2021-2022学年福建省漳州市八年级（下）期末数学试卷（北师大版B卷）(解析版)

2021-2022学年福建省漳州市八年级（下）期末数学试卷（北师大版B卷）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各式中，是分式的为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若实数满足，则可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了，间的距离：先在外选一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长为米，由此他就知道，间的距离是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 下面式子从左边到右边的变形中，是因式分解的为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，点在正五边形的内部，为等边三角形，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7. 若关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，对角线与相交于点，则下列结论一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 北京年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图是中国体育代表团的引导牌．观察发现，图中的图案可以由图中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图和图的说法中，不正确的是(    )

A. 图中的图案是轴对称图形
B. 图中的图案是中心对称图形
C. 图中的图案绕某个固定点旋转，可以与自身重合
D. 将图中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转，可以设计出图中的图案

10. 已知函数，为常数，当时，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若分式的值为则______．
12. 若，，则______．
13. 已知一次函数的图象如图，则关于的不等式的解集是______．

14. 如图，在中，，，，边的垂直平分线分别与、相交于点、，则的周长为______．

15. 如图，网格中每个小正方形的边长均为个单位长度，点，都在格点上．线段绕着某一定点顺时针旋转一个角度后，得到线段点，分别是，的对应点，则的大小是______．

16. 在四边形中，现给出下列结论：
    若四边形是平行四边形，则；
    若，，则四边形是平行四边形；
    若，，则四边形是平行四边形；
    若四边形是平行四边形，则平行四边形的面积最大值是．
    其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    因式分解：．
18. 本小题分
    解不等式：．
19. 本小题分
    用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点那么射线就是的平分线，请你证明这一结论．
     

20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
    如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的网格中，有一个平面直角坐标系，且，，．
    请你在网格中先画出平面直角坐标系后，把平移到，点，，的对应点分别为，，，若，请再画出；
    在所画的图形中，若点在轴上，且，求点的坐标．

22. 本小题分
    “戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯．某校为做好校园防护工作，计划采购一批，两种型号的口罩．已知用元购买型口罩与用元购买型口罩的数量相等，且型口罩每个比型口罩多元．
    求，两种型号的口罩每个各多少元？
    计划购买，两种型号的口罩共个，其中型口罩的数量不超过型口罩数量的，求购买型口罩多少个时，购买这批口罩总费用最低，最低费用是多少元？
23. 本小题分
    求证：在直角三角形中，若一个锐角等于，则它所对的直角边等于斜边的一半．
    要求：根据给出的线段及，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
    根据中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．

24. 本小题分
    如图，在中，，为的平分线，将绕点逆时针旋转得到，，垂足为，与交于点．
    求证：；
    求的度数；
    求证：．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线平行于轴且经过，，三点．直线的关系式为．
    若是以为底的等腰三角形，当直线过点时，求的值；
    当，且直线与平行四边形的边相交时，求点的横坐标的取值范围；
    若点为平行四边形的对角线与的交点，当直线与线段有交点时，求点的横坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是整式，故A不符合题意；
B、是分式，故B符合题意；
C、是整式，故C不符合题意；
D、是整式，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的定义，即可解答．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
则可以是．
故选：．
求出不等式的解集，即可作出判断．
此题考查了解一元一次不等式，以及不等式的解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：．
故选：．
由，分别是边，的中点，首先判定是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得的长即可．
本题考查了三角形中位线定理的运用；熟记三角形中位线定理是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式组中两个不等式的解集，在数轴上表示正确的是：

故选：．
根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
在正五边形中，，
，
故选：．
根据等边三角形的性质得到，由正五边形的性质得到，根据角的和差求解即可．
本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
方程有增根，
，
，
，
故选：．
求出分式方程的根为，再由方程的增根为，可得方程，即可求出的值．
本题考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
四边形为平行四边形，
，
故选：．
由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，可得到．
本题考查了平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：图是中心对称图形，也是轴对称图形，图绕对称中心性质可以与自身重合，故选项A，，C正确，
将图中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转，可以设计出图中的图案，故D错误，
故选D．
根据中心对称图形，轴对称图形的定义一一判断即可．
本题考查作图利用旋转设计图案，中心对称图形，轴对称图形的定义等知识，解题的关键是理解题意中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，则，可得，
当时，，
，
解得，
故选：．
根据题意和不等式的性质，可以得到的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数的性质和解不等式的方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
，
解得．
故答案为：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出的值是多少即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
首先提取公因式，进而将已知代入求出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在轴上方，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
观察函数图象，找出一次函数图象在轴上方时的的取值范围，此题得解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
垂直平分，
，
，
的周长为：，
故答案为：．
根据勾股定理可以求得的长，然后根据垂直平分线的性质可以得到，即可求得的周长．
本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是求出的长．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接和，作和的垂直平分线交于点，则点是旋转中心，

