2020年天津市南开区学业水平考试（6月份）数学试题含解析

2020年天津市南开区学业水平考试（6月份）数学试题

一、单选题

1．设全集I＝{0，1，2，3}，∁IM＝{0，2}，则M＝（    ）

A．{3} B．{1，3} C．{2，3} D．∅

【答案】B

【解析】根据补集的概念，可得集合M

【详解】

由题可知：全集I＝{0，1，2，3}，∁IM＝{0，2}

所以M={1，3}

故选：B

【点睛】

本题考查补集的运算，属基础题.

2．函数，的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用三角函数的周期公式即可得到答案.

【详解】

函数，.

故选：D

【点睛】

本题主要考查三角函数的最小正周期，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

3．函数f（x）＝ln（﹣x）的定义域是（    ）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）

【答案】B

【解析】根据对数的真数部分大于0，简单计算可得结果.

【详解】

由题可知：

所以函数的定义域为

故选：B

【点睛】

本题考查对数型函数的定义域的求法，考查计算，属基础题.

4．已知，，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用向量的坐标运算即可得到答案.

【详解】

.

故选：D

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算，属于简单题.

5．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A． B．  C．  D．

【答案】D

【解析】直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解.

【详解】

解：对于A选项，的定义域为，为非奇非偶函数，故A错误；

对于B选项，为偶函数，在为减函数，不满足条件．故B错误；

对于C选项，为非奇非偶函数，故C错误；

对于D选项，满足 ，为偶函数，且当时，单调递增．故D正确.

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.

6．过点且垂直于直线的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题，可先得到所求直线的斜率，然后利用点斜式，即可得到本题答案.

【详解】

因为所求直线垂直于直线，又直线的斜率为，

所以所求直线的斜率，

所以直线方程为，即.

故选：A

【点睛】

本题主要考查直线方程的求法，属基础题.

7．体积为a3的正方体外接球的表面积为（    ）

A．πa2 B．2πa2 C．3πa2 D．4πa2

【答案】C

【解析】根据正方体的体积可知正方体的边长为，然后可知该正方体的外接球的半径，最后根据球的表面积的公式可得结果.

【详解】

由题可知：正方体的体积为，所以正方体的边长为

则可知该正方体的外接球的半径为

所以该正方体的外接球的表面积为

故选：C

【点睛】

本题考查正方体的外接球的表面积，掌握正方体的外接球的半径为，属基础题.

8．已知向量=（1，2），=（–2，m），若∥，则m=

A．–1 B．–4 C．4 D．1

【答案】B

【解析】【详解】

∵∥，∴1•m–（–2）×2=0，∴m=–4．故选B．

9．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则这个数在区间的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据几何概型的长度型直接计算可得结果.

【详解】

由题可知：所求概率为

故选：D

【点睛】

本题考查几何概型的长度型，属基础题.

10．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用向量的线性运算可得的表示形式.

【详解】

，

故选：A．

【点睛】

本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.

11．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.

本题选择D选项.

12．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据指数函数，幂函数，和对数的单调性，即可得出结论.

【详解】

，

.

故选:.

【点睛】

本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题.

13．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率满足：第一小组与第三小组的频率和是第二小组频率的2倍，第二小组的频数为15，则抽取的学生人数为（    ）

A．30 B．45 C．60 D．120

【答案】C

【解析】首先设第二小组的频率为，根据题意得到，从而得到，再求抽取的学生人数即可.

【详解】

设第二小组的频率为 ，由题知：

，解得.

所以抽取的学生人数为.

故选：C

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，考查学生分析问题的能力，属于简单题.

14．在中，,则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

解：因为由正弦定理，所以

又ｃ＜ａ

所以，

所以

15．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：

且回归方程是=0.95x+ ，则当x=6时，y的预测值为（ ）

A．8.0 B．8.1 C．8.2 D．8.3

【答案】D

【解析】【详解】

解：因为根据数据可知x,y的均值分别是2,4.5,因此可知

=4.5-0.952=2.6,将x=6代入表达式得到y的预测值为8.3，选D

二、填空题

16．先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是_____．

【答案】；

【解析】首先列出先后抛掷三枚均匀的硬币的全部基本事件，找到至少出现一次正面的基本事件，再利用古典概型公式计算即可.

