2022-2023学年湖南省长沙一中岳麓中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙一中岳麓中学九年级（上）入学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，平行四边形中，对角线，相交于点，下列条件：；；，其中能判定平行四边形是菱形的条件有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 关于一次函数，下列说法不正确的是(    )

A. 图象经过点 B. 图象与轴交于点
C. 图象不经过第二象限 D. 函数值随的增大而增大

4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移个单位长度，使其与直线的交点位于第二象限，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一组数据，，，，对该组数据描述正确的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是

6. 小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考(    )

A. 众数 B. 平均数 C. 加权平均数 D. 中位数

7. 一元二次方程配方后变形为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是
C. 顶点坐标是 D. 最大值是

10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论中：；；抛物线与轴的另一个交点的坐标为；方程有两个不相等的实数根．其中正确的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 东方红学校规定：学生的学期体育成绩满分为分，其中早锻炼及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占小聪的三项成绩依次是分，分，分，则小聪这学期的体育成绩是______分．
13. 在平面直角坐标系中，已知，，，若以点、、、为顶点四边形是平行四边形，则点的坐标为______．
14. 如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于的不等式的解集为______．

15. 关于的方程是已知数有以下三个结论：当时，方程只有一个实数解；当时，方程有两个不相等的实数解：当是任意实数时，方程总有负数解，其中正确的是______填序号．
16. 已知二次函数为常数当时，的最小值是，则的值为______

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    用适当的方法解下列方程
    ；
    ．
19. 本小题分
    已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且是的中点．
    求证：≌；
    求证：四边形是平行四边形．

20. 本小题分
    某实验基地为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取株麦苗，测得苗高如下单位：：

将数据整理，并通过计算后把如表填全：

______，______，______；
若实验基地有甲种小麦株，请你估计甲种小麦苗高不低于的株数；
请你选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．

21. 本小题分
    如图，直线经过点，．
    求直线的解析式；
    已知直线：，求直线与直线及轴围成的的面积．

22. 本小题分
    年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年月份销售包，、月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，月份的销售量达到包．
    若设、这两个月销售量的月平均增长率为，求的值；
    若农产品礼包每包进价元，原售价为每包元，该村在今年月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价元，销售量可增加袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在月份可获利元？
23. 本小题分
    如图，将矩形折叠使，重合，折痕交于，交于，连接，，．
    求证：四边形为菱形；
    若，，
    求菱形的边长；
    求折痕的长．

24. 本小题分
    有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
    小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
    下面是小丽的探究过程，请补充完整：
    函数的自变量的取值范围是______；
    如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；对于上面的函数，下列四个结论：
    函数图象关于轴对称；
    函数既有最大值，也有最小值；
    当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
    函数图象与轴有个公共点．
    所有正确结论的序号是______．
    结合函数图象，解决问题：
    若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是______；
    若关于的方程至少有个不相等的实数根，则的取值范围是______．

25. 本小题分
    我们约定为二次函数的“相关数”．
    特例感知
    “相关数”为的二次函数的解析式为；
    “相关数”为的二次函数的解析式为；
    “相关数”为的二次函数的解析式为；
    下列结论正确的是______填序号．
    抛物线，，都经过点；
    抛物线，，与直线都有两个交点；
    抛物线，，有两个交点．
    形成概念
    把满足“相关数”为为正整数的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，，抛物线与轴的交点为，．
    探究问题
    “一簇抛物线”，，，，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为______．
    抛物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
    当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上．判断和是否相等，并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
若时，则，
，
，
四边形是菱形；正确；
若，则，
四边形是矩形；不正确；
若，则，
，
四边形是菱形；正确；
故选：．
由平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的判定方法，属于中考常考题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
同理可得，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
；
故选：．
先证明四边形是菱形，得出，，，由勾股定理求出，即可得出的长．
本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，
一次函数的图象过点，选项A正确，不符合题意；
B.当时，，解得：，
一次函数的图象与轴交于点，选项B不正确，符合题意；
C.，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项C正确，不符合题意；
D.，
随的增大而增大，故选项D正确，不符合题意．
故选：．
根据一次函数的性质一一判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将直线的图象向上平移个单位可得：
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：．
将直线的图象向上平移个单位可得：，求出直线，与直线的交点，再由此点在第二象限可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于、纵坐标大于．
 

5.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，
所以这组数据的众数为，故选项C不合题意；
中位数为，故选项B不合题意；
平均数为，故选项A符合题意；
方差为，，故选项D不合题意；
故选：．
将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．
本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应重点参考众数．
故选A．
在决定在这个月的进货中多进某种型号服装，应考虑各种型号的服装销售数量，选销售量最大的，即参考众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
方程常数项移到右边，两边加上变形即可得到结果．
本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，
，，
．
故选：．
欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

9.【答案】 

【解析】解：由得，开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意；
顶点坐标为，故选项C正确，符合题意；
最小值为，故选项D错误，不符合题意．
故选：．
直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：开口向上与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，，，
，错误，不符合题意；
图象与轴有个交点，依据根的判别式可知，正确，符合题意；
对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点的坐标为，正确，符合题意；
由图象可知，抛物线与直线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，正确，符合题意；
故选：．
根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
故答案为：且．
根据二次根式，以及分母不为可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，以及分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：小聪这学期的体育成绩是；分．
故答案为：．
根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键．
 

