2021-2022学年广西南宁市兴宁区天桃实验中学八年级（下）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年广西南宁市兴宁区天桃实验中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至年月日，累计确诊人数超过例，抗击疫情成为全人类共同的战役．确诊病例“”用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各图象中不表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 以下列各组数为边长能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，则两人射击成绩波动情况是(    )

A. 甲波动大 B. 乙波动大
C. 甲、乙波动一样大 D. 无法比较

6. 下列关于特殊平行四边形的判定说法中，正确的是(    )

A. 四个内角相等的四边形为矩形
B. 四条边都相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的四边形为矩形
D. 有一条对角线所在直线恰好是对称轴的四边形为菱形

7. 如图，矩形中，对角线，交于点若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 关于一次函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象过点 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 随的增大而增大 D. 当时，

9. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离单位：与慢车行驶时间单位：的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 若二次根式有意义，则自变量的取值范围是______．
14. 小颖同学参加学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为分、分、分，若这三项依次按照，，的百分比确定成绩，则她的成绩为______．
15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则          ．
16. 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为______．

17. 如图，在中，，是边上的高，、分别是、边的中点，若，，则的周长为______．

18. 如图，在矩形中，线段在边上，以为边在矩形内部作正方形，连结，若，，，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

19. 计算：；

四、解答题（本大题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 解方程：．
21. 如图，为▱的对角线．
    作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
    连接，，求证：四边形为菱形．

22. 北京冬奥会开幕式以节气为倒计时，充分展现了我国传统文化的博大精深．
    某中学在八、九年级共名学生中开展“中国节气”知识竞赛，并从八、九年级学生中各抽取名学生统计他们的竞赛成绩竞赛成绩为整数，满分分，分及以上为合格，相关数据统计、整理如下：
    
    九年级抽取的学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    八，九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，______；
若该校八年级人，九年级人，估计这名学生中成绩达分及以上的总人数；
根据以上数据分析，从一个方面评价哪个年级学生的本次知识竞赛成绩更优异．

23. 【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
    【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，图、图、图是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理图中出现的直角三角形大小形状均相同．
    【探索发现】如图，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断、、的数量关系并说明理由．
     

24. 为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶、两贫困村的计划，现决定从某地运送箱鱼苗到、两村养殖，若用大小货车共辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为箱辆和箱辆，其运往、两村的运费如表：

求这辆车中大小货车各多少辆？
现安排其中辆货车前往村，其余货车前往村，设前往村的大货车为辆，前往、两村总费用为元，试求出与的函数解析式．
在的条件下，若运往村的鱼苗不少于箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．

25. 如图，正方形的边长为动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动；动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，两点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点随之也停止运动．过点作交于点设运动时间为单位：秒以为一直角边向右作等腰直角三角形，与正方形重叠部分图形的面积为．
    当时，______．
    当时，求的值．
    设，在图的坐标系中，画出与的函数图象．
    当四边形是平行四边形时，求的值．
     

26. 方法回顾
    在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
    第一步添加辅助线：如图，在中，延长、分别是、的中点到点，使得，连接；
    第二步证明≌，再证四边形是平行四边形，从而得到中位线与的关系是______ ；直接填写结果
    问题解决
    如图，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
    拓展研究
    如图，在四边形中，，，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据图象知给自变量一个值，有且只有个函数值与其对应，故A选项是函数，
B.根据图象知给自变量一个值，有且只有个函数值与其对应，故B选项是函数，
C.根据图象知给自变量一个值，有且只有个函数值与其对应，故C选项是函数，
D.根据图象知给自变量一个值，都有个函数值与其对应，故D选项不是函数，
故选：．
依据函数的定义，取一个值，有唯一值对应，可直接得出答案．
此题主要考查了函数概念，任意画一条与轴垂直的直线，始终与函数图象有一个交点，那么是的函数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：．不能合并为一项，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：每人次射击成绩的平均数都是环，，，
，
乙波动大，
故选：．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、四个内角相等的四边形为矩形，故原命题符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形为矩形，故原命题不符合题意；
D、有一条对角线所在直线恰好是对称轴的四边形不一定为菱形，

如图，四边形关于对角线为对称，但四边形不是菱形，
故原命题不符合题意；
故选：．
根据特殊四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可得到结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定，熟练掌握矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：．
先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、当时，，
图象经过点，故本选项错误；
B、，，
图象经过第一、二、四象限，故本选项错误；
C、，
随的增大而减小，故本选项错误；
D、随的增大而减小，当时，，
当时，，故本选项正确．
故选：．
根据一次函数的性质以及图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数，当，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为：
底面圆周长为，
，
又，
在中，，
蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：．
先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：由折叠性质知：，    ， 
四边形是矩形，
，，  ，
在与中，
≌，
与面积相等，
设，则，
，
，
解得，
的面积．
故选：．
≌，≌，得与面积相等，设，列出关于的关系式，解得的值即可解题．
本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中正确计算的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，慢车的速度为．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是，
因此单程所花时间为，故其速度为．
所以对于慢车，与的函数表达式为．
对于快车，与的函数表达式为
联立，可解得交点横坐标为，
联立，可解得交点横坐标为，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是，
故选：．
根据图象得出，慢车的速度为，快车的速度为从而得出快车和慢车对应的与的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出与的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】分 

