，，，我们发现，和分解后具有相同的一项，而且另外两项的分母满足一奇一偶，满足题中条件．，所以最小的两个偶数和为．

2、有一根铁丝长90厘米，它能焊接成的棱长都是整数厘米的长方体的体积最大是________立方厘米．

【答案】
392

【解析】
棱长和应为4的倍数，最多为88cm，进而长、宽、高之和最多为．再令长、宽、高最接近，可得体积最大为．

3、将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数．在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”．这10个中位数之和的最大值是________．

【答案】
345

【解析】
10个中位数最大为48，此组为（1、2、48、49、50）；第二大为45，此组为（3、4、45、46、47）；……依次类推，10个中位数之和最大为．

4、高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有________块．

【答案】
17

【解析】
任两人之和最多为9，故四人最多为．此时必有两人均至少有5块，矛盾，故最多17块，如4、4、4、5即可．

5、有6个学生参加投篮比赛，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每四人的积分之和都不少于500分，那么这6人的总积分最少是________．

【答案】
750分

【解析】
把每4人的和都加起来，共个和，每人被加了次．故总积分理论上最少为分，且可以达到，如均为分．

6、一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？

【答案】
21次

【解析】
假如按某种操作得到了222222，若将在这个操作中按的“7”改成按“1”，则得到的结果是；而按“1”和“+”要得到31746，至少要按“1”键次．

7、把1至20依次写成一排，形成一个多位数：12345…1920．从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，使剩下的数最大．那么这个数的后四位是________．

【答案】
1920

【解析】
若要最大，显然首位应为9，先划去1-8，为91011121314151617181920．再划12个数字，易知第二位最多为5，进而求得最大值为95617181920

8、用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数和一个两位数．请问：算式的计算结果最大是________．

A．69843

B．370025

C．98654

【答案】
A
 

【解析】
最大不超过或，只有A满足要求．

9、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一个组成3个三位数，使得它们都是11的倍数，并且要求乘积最大，这个最大的积是______位数．

【答案】
九

【解析】
先假设百位分别为9、8、7，则十位上3个数之和与个位上3个数之和的和为，差为，进而十位上3个数之和为，只能为1、2、3，个位上3个数位4、5、6．这样，三个数可能为924、836、715或935、814、726，乘积均为九位数．

10、如图，直角三角形ABC中，厘米，厘米．在其中作一个矩形CDEF，这个矩形的面积最大可能是________．

【答案】
 

【解析】
设，则．由金字塔模型可知，．