13.【答案】或或 

【解析】解：分三种情况：为对角线时，点的坐标为
为对角线时，点的坐标为，
为对角线时，点的坐标为
综上所述，点的坐标可能是或或
故答案为：或或．
分三种情况：为对角线时，为对角线时，为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：设，，
则即为，
直线与抛物线交点为
结合函数图象可知，，
或，
故答案为或．
将不等式的解集问题转化为直线与抛物线函数图象上点的特点求解即可．
本题考查二次函数与不等式；将所求不等式问题转为函数图象，利用函数图象上点的特点求解不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，原方程化为，解得：，所以方程只有一个实数解，故正确；
当时，原方程为一元二次方程，，方程有两个不相等的实数解或两个相等的实数解，所以错误；
当时，方程的解为：，当时，，方程的解为：，，即方程总有负数解，故正确．
故答案为：．
根据一元一次方程的解、一元二次方程根的判别式逐个判断．
本题考查了根的判别式、方程的解，熟练运用根的判别式进行分析是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的数学方法可以求得的值．
【解答】
解：，当时，的最小值是，
当时，取得最小值，则，解得，舍去，
当时，取得最小值，则，解得，负值舍去，
当时，取得最小值，则，解得，，
故答案为：或．  

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
或，
，；
，


，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】证明：
，，
是的中点，
，
在和中，

≌，
由知≌，
．
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：将数据整理如下，

所以

故答案为：、、；
株，
答：估计甲种小麦苗高不低于的有株；
因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，
故甲种小麦长势较好．
中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；
总数量乘以样本中小麦苗高不低于的株数所占比例；
方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．
此题主要查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

21.【答案】解：直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
如图，直线：与直线相交于点，
由，
 解得，
，
直线和直线分别交轴于点，，
易求得，，
直线与直线及轴围成的的面积为：
． 

【解析】根据待定系数法，将，代入一次函数解析式即可求解；
求出、、三点的坐标，用面积面积公式即可表示．
本题考查了一次函数及其应用，解函数类题目注意数形结合，通过联立函数表达式求交点坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：设、这两个月的月平均增长率为．
由题意得：，
解得：，舍去，
即、这两个月的月平均增长率为，
即的值是；

设当农产品礼包每包降价元时，这种农产品在月份可获利元．
根据题意可得：，
解得：，舍去，
答：当农产品礼包每包降价元时，这种农产品在月份可获利元． 

【解析】根据题意，可知月销量月的销量，然后计算，即可得到的值；
先设当农产品每袋降价元时，该农产品在月份可获利元，然后根据“利润售价进价数量”列出方程并解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，列出相应的方程是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：矩形折叠使，重合，折痕为，
，，．
，
．
在和中，
，
≌，
，
四边形为菱形．
解：设菱形的边长为，则，．
在中，，
，
解得，
即菱形的边长为．
在中，，
，
在中，，
． 

【解析】由折叠的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
设菱形的边长为，则，，由勾股定理得出，则可得出答案；
由勾股定理可求出答案．
本题考查了折叠性质，菱形的判定与性质，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】任意实数      或． 

【解析】解：函数，
的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数；
由函数可知，和时的函数图象关于轴对称，函数图象如图所示；

由图象可得，
函数图象关于轴对称，故正确；
函数有最小值，但没有最大值，故错误；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故正确；
函数图象与轴有个公共点，故错误；
故答案为：；
由图象可得，
关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是，
故答案为：；
如图，

当时，，即，
当直线与函数的图象有三个交点时，则，
解得：或不符合题意，舍去，
；
当时，，即，
当直线与函数的图象有三个交点时，则，
解得：或不符合题意，舍去，
，
综上所述，关于的方程至少有个不相等的实数根，则的取值范围是或，
故答案为：或．
根据函数解析式可以写出的取值范围；
根据函数图象的特点，可以得到该函数关于轴对称，从而可以画出函数的完整图象；
根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；
根据函数图象，可以写出关于的方程有个不相等的实数根时，的取值范围；
当时，先求出直线函数的图象有三个交点时，的值，再结合图象即可得出答案；当时，当直线与函数的图象有三个交点时，则，再结合图象即可得出答案．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】  ， 

【解析】解：当时，，
抛物线均过，
由得，，
当时，，
当时，，
当时，，
由得，，，
故答案为：；
，
当时，，
点在上，
当时，
，
，
，，
点在上，
故答案为：，；
由得：与轴的两个交点，，
的纵坐标为：，
，抛物线与轴有两个交点，
到轴的距离为：，
当时，
当时，是直角三角形，
，舍去，
当时，
当时，是直角三角形，
，舍去，
综上所述：或；
和相等，理由如下：
当时，抛物线与轴的左交点，抛物线与轴的左交点，
当时，
，舍去，
的横坐标为：，
同理可得：的横坐标为：，
，，
．
当时，；由得，，从而得出结论；由得，，，进而得出结论；
令和，从而求得结果；
分为和两种情形，先求得与轴的两个交点及的纵坐标，当满足到轴的距离等于抛物线与轴的两点交点之间的距离的一半时，，是直角三角形，从而列出方程求得结果；
求得当时，抛物线与轴的左交点及抛物线与轴的左交点，求出的横坐标，的横坐标为：，计算，，从而得出结论．
本题以二次函数为背景，考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程之间的关系，直角三角形的判定等知识，解决问题的关键是较强的计算能力和理解能力．