2022-2023学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）开学数学试卷（Word解析版）

2022-2023学年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列结论中，正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，则，
C. 若，，则 D. 若，则

3. 下列函数中，变量是的反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定∽的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 太阳发出的光照在物体上是，路灯发出的光照在物体上是(    )

A. 平行投影，中心投影 B. 中心投影，平行投影
C. 平行投影，平行投影 D. 中心投影，中心投影

7. 已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是(    )

A.  B. 且
C. 且 D.

8. 若关于的不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，点、、分别在边，，上，且，下列结论：四边形是平行四边形；如果，那么四边形是矩形；如果平分，那么四边形是菱形；如果，平分，那么四边形是正方形你认为正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接在下列结论中：
    ；≌；；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 因式分解______．
12. 若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为______．
13. 已知：、是方程的两根，则______．
14. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，，垂足为，，，，则的长为______．
15. 若，则 ______ ．
16. 如图，中，，，，，点是线段上的动点，连接，并将线段绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

17. 用适当的方法解下列方程．
    ；
    ．

四、解答题（本大题共6小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    计算：
    解一元一次不等式组：；
    解方程：．
    先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
    如图，中，，，求作一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法

20. 本小题分
    从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为，，，．
    将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是的概率为______；
    将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
21. 本小题分
    如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求的长度．

22. 本小题分
    金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为元的台灯，当每个台灯的售价定为元时，每周可卖出个，经市场调查发现，该台灯的售价每降低元．其每周的销量可增加个．
    台灯单价每降低元，平均每周的销售量为______个．
    如果该经销商每周要获得利润元，那么这种台灯的售价应降价多少元？
    在的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
23. 本小题分
    如图，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到易证：≌，从而得．
    【实践探究】
    在图条件下，若，，则正方形的边长是______．
    如图，点、分别在边、上，且点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
    【拓展应用】
    如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
选项，也可能是，，故该选项不符合题意；
选项，若，，则，故该选项符合题意；
选项，当时不成立，故该选项不符合题意；
故选：．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
根据不等式的基本性质判断，选项；根据有理数的乘法法则判断，选项．
 

3.【答案】 

【解析】解：、为正比例函数，故此选项不符合题意；
B、与成反比例，故此选项不符合题意；
C、符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
D、不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的一般形式即可判断．
本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A不合题意；
B.，故选项B不合题意；
C.，故选项C不合题意；
D.，故选项D符合题意．
故选：．
利用整式乘法和因式分解的关系，逐个计算得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握整式乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
选项A，根据两角对应相等判定∽，
选项D根据两边成比例夹角相等判定∽，
选项B中不是夹这个角的两边，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
 

6.【答案】 

【解析】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选：．
根据平行投影与中心投影的定义判断即可．
本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
去分母得：
，
去括号得：
，
移项，合并同类项得：
，
，
，
，
又分式方程有可能产生增根，
，
．
综上，的取值范围是且．
故选：．
先将分式方程化简，再求解，最后根据解为负数求得的取值范围．
本题考查分式方程的求解，将分式方程化简后再求解并且考虑方程有可能产生增根是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得：，
解不等式，得：，
不等式组无解，
，
解得，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集情况得出关于的不等式，解之即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可．
【解答】
解：，，
四边形是平行四边形，故正确；
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故正确；
平分，
，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形，故正确；
若平分，则平行四边形是菱形，
若，则平行四边形是正方形，故正确．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：过作于点，过作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，故正确；
矩形为正方形；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
根据得，，
，
，故正确；
当时，点与点重合，
不一定等于，故错误，
综上所述：正确．
故选：．
过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故正确；
利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，推出≌，故正确；
根据的结论可得，所以，故正确；
当时，点与点重合，得到不一定等于，故错误．
本题属于中考选择题的压轴题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设反比例函数解析式为，
根据题意得，
解得．
故答案为．
设反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以




．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
首先由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求出的长度．
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出是直角三角形是解此题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，
，，，
，
，
或，
当时，，
当时，，
所以，或．
故答案为：或．
用表示出，，，然后相加求解即可．
本题考查了比例的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键，易错点在于忽视的情况．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，在上截取，连接，，

将线段绕点逆时针旋转至，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
则当时，有最小值，即有最小值，
此时，，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由面积法可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，，，
，
，
方程的解为． 

【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
移项后提取公因式，转化为两个一元一次方程，解之可得；
利用求根公式列式计算可得．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
所以原方程的根是；


，
当时，原式． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，分式的化简求值，熟知运算法则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：如图，四边形即为所求作．
 

【解析】过点作于，在的延长线上截取，使得，连接，，四边形即为所求作．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】 

【解析】解：将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是的概率为，
故答案为：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有种，
抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，
，
，
，
在中，，
在中，． 

【解析】根据菱形的性质得到且，由等式性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
由菱形的性质得，由勾股定理求出，．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识；正确地识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：

个，
台灯单价每降低元，平均每周的销售量为个．
故答案为：．
设这种台灯的售价应降价元，则每个的销售利润为元，平均每周的销售量为个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：这种台灯的售价应降价元或元．
尽可能让利于顾客，赢得市场，
舍去，
每个台灯应降价元，售价为元，折扣率为．
答：该店应按原售价的九折出售．
利用平均每周的销售量，即可求出结论；
设这种台灯的售价应降价元，则每个的销售利润为元，平均每周的销售量为个，根据该经销商每周要获得利润元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
由尽可能让利于顾客，赢得市场，可得出每个台灯应降价元，再利用折扣率，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
由旋转得：≌，
，，，，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
．
在中，，
则，
设正方形的边长为，则，，
，
解得：，
即正方形的边长是；
故答案为：；

，
理由如下：如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，

，，，，
，
，
，
又，，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
；

如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，

则四边形是正方形，
，
设，则，
，
∽，
，
，
，
由得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长是．
由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证≌，得出证出在中，由勾股定理得出，则，设正方形的边长为，则，，得出方程，解方程即可；
将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解；
延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出∽，求出，得出，由得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．