，
故答案为：．
先找到旋转中心，即可求解．
本题考查了旋转的性质，找到旋转中心是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：若四边形是平行四边形，则、互相平分，故错误；
若，，则四边形是平行四边形；故正确；
若，，则四边形不一定是平行四边形，故错误；
若四边形是平行四边形，则当是平行四边形的面积最大，最大值是，故正确．
故答案为：．
根据平行四边形的性质定理、平行四边形的判定定理解答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】先提取公因式，在应用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
本题主要考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握提公因式法与公式法的综合应用进行因式分解是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得． 

【解析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次不等式的应用，能正确运用不等式的基本性质进行计算是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：，
在和中，
，
≌，
，
射线就是的平分线． 

【解析】证明≌，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，作图复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算减法，然后算除法即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

21.【答案】解：建立平面直角坐标系和如图所示；

由平移得，，，
设，
，
解得或，
，或． 

【解析】根据点的坐标即可确定原点的位置，从而解决问题；
设，利用面积公式列出方程即可．
本题主要考查了作图平移变换，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，确定坐标系是解题的关键．
 

22.【答案】解：设种口罩每个元，
依题意，得，
解得：．
经检验得，是原方程的根，
种口罩每个：元，
答：种口罩每个元，种口罩每个元．
设购买个种口罩，购买这批口罩总费用元，
依题意，得，
解得．
，
．
，
．
，
当时，随的增大而减小．
当时，费用最低，此时最低费用为元．
答：购买个种口罩，购买这批口罩总费用最低，最低费用元． 

【解析】设型口罩每个元，则型口罩每个元，由题意：用元购买型口罩与用元购买型口罩的数量相等，列出分式方程，然后解方程即可；
设购买型口罩个，则购买型口罩个，由题意：购进型口罩的数量不超过型口罩数量的一，列出一元次不等式，解之即可确定出的取值范围，设购买费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】解：如图，线段即为所求．

已知：如图，是直角三角形，，．
求证：．
证法一：如图，在上截取一点，使得，连接．

，，
．
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
证法二：如图，延长至点，使，连接．

，，
，，
，
．
，
是等边三角形．
．
，
． 

【解析】利用尺规，按照作一个角等于已知角的步骤作图即可．
根据题意可写出已知、求证．证法一：在上截取一点，使得，连接由已知条件可得，即可得是等边三角形，则，，，可得，则，即；证法二：延长至点，使，连接由已知条件可得，，则，进而可得是等边三角形，则即可得．
本题考查尺规作图、含角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握基础知识是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：将绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图：过点作，交于，

，
，
，
由知，，
≌，
，
，
，
；
证明：如图：连接，

由得≌，
，
，为的平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
． 

【解析】根据将绕点逆时针旋转得到及垂直的定义，即可证得结论；
过点作，交于点，可证得，再由知，，可证得≌，进而证得，据此即可求得的度数；
连接，由≌，可得，由等腰三角形的性质，可得，，，，可求得，，再由平行线的判定，可证得，即可证得四边形为平行四边形，，据此即可证得．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质的综合运用，作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：，，，
，
将，代入直线，
得，
；
四边形为平行四边形，
，
，
，
直线与边有交点，
当直线过点时，，
解得，
当直线过点时，，
解得，
点的横坐标的取值范围为；
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
直线与有交点，
当直线过点时，，
解的，
，
，
当直线过点时，，
解得，
，
，
点的横坐标的取值范围为：． 

【解析】根据等腰三角形的性质及点和点的坐标得出点的坐标，然后将点坐标代入直线的解析式求出值即可；
根据平行四边形的性质得出的长度，根据点和点的坐标求出的取值范围即可；
根据平行四边形的性质得出点的坐标，再根据直线与线段有交点求出的取值范围即可．
本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．