2022年四川省成都市蓉城名校联盟高考数学第三次联考数学试卷（理科）

2022年四川省成都市蓉城名校联盟高考数学第三次联考试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，0，，，则　　

A． B．， C．， D．，0，

2．如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是　　

A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．圆柱

3．已知复数，则在复平面内复数对应的点到虚轴的距离为　　

A．8 B．4 C．5 D．6

4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是　　

A． B． C． D．

5．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为，方差为；四个有效分的中位数为，方差为．则下列结论正确的是　　

A．， B．， C．， D．，

6．若等差数列的公差为，前项和为，则“”是“有最大值”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．的展开式中的系数为　　

A．12 B． C．6 D．

8．已知双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点为，且点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

9．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，6时56分，飞船与天宫空间站完成交会对接．下图是飞船从发射到与空间站完成对接的飞行轨迹示意图，最里面和最外面的两个同心圆分别表示地球和空间站的运行轨道，夹在中间的4个椭圆从内到外表示飞船的初始轨道、转移轨道1、转移轨道2、转移轨道3，它们都以地球球心为一个焦点，且相邻两个椭圆的公共点为里面椭圆的远地点和外面椭圆的近地点．飞船从地面沿箭头方向发射后在近地点进入初始轨道，沿顺时针方向匀速飞行若干圈后在两个椭圆的公共点处变速变轨进入转移轨道1，如此依次进入转移轨道2、转移轨道3，最后沿箭头方向进入空间站所在轨道与空间站完成对接．根据以上信息，从火箭发射到飞船进入空间站轨道的过程中，飞船与地球表面的距离（高度）随时间变化的函数图象大致为下面四个图中的　　

A． 

B． 

C． 

D．

10．已知数列满足，，则　　

A．511 B．255 C．256 D．502

11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角．设四面体的外接球的球心为，球与平面的截面为圆，则以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面积为　　

A． B． C． D．

12．已知函数，，为自然对数的底数），则下列结论正确的是　　

A．（a）（b） B．（b）（a） 

C．（b）（a） D．（a）（b）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件则的最小值为 　　．

14．2022年3月成都市连续5天的日平均气温如表所示：

由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测3月15日成都市的平均气温为 　　．

15．与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆．已知正的中心为，，点为与边相切的旁切圆上的动点，则的取值范围为 　　．

16．已知函数，则下列结论正确的有 　　．

①是周期函数，且最小正周期为；

②的值域为；

③在区间上为减函数；

④的图象的对称轴为．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求；

（2）求．

18．（12分）抛掷质地均匀的一红一黄两颗正方体骰子（骰子六个面分别标有1，2，3，4，5，6点），记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示黄色骰子的点数．

（1）设事件为“”，事件为“ “，判断事件与事件是否是相互独立事件，并说明理由；

（2）设随机变量，求的分布列与数学期望．

19．（12分）如图，在五面体中，是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，，，，．

（1）若平面平面，求证：；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上的点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为椭圆上的任意一点，过点作的切线与圆交于，两点，设，的斜率分别为，，证明：为定值，并求该定值．

21．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若恒成立，求的值．

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；

（2）设直线与曲线交于，两点，点是曲线上的一动点，求面积的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数．

（1）画出函数的图象；

（2）设函数的最小值为，正实数，，满足，证明：．

2022年四川省成都市蓉城名校联盟高考数学第三次联考试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，0，，，则　　

A． B．， C．， D．，0，

【解析】：，

又，0，，

，，

故选：．

2．如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是　　

A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．圆柱

【解析】：对于：三棱柱，放倒后的正视图和俯视图为全等矩形，正确；

对于：四棱柱的正视图和俯视图为全等矩形，正确；

对于：圆柱，放倒后正视图和俯视图为全等矩形，正确；

对于：五棱柱无论咋放，都不可能得到的正视图和俯视图为矩形，故错误．

故选：．

3．已知复数，则在复平面内复数对应的点到虚轴的距离为　　

A．8 B．4 C．5 D．6

【解析】：，

，，，

在复平面内复数对应的点到虚轴的距离为8．故选：．

4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是　　

A． B． C． D．

【解析】：在定义域内不单调，不符合题意；

在定义域，内单调递增，但在定义域，不单调，不符合题意；

定义域，且，故为奇函数且在上单调递增，符合题意；

在定义域内非奇非偶函数，不符合题意．故选：．

5．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为，方差为；四个有效分的中位数为，方差为．则下列结论正确的是　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】：容易求出这六个原始分95，95，95，93，94，94的中位数为，方差为；

