四川省资阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题

这是一份四川省资阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题，共44页。试卷主要包含了先化简，再求值，÷，其中x﹣3＝0，÷，其中a＝+1，两点等内容，欢迎下载使用。
四川省资阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•资阳）先化简，再求值．，其中a＝﹣3．
2．（2021•资阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x﹣3＝0．
3．（2020•资阳）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝+1．
二．一元一次不等式的应用（共2小题）
4．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
5．（2020•资阳）新冠肺炎疫情发生以来，国家紧急调拨了大量物资驰援武汉，全国各地的民间组织也积极捐赠，我市的民间组织捐赠了一批医用物资即将运往武汉，现有A、B两种车型，A种型的载重量比B种车型的载重量多5吨，2辆A种车型与4辆B种车型的总载重量为100吨．
（1）求A、B两种车型的载重量分别是多少吨？
（2）现有医用物资264吨，计划用A、B两种车型共15辆将这批医用物资一次性的运往武汉，那么至少安排A种车型多少辆？
三．一次函数的应用（共1小题）
6．（2021•资阳）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
7．（2022•资阳）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围；
（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．

8．（2021•资阳）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m，3）、B（3，n）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．

9．（2020•资阳）如图，平行四边形OABC中，AB＝2，OA＝2，它的边OC在x轴的负半轴上，对角线OB在y轴的正半轴上．反比例函数y＝的图象经过点A，一次函数y＝kx+b的图象经过A、C两点且与反比例函数图象的另一支交于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接BD，求△BDC的面积．

五．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．
12．（2020•资阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点C的坐标是（6，﹣4），它的图象经过点A（4，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，且点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，垂足为点N，连接CN，当CN最短时，求点N的坐标；
（3）连接AC（若点P是x轴下方抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．

七．三角形综合题（共1小题）
14．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；
（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；
（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．
八．四边形综合题（共1小题）
15．（2020•资阳）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．

九．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2021•资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020•资阳）如图，AB是⊙O的弦，直径CM⊥AB于点E，延长CM到点D，连接AD、CB，使∠BAD＝2∠BCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若DE：OE＝5：1，且⊙O的半径是，求弦AB的长．

一十一．相似形综合题（共1小题）
18．（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．

20．（2020•资阳）”毗河引水工程”能解决我市大部分地区严重缺水的问题．如图中，BC是该工程修建的一条引水渡槽，为测量它的长度，某人将无人机放飞到点A处测得渡槽端点B的俯角是60°后，再沿俯角30°的方向飞行400米到达点D处，此时测得渡槽端点B和端点C的俯角分别为14°和45°（点A、B、C、D在同一平面内）．（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
（1）求无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度和水平距离（结果保留根号）；
（2）求渡槽BC的长度（计算结果精确到0.1米）．

一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

一十四．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
23．（2021•资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．
24．（2020•资阳）某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，抽查结果分为：A（优秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
（1）本次共抽查了　 　个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是　 　度，并补全直方图；
（2）若全市共有120个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？


四川省资阳市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•资阳）先化简，再求值．，其中a＝﹣3．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣3时，
原式＝．
2．（2021•资阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x﹣3＝0．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝•
＝,
∵x﹣3＝0,
∴x＝3,
此时，原式＝．
3．（2020•资阳）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝+1．
【解答】解：（﹣1）÷
＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝﹣（a﹣1）
＝1﹣a，
当a＝+1时，原式＝1﹣（+1）＝﹣．
二．一元一次不等式的应用（共2小题）
4．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【解答】解：（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，
根据题意得：10（x+20）+10x＝1760，
解得：x＝78，
∴x+20＝78+20＝98，
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，
根据题意得：98a+78（50﹣a）≤4500，
解得：a≤30，
∴a最大值是30，
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
5．（2020•资阳）新冠肺炎疫情发生以来，国家紧急调拨了大量物资驰援武汉，全国各地的民间组织也积极捐赠，我市的民间组织捐赠了一批医用物资即将运往武汉，现有A、B两种车型，A种型的载重量比B种车型的载重量多5吨，2辆A种车型与4辆B种车型的总载重量为100吨．
（1）求A、B两种车型的载重量分别是多少吨？
（2）现有医用物资264吨，计划用A、B两种车型共15辆将这批医用物资一次性的运往武汉，那么至少安排A种车型多少辆？
【解答】解：（1）设1辆A型车的载重量是x吨，1辆B型车的载重量是y吨，
依题意，，
解得．
答：A种车型的载重量是20吨，B种车型的载重量是15吨；
（2）设安排A种车型a辆，则B种种车型（15﹣a）辆，
由题意得，20a+15（15﹣a）≥264，
解得a，
∵a为整数，
∴a的最小值为8，
答：至少安排A种车型8辆，才能将这批医用物资一次性的运往武汉．
三．一次函数的应用（共1小题）
6．（2021•资阳）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．
（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，
∴m（60﹣m），
∴m≥20．
依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
7．（2022•资阳）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围；
（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．

