人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试课时练习

2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试

第十三章 轴对称（基础卷）

时间：100分钟    总分：120分

一、    选择题（每题3分，共24分）

1．下列四种垃圾分类回收标识中，是轴对称图形的是                       （    ）

A． B． C． D．

【解析】

解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝8，EC＝4，则BC的长是                                                            （   ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【解析】

解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∵AE＝8，EC＝4，

∴BC=BE+CE=AE+CE=8+4=12．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．

3．已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是               （    ）

A．14 B．16 C．18 D．14或16

【解析】

解：①当4是腰时，符合三角形的三边关系，

周长＝4＋4＋6＝14；

②当6是腰时，符合三角形的三边关系，

周长＝4＋6＋6＝16，

所以该等腰三角形的周长是14或16，

故选：D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分情况讨论．

4．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）关于y轴的对称点的坐标是            （   ）．

A．（﹣1，﹣3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）

【解析】

解：点P（﹣1，3）关于y轴对称点的坐标是（1，3）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

5．一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是             （　　）

A． B． C． D．

【解析】

等腰三角形的底角等于，

又等腰三角形的底角相等，

顶角等于，

故选：C．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．

6．如图，△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，则△DEF是                   （   ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【解析】

解：∵是等边三角形，

∴AB=AC=BC，

∵AD=BE=CF，

∴AB-AD=AC-CF=BC-BE，

∴BD=AF=CE，

在和中，

∴（SAS），

同理，

则，

∴DE=DF=EF，

∴为等边三角形．

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明．

7．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为                                            （   ）

A． B． C． D．

【解析】

解：∵，是等边三角形，

∴AC=BA=BC，BD=BE，，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴AD=CE=3，

∴BC=AC=AD+CD=3+1=4．

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键．

8．如图，在中，点是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，，．则的周长的最小值为                                 （    ）

A． B． C． D．

【解析】

如图，连接BE，

∵点D是AB边的中点， l⊥AB，

∴l是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴AE+CE=BE+CE，

∵BE+CE≥BC，

∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，

∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．

二、填空题（每题3分，共24分）

9．如图，在△ABC中， AB＝AC，且∠B＝65°，则∠C＝____．

【解析】

解：在△ABC中，

∵AB＝AC，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等，掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．

10．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个．

【解析】

∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，

∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，

∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，

∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，

∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，

∵∠C＝∠ABC＝72°，

∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，

故图中共3个等腰三角形，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键．

11．如图，在4×4的正方形网格中已将图中的四个小正方形涂上阴影，如果再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是_____．

【解析】

根据轴对称图形的概念求解．

解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④，

在①处不是轴对称图形．

故答案为：①．

【点睛】

此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．

12．如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是__________海里．

【解析】

解：由题可知： (海里)，

∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，

∴∠C=∠NBC−∠NAC=84°−42°=42∘，

∴BC=AB=50(海里)，

即从B处到灯塔C的距离为50海里．

故答案为：50 ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定及性质定理，利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是结合图形，再利用数学知识来求解．

13．如图，在7×7的正方形网格中，A，B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有______个．

【解析】

解：∵AB==5，如图所示：

符合条件的点C一共有6个；

故答案为：6．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定，注意计算AB的边长是关键，找到与AB等长的线段即可；注意分类讨论的思想．

14．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__．

【解析】

解：等边的边长为，将沿直线折叠，点落在点处，

∴，，

∴阴影部分图形的周长为：

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查翻折变换（折叠问题）．折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．

15．如图，在中，，，PM和QN分别垂直平分AB和AC，则的度数是______．

【解析】

∵PM和QN分别垂直平分AB和AC，，

∴BP=AP，AQ=CQ，

∴，

∵

∴

故本题答案为：．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用性质推出角度关系是本题的关键．

16．如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，，则的周长等于_________．

【解析】

解：与 的平分线交于点，

，

，，

，，

，，

的周长

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查角平分线的性质，等边对等角，平行线的性质，掌握角平分线的性质，平行线的性质是解题的关键．

