广西专用高考数学一轮复习考点规范练37空间几何体的结构及其三视图和直观图含解析新人教A版文

考点规范练37　空间几何体的结构及其三视图和直观图

基础巩固

1.(2021河北大名一中高三月考)如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,A'B'∥y'轴,B'C'∥x'轴,A'B'=2,B'C'=3,则△ABC中,AC=(　　)

A.2 B.5 C.4 D.

2.(2021贵州贵阳适应性考试一)某几何体的正视图和侧视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(　　)

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

4.某几何体的正视图和侧视图均为如图(1)所示的图形,则在图(2)的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)

图(1)

图(2)

A.①③ B.①④

C.②④ D.①②③④

5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(　　)

A.6 B.4 

C.6 D.4

6.(2021湖南长沙一中高三模拟)《增减算法统宗》中,许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺,则能推算出该葛藤长为(　　)

A.21尺 

B.25尺 

C.29尺 

D.33尺

7.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是(　　)

8.已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面.该三棱柱截去三个角(如图①,A,B,C分别是△GHI三边的中点)后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为(　　)

图①

图②

9.如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC.已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为　　　　　. 

10.给出下列命题:①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.

其中真命题的序号是　　　　　. 

11.如图,O1,O2为棱长为a的正方体的上、下底面中心,若正方体以O1O2为轴顺时针旋转,则该正方体的所有正视图的最大面积是　　　　　. 

12.(2021全国Ⅰ)以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为　　　　　(写出符合要求的一组答案即可). 

图①　　　　　图②　　　　　图③

图④　　　　　　　　图⑤

能力提升

13.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是(　　)

14.(2021江西南昌二模)如图,正四棱锥P-ABCD的高为12,AB=6,E,F分别为PA,PC的中点,过点B,E,F的截面交PD于点M,截面EBFM将四棱锥分成上下两个部分,规定为正视图方向,则几何体CDAB-FME的俯视图为(　　)(每个小方格的边长为1)

15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段A1C1上的动点,则三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为(　　)

A.1 B. 

C. D.2

16.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段CD和A1B1上的动点,且满足CE=A1F,则四边形D1FBE所围成的图形(阴影部分如图所示)分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和(　　)

A.有最小值 

B.有最大值 

C.为定值3 

D.为定值2

17.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　. 

图1

图2

高考预测

18.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分,因为像是两个方形的盖子合在一起,所以被称作“牟合方盖”.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(伞盖).其直观图如下图所示.图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同时,它的正视图和俯视图分别是(　　)

A.a,b 

B.a,c 

C.c,b 

D.b,d

答案：

1.B　解析在直观图△A'B'C'中,A'B'=2,B'C'=3,

由斜二测画法知,在△ABC中,AB=2A'B'=4,BC=B'C'=3,且AB⊥BC,

所以AC==5.

2.C　解析根据正视图和侧视图,可知该几何体为棱柱.对选项C,该几何体的直观图如图所示,其正视图中间应该为实线,所以C选项的俯视图不可能.

3.A　解析根据三视图原则,从上往下看,看不见的线画虚线,则A正确.

4.A　解析由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故①③正确.

5.C　解析如图,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,因为点A为所在棱的中点,所以最长的棱为AD==6,故选C.

6.C　解析如图所示,圆柱的侧面展开图是矩形ABEF,

由题意得AB=2丈=20尺,圆周长BE=3尺,

则葛藤绕圆柱7周后长为BD==29尺.

7.D　解析易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形,结合A,B,C,D选项知,D选项中侧视图、俯视图方向错误,故选D.

8.A　解析因为平面DEHG⊥平面DEF,所以该几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选A.

9.　解析设三棱锥V-ABC的底面边长为a,侧面VAC边AC上的高为h,则ah=,其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形,其面积为a×h=.

10.①　解析①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体ACB1D1;②错误,不一定是正三棱锥,反例如图所示,AB=BC=AC=VA,且VA⊥平面ABC,可知三棱锥V-ABC不是正三棱锥;③错误,必须是相邻的两个侧面.

11.a2　解析所有正视图的最大面积是长为a,宽为a的矩形,面积为a2.

12.②⑤或③④　解析根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据,侧视图只能是②或③.

若侧视图为②,如图(1),平面PBC⊥平面ABC,△ABC为等腰三角形(BC为底边),俯视图为⑤;

(1)

若侧视图为③,如图(2),PB⊥平面ABC,AB=BC,俯视图为④.

(2)

13.C　解析若俯视图为选项C中的图形,则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD,如图所示,该四棱锥的体积V=×(2×2)×2=,符合题意.若俯视图为其他选项中的图形,则根据三视图易判断对应的几何体不存在,故选C.

14.C　解析研究平面DPB,设AC与BD的交点为O,BM与EF的交点为N.

∵E,F分别为PA,PC的中点,

∴N为PO的中点,PO=12,

又AB=6,∴ON=OB=OD=6.

∵tan∠PDB==2,过点M作MG⊥DB,

设GB=x,∵∠NBO=45°,

∴GB=MG=x.

又DB=12,

∴DG=12-x,tan∠PDB==2,

∴x=8,

∴DG为4个格,GB为8个格.

15.D　解析在正视图中,底面B,C,D三点,其中D与C重合,随着点P的变化,其正视图均是三角形,且点P在正视图中的位置在边A1D1上移动,由此可知,设正方体的棱长为a,则S正视图=a2;设A1C1的中点为O,随着点P的移动,在俯视图中,易知当点P在OC1上移动时,S俯视图就是底面三角形BCD的面积,当点P在OA1上移动时,点P越靠近A1,俯视图的面积越大,当到达A1的位置时,俯视图为正方形,此时俯视图的面积最大,S俯视图=a2,所以三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为=2.

16.D　解析依题意,设四边形D1FBE的四个顶点在后面、上面、左面的投影分别为D',F',B',E',则四边形D1FBE在后面、上面、左面的正投影分别如图所示.

所以在后面的正投影面积为S后=1×1=1,

在上面的正投影面积为S上=D'E'×1=DE×1=DE,

在左面的正投影面积为S左=B'E'×1=CE×1=CE,

所以正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2.

17.26　-1　解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=x,

所以GH=2×x+x=(+1)x=1,

解得x=-1,即该半正多面体的棱长为-1.

18.A　解析当正视图和侧视图均为圆时,牟合方盖相对的两个曲面正对前方,正视图和侧视图均为圆,而俯视图为一个正方形,且有两条实线的对角线.

故本题正确答案为A.