【解答】解：（1）由题意得：，，
∴m＝6，n＝﹣3，
∴A（1，6），B（﹣3，﹣2），
由题意得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝2x+4；
（2）由图象可知，当x＞0时，
一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x的值为x＞1，
当x＞0时，满足y1＞y2的x的取值范围为x＞1；
（3）一次函数y＝2x+4的图象平移后为y＝2x，
函数图象经过第一、三象限，
要使正比例函数y＝2x与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k＜0，
∴当k＝﹣1时，满足条件，
∴反比例函数的解析式为．
8．（2021•资阳）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m，3）、B（3，n）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结AD，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m，3）、B（3，n）两点．
∴3m＝3n＝6，
∴m＝n＝2，
∴A（2，3），B（3，2），
把A（2，3），B（3，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
（2）∵AC经过原点O，且点A，C均在反比例函数的图象上，
∴A、C关于原点对称，
∵A（2，3），
∴C（﹣2，﹣3），
设直线CB的解析式为y＝px+q，
∴，解得，
∴直线BC为y＝x﹣1，
令y＝0，则x＝1，
∴D（1，0），
设直线AB交x轴于点E，则E（5，0），
∴S△ABD＝S△ADE﹣S△BDE＝﹣（5﹣1）×2＝2．

9．（2020•资阳）如图，平行四边形OABC中，AB＝2，OA＝2，它的边OC在x轴的负半轴上，对角线OB在y轴的正半轴上．反比例函数y＝的图象经过点A，一次函数y＝kx+b的图象经过A、C两点且与反比例函数图象的另一支交于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接BD，求△BDC的面积．

【解答】解：（1）由题意得：OB＝4，
∴点A的坐标是（2，4），点C的坐标是（﹣2，0），
把点A代入y＝得m＝8，
∴反比例函数解析式是y＝，
又∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，4），点C（﹣2，0），
∴，解得，
∴一次函数解析式是：y＝x+2；
（2）联立解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△BDC＝S△ABD﹣S△ABC＝×2×6﹣×2×4＝2．
五．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，
又∵B（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4（或y＝﹣x2+2x+3）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴m＞0，
∴BP＝m+1，
由旋转可得：BD＝2BP，
∴BD＝2（m+1），
过点A（1，4）作AE⊥x轴于点E，
∴BE＝2，AE＝4，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2＝22+42＝20，
当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，
∴∠BAD＝∠BEA＝90°，
又∠ABE＝∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB2＝BE⋅BD，
∴4（m+1）＝20，
解得m＝4；

②由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，
∴C（7，﹣4），
∵点M在直线x＝4上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
1）当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（﹣4，y1）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y1＝﹣21，
∴Q（﹣4，﹣21），
2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（12，y2）代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：y2＝﹣117，
∴Q（12，﹣117），
3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴Q（2，y3）代入y＝﹣x2+2x+3，
得：y3＝3，
∴Q（2，3），
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（﹣4，﹣21）或（2，3）或（12，﹣117）．
11．（2021•资阳）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T，过点P作PQ∥OC交AC于Q．