【解析】解：根据题意，她的成绩为分，
故答案为：分．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的额关键是掌握加权平均数的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式等于零求解即可．
本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线和直线的交点坐标为，
当时，．
故答案为：．
写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得：，
，
，
、分别是、边的中点，，，，
，，，
的周长，
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出和，根据三角形的中位线性质求出，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，延长至，使，连接，，

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
则的最小值即为的最小值，
四边形是正方形，
，
，
，
在中，，
，
．
则的最小值为．
故答案为：．
延长至，使，连接，，可得四边形是平行四边形，所以，则的最小值即为的最小值，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】根据立方，绝对值，二次根式的乘法计算法则计算即可．
本题考查实数的混合运算，解题关键是熟知立方，绝对值的定义以及二次根式的乘法计算法则．
 

20.【答案】解：原方程可化为：，
或；
解得：，． 

【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

证明：垂直平分，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线即可；
先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明≌得到，则，然后根据菱形的判定方法得到结论．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作已知线段的垂直平分线也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
 

22.【答案】     

【解析】解：由图表可得：，，，
故答案为：，，；
这名学生中成绩达分及以上的总人数约为：人，
八年级的合格率低于九年级的合格率，
九年级学生的本次知识竞赛成绩更优异．
根据中位数和众数的定义判断即可；
利用样本估计总体思想求解即可；
从合格率角度可得九年级学生的本次知识竞赛成绩更优异．
本题主要考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握各个概念和计算方法是解题的关键．
 

23.【答案】【实践操作】证明：在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
整理得：；
在图中，连接，
则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
整理得：；
在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
整理得：；
在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
整理得：；
【探索发现】，理由如下：
设所在的等边三角形为，
如图，过点作于，
则，，
，
，
，
同理：，，
，
，
． 

【解析】【实践操作】在图中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得在图中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：．
【探索发现】由等边三角形的性质、三角形面积公式以及勾股定理即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了勾股定理的证明、三角形面积公式、正方形面积公式、梯形面积公式、等边三角形的性质以及勾股定理的应用等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理的证明和应用是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设大货车用辆，小货车用辆，根据题意得：
，
解得：．
大货车用辆，小货车用辆．
，且为整数．
由题意得：，
解得：，
又，
且为整数，
，
，随的增大而增大，
当时，最小，
最小值为元．
答：使总运费最少的调配方案是：辆大货车、辆小货车前往村；辆大货车、辆小货车前往村．最少运费为元． 

【解析】设大货车用辆，小货车用辆，根据大、小两种货车共辆，运输箱鱼苗，列方程组求解；
设前往村的大货车为辆，则前往村的大货车为辆，前往村的小货车为辆，前往村的小货车为辆，根据表格所给运费，求出与的函数关系式；
结合已知条件，求的取值范围，由的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往村的大货车数的关系．
 

25.【答案】解：；
当时，如图，

由知，
，
、，
、，
，
则重叠部分面积；
由题意知点的运动路程为，
如图，点从到时，即，，即；
如图，点从点返回点时，即，，即；
与的函数图象如图所示：

，
，即，
若四边形是平行四边形，则，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上，当或时，四边形是平行四边形． 

【解析】

解：四边形是边长为的正方形，
、，
是等腰直角三角形，
、、，
则，
当时，如图，

重叠部分面积，
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．
【分析】
根据正方形和等腰三角形的性质得出，时，重叠部分面积，据此可得；
由知，根据得、，由重叠部分面积可得答案；
分点从到和点从点返回点两种情况，分别求解得出解析式，继而画出函数图象即可；
由知，若四边形是平行四边形，则，据此根据的解析式分别求解可得．
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形和等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定及分类讨论思想的运用．  

26.【答案】；

解：延长交的延长线于点，则：
，，
点是的中点，
，
≌，
，，
又，
．










解：延长至点，使得，连接，，过点作，交的延长线于点，
同理可证，≌，
，，
，
，
，得为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
．

【解析】解：点和点分别是和的中点，
，，
，，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
见答案．

利用证明≌，得到，再得▱，最后得到与的关系；
过延长交的延长线于点，得到三角形全等，求出的长度；
药厂至点，使得，得三角形全等，和特殊的直角三角形，再求．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定．本题主要要求同学们掌握常见辅助线作法“倍长中线法”的解题技巧．