数学人教版第十一章 三角形综合与测试课堂检测

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2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试
第十一章 三角形（提升卷）
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是 （    ）
A．6，5，10 B．5，3，2 C．5，8，14 D．6，9，2
【解析】
解：根据三角形的三边关系，得
A．5＋6＞10，能组成三角形；
B．2＋3＝5，不能组成三角形；
C．8＋5＜14，不能组成三角形；
D．6＋2＜9，不能组成三角形．
故选：A．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．在中，，，则的度数是 （    ）
A．40° B．60° C．80° D．160°
【解析】
解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，熟练掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．
3．一个三角形的两个内角的度数分别是42°和73°，这个三角形是 （    ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．全等三角形 D．钝角三角形
【解析】
解：∵三角形的两个内角的度数分别为42°和73°，
∴这个三角形的第三个内角是180°﹣42°﹣73°＝65°，
∵三个内角都小于90°，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是掌握三角形按角分类，三角形分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形．
4．已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，则∠B的度数为 （    ）

A．60° B．65° C．75° D．85°
【解析】
解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°，
∴∠ADB＝90°−15°＝75°，
∵∠C＝35°，
∴∠CAD＝75°−35°＝40°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝80°，
∴∠B＝180°−∠BAC−∠C＝180°−80°−35°＝65°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
5．如图，求 （    ）

A． B． C． D．
【解析】
解：连接DC，如图所示：

∵∠FGE=∠DGC，
∴∠F+∠E=∠EDC+∠FCD，
∴






故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和及四边形内角和，掌握三角形内角和定理及四边形内角和的度数是解题的关键．
6．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是 （   ）
A．中线 B．角平分线 C．高 D．以上都不对
【解析】
解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并灵活应用．
7．如图，D、E分别是ABC边BC、AB边上的中点，F是AD上一点且，若阴影部分的面积为9，则ABC的面积是 （   ）


A．18 B．16 C．15 D．14
【解析】
解：设△ABC的面积为S，
∵D是△ABC边BC边上的中点，
∴△ADC和△ADB的面积为，
∵E是△ABC边AB边上的中点，
∴△ADE的面积为，
∵3AF=FD，即AD=4AF，
∴△FDC的面积为，△EDF的面积为，
∵阴影部分的面积为9，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中线有关的求面积问题，关键知道高相等的两个三角形面积的比等于底的比，学会利用参数构建方程解决问题．
8．如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为
（　 　）

A．10 B．25 C．30 D．70
【解析】
解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此时2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“准直角三角形”；
综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理．理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．如图，，，，则为______．

【解析】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
10．若长度分别为3，5，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的最大值为________．
【解析】
解：由三角形三边关系定理得：5-3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的最大整数a的值是7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出2＜a＜8是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
11．在中，，则______．
【解析】
解：∵，
∴可设，
∴，
解得：x=18°，
∴．
故答案为：54°
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
12．若多边形的内角和比外角和大540°，则该多边形的边数是______．
【解析】
解：设这个多边形的边数是n，
则（n-2）•180°=360°+540°，
解得n=7．
故答案为：七．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．利用方程思想解决问题是关键．
13．将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．

【解析】
，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，

故答案为：105
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
14．如图，点、点是直线上两点，，点在直线外，，，，若点为直线上一动点，连接，则线段的最小值是______．

【解析】
解：当时，有最小值，
，，，，
，
即，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到最小时的点位置是解题的关键．
15．如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则__________．

【解析】
解：如图，
∵∠B=28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D=∠B=28°，
∵∠1=∠B+∠BEF，∠BEF=∠2+∠D，
∴∠1=∠B+∠2+∠D，
∴∠1-∠2=∠B+∠D=28°+28°=56°，
故答案为：．


【点睛】
本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
16．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角有一个角为，则等于______．
【解析】
解：分两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
∵∠DOC＝45°，
∴∠EOD＝135°，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠EAO+∠AEO+∠AOE=180°=∠DAO+∠DOA+∠ADO，
∴∠AEO+∠EAD+∠ADO+∠EOD=360°
∴∠A＝360°−90°−90°−135°＝45°；