设P（m，﹣m2+2m+3），
对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得x＝3或﹣1，
∴A（3，0），
∵C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∵B（﹣1，0），
∴T（﹣1，4），
∴BT＝4，
∵PQ∥OC，
∴Q（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PQ∥BT，
∴＝＝，
∴﹣m2+3m＝2，
解得m＝1或2，
∴P（1，4）或（2，3）．

（3）如图2中，连接AD′，过点N作NJ⊥AD′于J，过点C作CT⊥AD′于T．

∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∵C（0，3），
∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝，
∵DD′＝2CD，
∵DD′＝2，CD′＝3，
∴D′（3，6），
∵A（3，0），
∴AD′⊥x轴，
∴OD′＝＝＝3，
∴sin∠OD′A＝＝，
∵CT⊥AD′，
∴CT＝3，
∵NJ⊥AD′，
∴NJ＝ND′•sin∠OD′A＝D′N，
∴D'N+CN＝CN+NJ，
∵CN+NJ≥CT，
∴D'N+CN≥3，
∴D'N+CN的最小值为3，
此时N为OD'与CT的交点，
∴N（1.5，3），
∵平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+6，MN平行y轴，将x＝1.5代入抛物线解析式，
∴M（1.5，3.75），
∴MN＝0.75
12．（2020•资阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点C的坐标是（6，﹣4），它的图象经过点A（4，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，且点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，垂足为点N，连接CN，当CN最短时，求点N的坐标；
（3）连接AC（若点P是x轴下方抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P作PM⊥AC于点M，是否存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2﹣4，
∵图象经过点A（4，0），
∴a（4﹣6）2﹣4＝0，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣6）2﹣4＝x2﹣12x+32，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣12x+32；
（2）如图1，
∵点E、F在运动过程中始终保持DF⊥OE，
∴点N是以OD为直径的圆上的一动点，
设以OD为直径的圆的圆心为点G，连接CG，交⊙G于点N'，此时CN'即为最短的CN，过点N'作N'B⊥x轴于点B，

由已知得OD＝6，CD＝4，
∴GD＝3，CG＝5，
∵N'B⊥x轴，CD⊥x轴，
∴N'B∥CD，
∴△GBN'∽△GDC，
∴，
∴N'B＝，GB＝，
∴OB＝OG+GB
＝3+
＝，
∴点N的坐标为（，﹣）；
（3）存在点P，使PM、CM的长度是2倍关系．
∵A（4，0），D（6，0），
∴AD＝2，
∵，∠ADC＝90°，
∴当PM、CM的长度是2倍关系时，△PCM与△ACD相似．
①当点P在抛物线的对称轴的右侧时，PM＝2CM，△PCM∽△CAD，
如图2，延长CP交x轴于点Q，此时∠QCA＝∠QAC，
∴QA＝QC，
∴QA2＝QC2，
设Q（m，0），则（m﹣4）2＝（m﹣6）2+42，
解得m＝9，
∴Q（9，0），
设直线CQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（6，﹣4），Q（9，0）代入，得：
，
解得，
∴y＝x﹣12，
联立，
解得（舍去），，
∴点P（，﹣）；

②当点P在抛物线对称轴的左侧时，CM＝2PM，△PCM∽△ACD，
如图3，过点A作AH⊥AC，交CP的延长线于点H，过点H作HK⊥x轴，交x轴于点K，
由勾股定理得AC＝＝2，
∵AH⊥AC，PM⊥AC，
∴AH∥PM，
∴△PCM∽△HCA，
∵△PCM∽△ACD，
∴△HCA∽△ACD，
∴＝，
∴，
∴AH＝，
∵HK⊥x轴，AH⊥AC，
∴∠HKA＝∠ADC＝∠HAC＝90°，
∴∠KAH+∠AHK＝90°，∠CAD+∠KAH＝90°，
∴∠AHK＝∠CAD，
∴△AHK∽△CAD，
∴，
∴，
∴AK＝2，KH＝1，
∴H（2，﹣1），
设直线CH的解析式为y＝mx+n（m≠0），将C（6，﹣4），H（2，﹣1）代入，得：
，
解得，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x+，
联立，
解得（舍去），，
∴点P（，﹣）；

