【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第11讲 构造论证 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、构造论证（六上）

1、掌握最佳安排和选择方案的组合问题．

2、利用基本染色去解决相关图论问题．

3、常见问题：天平秤物问题，比赛场数问题，数字列阵问题，生活中的趣题．

4、论证常用方法：奇偶分析、整除分析、染色分析、极端分析逐步调整．

一、 填数类问题

1、（1）把1，2，3，……，8，9按合适的顺序填在图1第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数之和都是平方数．

（2）能否将1，2，3，……，10，11按合适的顺序填在图2第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数之和都是平方数？答：__________（“能”或“不能”）．

2、（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？

（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？

3、能否将1，2，3，……，9，10排成一行，

（1）使得任意相邻三个数之和都不大于16？答：__________（“能”或“不能”）

（2）能否使得任意相邻三个数之和都不大于15？答：__________（“能”或“不能”）

4、能否将1、2、3、…、6、7排成一圈，使得任意相邻三个数之和都不大于13？

二、 加减乘除操作题

5、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（每次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中．请问：

（1）如果开始时，3堆石子的数目分别是34，55，82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？

（2）如果开始时，3堆石子的数目分别是80，60，50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？

如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．

6、黑板上写着3个数8，18，28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3个数都进行如下变化，或者减1，或者加2．请问：能否经过若干次操作后得到6，7，8？能否经过若干次操作后得到8，8，8？

三、 染色问题

7、图是把一张的方格纸去掉两个角所得的图形．

（1）请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；答：__________（“能”或“不能”）

（2）能否用的小长方形恰好拼满这张表格？答：__________（“能”或“不能”）

8、（1）能否用16个如图1所示的“T型”拼成一个的棋盘？

（2）能否用8个如图1所示的“T型”和8个如图2所示的“L型”拼成一个的棋盘？

（3）能否用1个如图1所示的“T型”和15个如图2所示的“L型”拼成一个的棋盘？

9、中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下列问题：（1）一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后的一步跳回起点？

（2）一只马能否从位置B出发，用6步跳到位置A？为什么？

（3）一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B．证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次．

四、 最值问题

10、《高思数学家传》共有8篇故事，这些故事占的篇幅从1页到8页各不相同．如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？

11、（龙校五年级秋季）有100个互不相同的正整数排成一圈，任意相邻两数之差（大减小）要么等于2，要么等于3．那么这100个数中，任意两数之差的最大可能值是多少？

12、（2015年金帆五升六）将凸五边形ABCDE的5条边和5条对角线染色，且满足任意有公共顶点的两条线段不同色，则颜色数目的最小值为______．

1、把1，2，…，13，14按合适的顺序填在图中第二行的空格中，使得每列的两个数之和都是平方数．

2、能否将1至41排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？

3、有4堆石子，每次可以从这四堆中同时拿走1个石子；也可以从任一堆中取出3个石子，另三堆各放1个．如果开始时，4堆石子的数目分别是14、25、32、44，能否把4堆石子都拿光？

4、黑板上写着3个数9、18、27，老师请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3个数进行如下变化，一些数减1、其它数加2；或者都减1；或者都加2．请问：（1）能否经过若干次操作后得到11、12、13？（2）能否经过若干次操作后得到8、8、8？

5、（2014年金帆六秋）如图，平面上有5个点，共有10条线段将它们连接起来．请问至少要去掉___________条线段，才能使得其中没有以这五个点为顶点的三角形．

6、（1）能否用9个如图1所示的的长方形拼成一个的棋盘？

（2）能否用9个如图2所示的“L型”拼成一个的棋盘？

1、桌子上有5枚硬币，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚，第四次翻动4枚，第五次翻动5枚，能使桌子上的硬币都翻过来吗.

A．不能

B．能

C．无

2、《三国英雄传》共有10篇故事，这些故事占的篇幅从2页到11页各不相同．如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有______篇．

3、把1、2、3、…、13按合适的顺序填在图中第二行的空格中，_______（请在横线上写“能”或“否”）使得每列两个数字之和都是平方数．

4、将1至12排成一行，_______（请在横线上写“能”或“否”）使得任意相邻两数之和都为质数．

5、将1～13排成一行，_______（请在横线上写“能”或“否”）使得任意相邻两数之和都为平方数．

6、将1至7这7个数排成一行上，_______（请在横线上写“能”或“否”）使得任意三个相邻数的和都不大于12．

7、黑板上写着两个数9、99，现在老师请一些同学上黑板对这两个数进行操作，进行一次操作是指把两个数都进行如下变化：或者减1，或者加3．_______（请在横线上写“能”或“否”）经过若干次操作后得到11、22．

8、用若干个图2的“L型”_______（请在横线上写“能”或“否”）不重叠地拼出图1．

9、用1个如图所示的“T型”和15个如图所示的“曲四”，_______（请在横线上写“能”或“否”）拼成一个的棋盘．

10、能否用图中各种形状的纸片（不能剪开，每个小方格的边长为1）拼成一个边长为99的正方形（不重叠）？并说明理由．