（2）当∠A为钝角时，如图2，
∵∠F＝45°，∠ADF＝∠AEF＝90°，
同理∠DAE＝360°−90°−90°−45°＝135°，
∴∠BAC＝∠DAE＝135°，
则∠BAC的度数为45°或135°，
故答案为：45°或135°．

【点睛】
本题考查了三角形的高和三角形的内角和，明确三角形内角和，三角形的高所构成了两个直角；本题是易错题，容易漏解，要分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行计算．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，BD是边AC上的高．

(1)依题意补全图形；
(2)求∠DBC的度数．
【解析】
(1)如图，为边上的高

(2)在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵∠ABC=∠ACB=2∠A
∴5∠A=180°
∴ ∠A=36°
∴ ∠ABC=∠ACB=72°
在△BCD中，∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∴ ∠ACB+∠DBC=90°
∵∠ACB=72°
∴∠DBC=18°
【点睛】
本题考查了画三角形的高，三角形内角和定理，直角三角形的两锐角互余，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．
18．如图，AD、BE分别是的高和角平分线，，求的度数．

【解析】
解：∵AD、BE分别是的高和角平分线，
∴∠ADB=∠ADC=90°，，
又∵，
∴∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=64°，∠CAD=180°-∠C-∠ADC=60°，
∴，
∴，
∴的度数为62°．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
19．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数及内角和度数．
【解析】
解：根据题意，得
（n−2）•180°＝360°×4+180°，
解得：n＝11．
360°×4+180°=1620°
则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．
【点睛】
本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
20．如图，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知，．

(1)求证：；
(2)若DG是∠ADC的平分线，，求∠B的度数．
【解析】
(1)证明：∵，
∴．
又∵，．
∴．
(2)∵，，
∴．
又∵DG是∠ADC的平分线，
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
21．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F．求证：DA平分∠EDF．

【解析】
解：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠DAF，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠DAE，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠ADE=∠ADF．
DA平分∠EDF．
【点睛】
本题综合考查了平行线和角平分线的性质，注意等量代换的应用．
22．如图，AD、AF分别为的中线、高，点E为AD的中点．

(1)若，，求的度数；
(2)若的面积为15，，求AF的长．
【解析】
(1)，，

；
(2)BE为三角形ABD中线，，
，
，，
，
.
【点睛】
本题考查三角形外角和定理、中线平分面积，解题的关键是找准不相邻的外角，熟练掌握中线与面积的关系．
23．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC

(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝　 　度（直接写出答案）；
(2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．
【解析】
(1)解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，
∴∠BCD＝∠BDC＝55°．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．
故答案为：70；
(2)解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，
∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，
∴2∠BDC＝180°﹣∠B，
∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用三角形的外角性质，求出∠BDC的度数；（2）利用三角形内角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．
24．在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°．
（1）如图①，若∠B＝∠C，则∠B＝　 　度；
（2）如图②，作∠BCD的平分线CE交AB于点E．若CE∥AD，求∠B的大小．

【解析】
（1）∵∠A＝100°，∠D＝140°，
∴∠B＝∠C＝＝60°，
故答案为60；
（2）∵CE//AD，
∴∠DCE+∠D＝180°，
∴∠DCE＝40°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝80°，
∴∠B＝360°﹣（100°+140°+80°）＝40°．
【点睛】
本题考查了多边形内角与外角以及平行线的性质，熟练运用多边形内角性质和平行线的性质是解题的关键．
25．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．

(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ．
【解析】
(1)∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°，
∴∠AEB＝135°；
(2)∠CED的大小不变．
如图，延长AD、BC交于点F．

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠MBA＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°，
∴∠F＝45°，
∴∠FDC+∠FCD＝135°，
∴∠CDA+∠DCB＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴∠CED＝67.5°；
(3)∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF中，
∵有两个角度数的比是3：2，故有：
∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；
∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）．
∴∠ABO为60°或72°．
故答案为：60°或72°．

【点睛】
本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键．