综上所述，满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．
（1）求证：△ABC≌△ECD；
（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．

【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
（2）解：∵∠A＝90°，
∴∠CED＝∠A＝90°，
∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，
设BE＝x，
∵EC＝AB＝3，BD＝2，
∴CD＝BC＝3+x，
∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，
∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，
整理得x2+3x﹣10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
∴BE＝2，BC＝3+2＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，
∴△BCD的面积为10．
七．三角形综合题（共1小题）
14．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；
（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；
（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+，求sin∠BCD的值．
【解答】解：（1）∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴BD＝CE且BD⊥CE；

（2）延长BD和EC交于点H，

同法可证BD⊥CE，即∠H＝90°，CE＝BD＝2，
而∠ADH＝90°，∠DAE＝90°，
故四边形ADHE为矩形，
而AD＝AE，
故四边形ADHE为正方形，
在Rt△ACE中，AE＝＝＝＝6＝DH＝EH＝AD，
则BH＝BD+DH＝2+6＝8，CH＝HE﹣CE＝6﹣2＝4，
在Rt△BCH中，tan∠CBH＝，
在Rt△BDF中，DF＝BDtan∠CBH＝2×＝1，
故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；

（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，连结CE，延长EC和BD交于点H，连接DE，

由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，
由作图知，△ADE为等腰直角三角形，
设CE＝BD＝x，
在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BC＝AB＝＝2，
则CH＝BC，BH＝BCcos30°＝3，
则DH＝BH﹣x＝3﹣x，EH＝CH+CE＝x+，
则DE2＝2AD2＝DH2+EH2，
即（3﹣x）2+（+x）2＝2×（4+），
解得x＝2﹣（舍去，理由是此时∠BAD小于15°）或1，
即BD＝x＝1，
过点D作DN⊥BC于点N，
在Rt△BND中，∠CBD＝30°，BC＝2，BD＝1，
则ND＝BD＝，BN＝BDcos30°＝，
则CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，
∴CD＝＝，
则sin∠BCD＝＝＝．
八．四边形综合题（共1小题）
15．（2020•资阳）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．
（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．

【解答】（1）证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF＝90°，

又∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∵AD＝DE，DF＝DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），
∴AF＝EF；
（2）解：的值不变；
如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，

∴四边形ANEM是矩形，
∴EN＝AM，
∵∠EAM＝∠CAD，∠EMA＝∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴，即，
∵∠DEF＝∠MEN＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
又∵∠DME＝∠ENF＝90°，
∴△DME∽△FNE，
∴，
由①②可得，
∵AD与DC的值不变，
∴的值不变；
（3）连接GH交EF于点I，

∵点F是AB的中点，
∴AF＝，
在Rt△ADF中，DF＝＝＝，
由（2）知＝，
∴DE＝EF，
在Rt△DEF中，EF＝，DE＝，
又∵AB∥DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∴，
由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH∥DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴，
∴EI＝＝，GI＝IH＝，
又∵GH∥DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴＝，
∴KI＝＝，
∴HK＝＝．
九．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2021•资阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝，
∴＝，
∴DE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴，
∴，
∴AF＝．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2020•资阳）如图，AB是⊙O的弦，直径CM⊥AB于点E，延长CM到点D，连接AD、CB，使∠BAD＝2∠BCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若DE：OE＝5：1，且⊙O的半径是，求弦AB的长．

【解答】（1）证明：连接OA，

∵CE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴＝，
∴∠AOM＝2∠BCD，
又∵∠DAB＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠DAB，
又∵∠D＝∠D，
∴∠OAD＝∠AED＝90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AOE＝∠DOA，∠AEO＝∠OAD，
∴△OAE∽△ODA，
∴，
∴OA2＝OD•OE，
∵DE：OE＝5：1，
∴OD＝6OE，
又∵AO＝，
∴OE＝1，
∴AE＝＝＝，
∵AB是⊙O的弦，直径CM⊥AB，
∴AB＝2AE＝2．
一十一．相似形综合题（共1小题）
18．（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
（1）求证：△ABM∽△EBF；
（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，
∴∠AMB＝∠EFB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABM∽△EBF；
（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
又∵AM是BC边上的高，
∴AM⊥AD，
∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，
∴四边形AMEN为矩形，
∴NE＝AM＝4，AN＝ME，
在Rt△ABM中，，
又∵E为BC的中点，
∴，
∴ME＝AN＝2，
∴DN＝8，
在Rt△DNE中，；
（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：