【详解】

先后抛掷三枚均匀的硬币，共有：正正正，正正反，正反正，正反反，

反正正，反正反，反反正，反反反，基本事件.

至少出现一次正面共有：正正正，正正反，正反正，正反反，

反正正，反正反，反反正，基本事件.

故至少出现一次正面的概率是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查古典概型，用列举法把全部基本事件列举出来为解题的关键，属于简单题.

17． _____．

【答案】

【解析】利用即可得到答案.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.

18．在中，已知，则BC的长为__________．

【答案】

【解析】根据条件，结合余弦定理即可求解.

【详解】

在中，已知，

则由余弦定理可得

，

故答案为：

【点睛】

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

19．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于的不等式，解不等式即可得答案.

【详解】

∵与的夹角为锐角，

∴，解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量夹角的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况去掉，才不会出现错解.

20．函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_________．

【答案】

【解析】先判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果.

【详解】

因为函数是单调递增函数，

且函数的一个零点在区间内，

所以，，

解得,

实数的取值范围是,故答案为.

【点睛】

本题主要考查对数函数的单调性、零点存在定理，意在考查对基本定理的理解与应用，属于简单题.

三、解答题

21．已知，．

（1）求，的值；

（2）求的值．

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）首先利用同角三角函数关系求出，从而得到，再利用正弦二倍角公式计算即可.

（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案.

【详解】

（1）因为，，所以，

所以，.

（2）.

【点睛】

本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题.

22．已知点在圆C：上．

（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；

（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．

【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）弦长

【解析】（Ⅰ）将点代入圆方程可得，然后将圆方程转化为标准方程形式可得结果.

（Ⅱ）根据点斜式可得直线方程，然后计算圆心到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.

【详解】

（Ⅰ）由题可知：

所以圆的标准方程为

所以圆心，半径

（Ⅱ）直线的方程为，即

则圆心到直线的距离为

所以弦长

【点睛】

本题考查圆的方程以及圆的弦长公式，掌握公式，特别识记圆的弦长公式，便于计算，属基础题.

23．如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，

（Ⅰ）求证：平面BEG∥平面ACH；

（Ⅱ）求证：DF⊥平面BEG．

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）证明见详解.

【解析】（Ⅰ）根据正方体的特点可知//，可知//平面，同理可得//平面，然后根据面面平行的判定定理可得结果.

（Ⅱ）连接，根据平面，可知，同理可得，最后根据线面垂直的判定定理，可得结果.

【详解】

（Ⅰ）在正方体ABCD﹣EFGH中，//且

所以四边形为平行四边形，则//

又平面，平面，所以//平面

同理可得//平面，又平面

所以平面//平面

（Ⅱ）连接，如图

由四边形为正方形，所以

又平面，且平面

所以，

又，平面

所以平面，由平面

所以

同理可得，

又，平面

所以平面

【点睛】

本题考查面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，熟练掌握线线、线面、面面之间的位置关系以及相关定理，属中档题.

24．已知函数．

（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间的最小值；

（Ⅲ）关于x的方程f（x）＝2a2有解，求实数a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）把代入式子，计算二次函数的对称轴，简单判断可得结果.

（Ⅱ）按，，进行分类讨论，判断函数在区间的单调性，然后进行计算，可得结果.

（Ⅲ）依题意化简可得有解，利用，简单计算可得结果.

【详解】

（Ⅰ）由题可知：，对称轴为，开口向上

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（Ⅱ）由题可知：

，，对称轴为，开口向上

当时，

函数在单调递增，所以

当时，函数在单调递减，在单调递增

所以

当时，

函数在单调递减，所以

则函数在区间的最小值为

（Ⅲ）由，则

由关于的方程有解，则有解

所以或

则

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，考查了经典的动轴定区间的问题，牢牢掌握动轴定区间、定轴动区间、动轴动区间三种模型以及分类讨论思想的使用，属中档题.