四个有效分95，95，94，94的中位数为，方差为；

根据方差的定义知四个有效分的波动性变小，所以．

故选：．

6．若等差数列的公差为，前项和为，则“”是“有最大值”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】：“” 等差数列单调递减，则“有最大值”；

反之，有最大值，可能为，例如，

“”是“有最大值”的充分不必要条件，

故选：．

7．的展开式中的系数为　　

A．12 B． C．6 D．

【解析】：原式相当于4个相乘，

当有两个括号里出，一个括号出，最后一个括号出，

则展开式中含的项为：，故所求系数为．

故选：．

8．已知双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点为，且点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【解析】：抛物线的准线方程为：，所以的纵坐标为：，不妨，，

在双曲线的一条渐近线上，

可得：，即，

所以双曲线的离心率：．

故选：．

9．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，6时56分，飞船与天宫空间站完成交会对接．下图是飞船从发射到与空间站完成对接的飞行轨迹示意图，最里面和最外面的两个同心圆分别表示地球和空间站的运行轨道，夹在中间的4个椭圆从内到外表示飞船的初始轨道、转移轨道1、转移轨道2、转移轨道3，它们都以地球球心为一个焦点，且相邻两个椭圆的公共点为里面椭圆的远地点和外面椭圆的近地点．飞船从地面沿箭头方向发射后在近地点进入初始轨道，沿顺时针方向匀速飞行若干圈后在两个椭圆的公共点处变速变轨进入转移轨道1，如此依次进入转移轨道2、转移轨道3，最后沿箭头方向进入空间站所在轨道与空间站完成对接．根据以上信息，从火箭发射到飞船进入空间站轨道的过程中，飞船与地球表面的距离（高度）随时间变化的函数图象大致为下面四个图中的　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解析】：由图知：从轨道1的近地点进入轨道，

轨道1进入轨道2的点为轨道1的远地点，轨道2的近地点，

轨道2进入轨道3的点为轨道2的远地点，轨道3的近地点，

轨道3进入轨道4的点为轨道3的远地点，轨道4的近地点，

轨道4与空间站完成对接，轨道距离地表高度相对于轨道4远地点增大，排除；

而在任一椭圆轨道上运行时，轨道距离地表高度不可能出现小于刚进入该轨道时的高度，排除．

故选：．

10．已知数列满足，，则　　

A．511 B．255 C．256 D．502

【解析】：由题意，当时，，

即，解得，

则，，，，，

各项相加，可得，

．

故选：．

11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角．设四面体的外接球的球心为，球与平面的截面为圆，则以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面积为　　