∵sinB＝＝，
∴，
∴EF＝x，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，
又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△ABM∽△ECG，
∴，
∴，
∴GC＝（10﹣x），
∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），
∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，y有最大值为，
答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．

【解答】解：（1）如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
解得k＝1，
∴DM＝5（米），CM＝12（米），
答：D处的竖直高度为5米；
（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，
又∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝（12+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，
∵tan∠ADE＝tan53°≈，
∴≈，
解得a＝，
∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），
BE＝5a＝（米），
∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），
答：基站塔AB的高为米．

20．（2020•资阳）”毗河引水工程”能解决我市大部分地区严重缺水的问题．如图中，BC是该工程修建的一条引水渡槽，为测量它的长度，某人将无人机放飞到点A处测得渡槽端点B的俯角是60°后，再沿俯角30°的方向飞行400米到达点D处，此时测得渡槽端点B和端点C的俯角分别为14°和45°（点A、B、C、D在同一平面内）．（参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
（1）求无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度和水平距离（结果保留根号）；
（2）求渡槽BC的长度（计算结果精确到0.1米）．

【解答】解：（1）过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E，

在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝400米，
∴AE＝AD•sin30°＝200米，
DE＝AD•cos30°＝200米．
答：无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度为200米，水平距离为200米；
（2）过点D作DG⊥BC于点G，设DG＝x，
∴CG＝DG＝x，
在Rt△DBG中，∠DBG＝14°，
∴BG＝＝≈＝4x，
∵四边形EFGD是矩形，
∴EF＝DG＝x，FG＝DE＝200，
∴BF＝200﹣4x，
AF＝AE+EF＝200+x，
在Rt△AFB中，∠ABF＝60°，
∴tan∠ABF＝＝，
∴x＝50.38，
∴BC＝5x≈251.9（米）．
答：渡槽BC的长度为251.9米．
一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）

【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴，
在Rt△BDE中，
∴，
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
一十四．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），
则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），
补全条形统计图如下：

（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：（人）；
（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，
画出树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为．
23．（2021•资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
（2）若D类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．
【解答】解：（1）调查的职工人数为：150÷75%＝200（人），
∴C类职工所对应扇形的圆心角度数为：360°×＝27°，
A类的人数为200﹣150﹣15﹣5＝30（人），
补全条形统计图如下：

（2）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，
∴恰好抽到一名女士和一名男士的概率为＝．
24．（2020•资阳）某市为了解垃圾分类投放工作的落实情况，在全市范围内对部分社区进行抽查，抽查结果分为：A（优秀）、B（良好）、C（一般）、D（较差）四个等级，现将抽查结果绘制成如图所示的统计图．（注：该市将垃圾分为干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾共四类）
（1）本次共抽查了　20　个社区，C（一般）所在扇形的圆心角的度数是　36　度，并补全直方图；
（2）若全市共有120个社区，请估计达到良好及以上的社区有多少个？
（3）小明和他的妈妈将分好类的四种垃圾每人各提两袋去分类投放，请用树状图或列表法求小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是多少？

【解答】解：（1）本次共抽查的社区有：10÷50%＝20（个），
C（一般）的社区有：20﹣10﹣6﹣2＝2（个），
C（一般）所在扇形的圆心角的度数是：360°×＝36°，
补全统计图如下：

故答案为：20，36；

（2）120×＝96（个），
答：达到良好及以上的社区有96个．

（3）将干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾分别用A、B、C、D表示，根据题意画图如下：

共有12种等可能的情况数，其中小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的有2种，
则小明恰好提到干垃圾和湿垃圾的概率是＝．