2021-2022学年山西省晋中市榆次区八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山西省晋中市榆次区八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，，这种证明方法是(    )

A. 综合法 B. 举反例法 C. 数学归纳法 D. 反证法

4. 如图，在中，，点为边上一点，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 小明同学发现，只用两把宽度相同的长方形直尺就可以画一个角的平分线．如图，一把直尺压住的一边，另一把直尺压住的另一边，并且与第一直尺交于点，则射线就是的平分线．他这样做的依据是(    )

A. 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
 

6. 某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒元，标价为元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于，最多可以按几折销售？设按折销售，根据题意可列不等式(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，，，垂足分别为，，与交于点，且，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 垂直平分

8. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，，，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使，，三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，则高铁站应建在(    )

A. ，两边垂直平分线的交点处 B. ，两边高线的交点处
C. ，两边中线的交点处 D. ，两内角的平分线的交点处

9. 一个等腰三角形的周长为，一边长为，则另两边长分别为(    )

A. ， B. ，
C. ，或， D. 以上都不对

10. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 某个一元一次不等式组中的两个不等式的解集在同一条数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为______．

12. 如图，是的边的垂直平分线，垂足为点，交于点，且，的周长为，则的长为______．

13. 如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得到，则四边形的周长为______．

14. 如图，一次函数的图象经过点和，则不等式的解集是______．

15. 如图，在中，，，，点为边上一点，，且，点为直线上的一个动点，当时，______．

三、解答题（本大题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    下面是小虎同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
    
    解：去分母，得第一步
    去括号，得第二步
    移项，得第三步
    合并同类项，得第四步
    两边都除以，得第五步
    任务：
    上述解题过程中，第二步是依据______运算律进行变形的；
    第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
    请直接写出该不等式的正确解集．
17. 本小题分
    解不等式组：并把解集表示在数轴上．
     
18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．
    将经过平移得到，若点的对应点的坐标为，请你画出平移后的图形；
    在的基础上，若点是内的一点，则平移后的对应点的坐标为______；
    画出关于原点成中心对称的图形．

19. 本小题分
    电影长津湖以抗美援朝时的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转战役局势，打出了军威国威．某中学为了培养学生的爱国主义情怀，准备先组织师生共人进行观影活动，已知学生票每张元，成人票每张元，若总费用不超过元，最多可以安排几名教师参加此次观影活动？

20. 本小题分
    如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，若，，求的周长．

21. 本小题分
    北京冬奥会、冬残奥会的筹办举办推动了我国冰雪运动跨越式发展，我国参与冰雪运动的人数突破亿，参与率超过，得到了国际奥委会主席巴赫的盛赞．春节期间，我省某滑雪场原票价为每次元，为了迎接冬奥会的到来，特推出甲、乙两种优惠方案．
    方案甲：顾客不购买会员卡，每次滑雪九折优惠．
    方案乙：顾客先花费元购买会员卡仅限本人一年内使用，凭卡滑雪，每次滑雪八折优惠．
    设小亮在一年内来此滑雪场滑雪的次数为次，选择方案甲的总费用为元，选择方案乙的总费用为元．
    请分别写出，与之间的函数关系式；
    小亮一年内在此滑雪场滑雪的次数在什么范围时，办会员卡更划算？
22. 本小题分
    如图，在中，．
    尺规作图：过点作，点为垂足，在线段上取一点，使得，连接；不写作法，保留作图痕迹
    若在中恰好求证：点在线段的垂直平分线上．

23. 本小题分
    综合与探究
    【问题情境】
    数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，将绕着点按逆时针方向旋转，使与重合，得到．
    【操作探究】
    试判断的形状，并说明理由；
    【深入探究】
    希望小组受此启发，如图，在线段上取一点，使得，连接，发现和有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；
    智慧小组在图的基础上继续探究，发现，，三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出当，时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关概念是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于．
故选：．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
设，则，
，
，
，
，
．
故选：．
由，，根据等角对等边的知识，可得，，设，根据等腰三角形的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理得出关于的方程，解方程即可求得答案．
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：直尺的宽度一样，
点到的两边距离相等，
平分，
故选：．
根据直尺的宽度一样，利用角平分线的判定定理，可得结论．
本题考查作图基本作图，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是掌握角平分线的判定定理，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：．
故选：．
根据题意可得不等关系：标价打折进价利润，根据不等关系列出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题列一元一次等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
平分，
，故A正确，不符合题意；
 在和中，
，
≌，
，故B正确，不符合题意；
在和中，
，
≌，
，故C正确，不符合题意；
，
不垂直平分，故D错误，符合题意，
故选：．
根据角平分线的性质可以判断选项；证明和，可以判断选项；证明≌，可以判断选项；根据线段垂直平分线的性质可以判断选项．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到和．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，则高铁站应建在，两边垂直平分线的交点处，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质作出判断即可．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形；
当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形．
故另两边长分别为，或，．
故选：．
此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
故选：．
由旋转的性质，可证、都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由数轴知两个不等式解集的公共部分为，
该不等式组的解集为，
故答案为：．
由数轴知两个不等式解集的公共部分为，从而得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据数轴找到解集的公共部分．
 

12.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长为，
即，
，
，
又，，
．
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：沿方向平移个单位得到，
，，
四边形的周长，
的周长，
，
四边形的周长．
故答案为：．
根据平移的性质可得，，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示：不等式的解为：．
故答案为：．
直接利用图象得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图：

在中，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
或．
故答案为：或．
根据可得≌，根据全等三角形的性质得，即可得的值．
本题考查了含角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定与性质以及含角直角三角形的性质是解题的关键．注意不要漏解．
 

16.【答案】乘法分配律  五  不等式两边都乘，不等号的方向没有改变或不符合不等式的性质 

【解析】解：上述解题过程中，第二步是依据乘法分配律运算律进行变形的；
故答案为：乘法分配律；
第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都乘，不等号的方向没有改变或不符合不等式的性质；
故答案为：五，不等式两边都乘，不等号的方向没有改变或不符合不等式的性质；
去分母，得第一步，
去括号，得第二步，
移项，得第三步，
合并同类项，得第四步，
两边都除以，得第五步．
观察解不等式第二步的步骤即可求解；
观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可；
写出不等式正确解集即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
 

17.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，

原不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，就是所求的三角形；
根据的平移规律可知，平移后的对应点的坐标为，
故答案为：；
如图所示，就是所求的三角形．

根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
根据平移规律即可得出结果；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了平移变换与旋转变换的性质，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设可以安排名教师参加此次观影活动，
则根据题意，得．
解得．
由于为正整数，
所以最多可以安排名教师参加此次观影活动． 

【解析】根据“学生票每张元，成人票每张元，若总费用不超过元”可列出相应的一元一次不等式，计算解答即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等关系并据此列式计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，，





，
的周长为． 

【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意得：，，
与之间的函数关系式为，与之间的函数关系式为；
由，得，
解得，
所以小亮一年内在此滑雪场滑雪的次数时，办会员卡更划算． 

【解析】根据题意写出函数解析式即可；
通过解不等式得出结论．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，列出函数解析式．
 

22.【答案】解：如图，线段，点，线段即为所求．


证明：由得，，
垂直平分，
，
，，
，
，
点在线段的垂直平分线． 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明，可得结论．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转得，，
，
，
为等腰直角三角形；
，理由如下：
，，
．
，
又，，
≌，
；
，理由如下：
，，
，
旋转，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得，，可得结论；
由“”可证≌，可得；
由勾股定理可求的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．