三、解答题（每题8分，共72分）

17．如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，△ABC的顶点都在格点上．按下述要求画图并解答问题：

(1)已知△ABC，直线m，画出△ABC关于直线m对称的图形；分别标出A、B、C三点的对称点D、E、F．

(2)若∠A＝45°，∠B＝64°，求∠F的度数．

【解析】

（1）解：如图，△DEF即为所求；

（2）解：在△ABC中，∠A=45°，∠B=64°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-64°=71°，∵△ABC与△DEF关于直线m对称，∴∠F=∠C=71°

【点睛】

本题考查了作图——轴对称变换、轴对称的两个图形的性质，解题关键是熟练掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．

18．如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．

(1)求证；

(2)连接，若，，求的长．

【解析】

 (1)证明：∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

(2)解：

 由（1）知，，

又∵，

∴是等边三角形，

∵，

∴．

∴的长为．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．

19．如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE．

(1)求证：△AOC≌△BOD．

(2)判断OE和AB的位置关系，并说明理由．

【解析】

（1）证明：在和中，，∴；

（2），理由如下：∵，∴，∵点E是AB的中点，∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．

20．如图，在正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成的图形，请你分别在下图方格内填涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴．

【解析】

解：如图所示即为所求：

【点睛】

题目主要考查轴对称图形的作法，掌握轴对称图形的作法及性质是解题关键．

21．如图，在中，，，求和的度数．

【解析】

解：∵，

∴，

∵，

∴在中，

，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及三角形外角的性质，利用三角形的内角和求角的度数是一种常用的方法．熟练运用等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．

【解析】

证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，

∴∠AED＝∠CFD＝90°，

∵D为AC的中点，

∴AD＝DC，

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），

∴∠A＝∠C，

∴BA＝BC，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形．

【点睛】

本题考查了HL证明三角形全等以及全等三角形的性质、等边三角形的判定，解题的关键是证明Rt△ADE≌Rt△CDF．

23．已知：如图，AB＝AD，BD平分∠ABC，求证：ADBC．

【解析】

∵AB=AD

∴∠ABD=∠ADB

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ADB=∠DBC

∴ADBC

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，以及平行线的判定；综合知识点推理得出内错角相等是本题的关键．

24．如图，在中，．

(1)在边上求作点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）所作的图形中，连接，试说明．

【解析】

 (1)

解：如图所示，点D即为所求；

(2)

解：如图，由（1）得，∴．

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及平行线的性质与判定是解题的关键．

25．已知，射线和射线相交于点B，（），且．点D是射线上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线，并在射线上取一点E，使，连接，．

(1)如下图，当点D在线段上，与的数量关系为_______；

(2)如下图，当点D在线段上，时，在射线上取一点F，使，连接，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

(3)如下图，当时，探究后直接写出的度数．

【解析】

（1）解：∵，，∠ADC＝∠C＋∠AEC，∠ADC＝∠A＋∠ABC，∴∠C＋∠AEC＝∠A＋∠ABC，即∠C＋α＝∠A＋α，∴∠A＝∠C，故答案为：∠A＝∠C；

（2）BF＝BE，BF⊥BE；证明：由（1）知∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF＝BE，∠ABF＝CBE，∵，∴∠ABC＝∠ABF＋∠FBC＝∠CBE＋∠FBC＝∠FBE＝90°，即BF⊥BE；

（3）当点D在线段上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，如图所示：在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF＋∠FBD＝∠CBE＋∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°−∠FBE）＝×（180°−120°）＝30°，即∠AEB＝30°；当点D在线段的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，如图所示：同理可证△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABE＋∠EBF＝∠ABE＋∠ABC，∴∠EBF＝∠ABC，∵∠ABC＝120°，∴∠EBF＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°−∠EBF）＝×（180°−120°）＝30°，∴∠AEB＝180°－∠BEF＝150°．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．