A． B． C． D．

【解析】：在底面上，，，，，

所以，所以，

在上，，由余弦定理可得：

，

所以，所以．

所以．

又因为平面，所以．

又．所以面，所以．

取的中点为，

因为和均为直角三角形，

所以，

所以为四面体的外接球的球心．

因为为直角三角形，

所以球与平面的截面为圆，半径即为．

而．

所以以为顶点，圆为底面的圆锥的底面半径为，高为，

所以底面周长为，

所以以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面积为，

故选：．

12．已知函数，，为自然对数的底数），则下列结论正确的是　　

A．（a）（b） B．（b）（a） 

C．（b）（a） D．（a）（b）

【解析】：设，则，

当时，，为减函数，

则，得，即．

由，则为偶函数，

又，则，即为增函数，又，

所以，当时，为增函数，

令且，则，即递增，

所以，即在上恒成立，

取，得，所以，故，

综上，（a）（b）（1）．故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件则的最小值为 　2　．

【解析】：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，

由，得，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最大，有最小值为．

故答案为：2．

14．2022年3月成都市连续5天的日平均气温如表所示：

由表中数据得这5天的日平均气温关于日期的线性回归方程为，据此预测3月15日成都市的平均气温为 　23.85　．

【解析】：由题意可得，

．

，

．

预测3月15日成都市的平均气温：．

故答案为：23.85．

15．与三角形的一边及另外两边的延长线都相切的圆，称为这个三角形的旁切圆．已知正的中心为，，点为与边相切的旁切圆上的动点，则的取值范围为 　，　．

【解析】：如图所示，的旁切圆为圆，设其半径为，因为正的边长为1，所以，

易知为的重心，则，，

易知与△相似，则，即，解得，

由平面向量数量积的几何意义可知：，表示在上的投影与的乘积，

由图可知，当点位于点时，最大，最大值为，

当点位于点时，最小，最小值为，

故的取值范围是，，

故答案为：，．

16．已知函数，则下列结论正确的有 　②③　．

①是周期函数，且最小正周期为；

②的值域为；

③在区间上为减函数；

④的图象的对称轴为．

【解析】：，

①，

因此是周期函数，且最小正周期为，即①不正确；

②易知，，不妨取，，

则，，

，，因此②正确；

③，，

，无论为奇数还是偶数，都有单调递减，因此③正确．

④令，或，解得，，即，

的图象的对称轴为，因此④不正确．

故选：②③．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求；

（2）求．

【解析】：（1）因为，，，

由正弦定理得，

化简得，

即，

（2）由且是锐角，

所以，，

又是锐角，

所以，

所以，，

所以．

18．（12分）抛掷质地均匀的一红一黄两颗正方体骰子（骰子六个面分别标有1，2，3，4，5，6点），记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示黄色骰子的点数．

（1）设事件为“”，事件为“ “，判断事件与事件是否是相互独立事件，并说明理由；

（2）设随机变量，求的分布列与数学期望．

【解析】：（1）事件 与事件不是相互独立事件，

抛掷质地均匀的一红一黄两颗正方体骰子，记下骰子朝上面的点数总基本事件，

其中事件所包含的基本事件（A），（A），

事件所包含的基本事件（B），（B），

事件所包含的基本事件，，

（A）（B），

事件与事件不是相互独立事件．

（2）随机变量可以为0、1、2、3、4、5，

，，，，，，

的分布列为

．

19．（12分）如图，在五面体中，是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，，，，．

（1）若平面平面，求证：；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解答】证明：（1）由，面，面，

所以平面，又面面，平面，

所以．

解：（2）取的中点，连接，．

由，则，又，

所以平面，

由，，则四边形是平行四边形，

所以，则平面．

如图建立空间直角坐标系，则，

由，则，

设平面的法向量为，，，又，

则，若，即．

设平面的法向量为，，，又，

则，若，即，

所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上的点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为椭圆上的任意一点，过点作的切线与圆交于，两点，设，的斜率分别为，，证明：为定值，并求该定值．

【解析】：（1）由题设，，则，而，则，

设椭圆的方程为，又点在椭圆上，

所以，可得：，故椭圆的方程为．

（2）①当直线斜率不存在时，直线的方程为或．

若，则，，则，，．

若，则，，则，，．

②当直线斜率存在时，设直线，，，，，

直线与椭圆联立，得，

由直线与椭圆相切，则△，化简得：．

直线与圆联立：，得：，

，，，而，的斜率分别为，，

所以，

将式代入：，

将代入：．

综上：为定值，该定值为．

21．（12分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若恒成立，求的值．

【解析】：（1）函数的定义域为：，，，

，

设，

则，

当时，，故为增函数，

当时，，故为减函数，

故函数有最大值（1），，

故恒成立，

的单调递减区间为：，，无单调递增区间；

（2）有已知有：不等式对，，，成立，

即恒成立，

设，，

当时，需；当时，需，

对函数求导，，

，其中（1），

当时，，

若，则，为减函数，则（1），为增函数，则（1），

若，则，为增函数，则（1），为增函数，则（1），

符合条件，

当时，由，得，且，设，

当时，，为增函数，（1），为减函数，则（1），不符合条件，

当时，由，，且，

当时，，为减函数，（1），为减函数，则（1），不符合条件，

综上所述．

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；

（2）设直线与曲线交于，两点，点是曲线上的一动点，求面积的最大值．

【解析】：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为；

直线的极坐标方程为，由转换为直角坐标方程为；

（2）曲线的直角坐标方程为；

圆心到直线的距离，

弦长，

圆心到直线的距离为，

所以圆上的点到直线的距离的最大值为，

所以．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数．

（1）画出函数的图象；

（2）设函数的最小值为，正实数，，满足，证明：．

【解答】（1）解：．（2分）

（注：图象每正确一段给1分）

（2）证明：由（1）知：的最小值为，，（6分）

．

，，（7分）

，，，当且仅当时取等号．（8分）

．

．（10分）