苏教版 (2019)选择性必修第二册7.3组合测试题

7.3组合苏教版（  2019）高中数学选择性必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 某校三位同学报名数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2. 某班级制定了数学学习方案：每周按照从星期一到星期日的时间安排，星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有．(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

3. 某龙舟队有名队员，其中人只会划左舷，人只会划右舷，人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的人、右舷的人共人去参加比赛，则不同的选派方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4. 年春节期间电影你好，李焕英因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热捧，某电影院指派名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为，，，的个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有名工作人员的影厅编号之和恰为，则不同的指派方法种数为

A.  B.  C.  D.

5. 六名男同学去参加某地高校自主招生考试，根据现有条件要把他们安排在三个不同的房间内住宿，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间住两人，则不同的住宿安排种数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 年月日我国很多省市高三、初三迎来了疫情后的开学工作，某校当天为做好疫情防护工作，安排甲、乙、丙、丁四位老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其他相关的服务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为，则满足不等式的最小正整数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 把座位编号为，，，，，的张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号的，那么不同分法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(    )

A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为

10. 下列说法正确的是(    )

A. 个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有种
B. 个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，不同的放法有种
C. 个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有种
D. 个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有种

11. 下列结论正确的是(    )

A.
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的情况有种
C. 某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有种
D. 某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，且每类书都有人选，不同的结果共有种

12. 下列结论正确的是

A.
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的情况有种
C. 某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有种
D. 某班位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，且每类书都有人选，不同的结果共有种

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某种产品有件次品和件正品，每件产品均不相同且可区分，今每次取出一件来测试，直到这件次品全测出为止，则最后一件次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是          用数字作答
14. 有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数__________．
15. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为          
16. 我国古代著名的数学著作中，周碑算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、夏侯阳算经、孙丘建算经、海岛算经、五经算术、级术和纠古算经，称为“算经十书”，某老师将周碑算经、九章算术、孙子算经、五经算术、级术和纠古算经本书分给名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为          用数字回答

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？

甲、乙必须相邻；

甲、乙不相邻；

甲、乙之间恰有两人；

甲不站在左端，乙不站在右端．

18. 本小题分

从名男同学与名女同学中选名男同学与名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．

共有多少种不同的选派方法？

若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？

若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？

注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．

19. 本小题分

由，，，，，这个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？

把本不同的书分给个同学，每人至少本书，有多少种不同的方法？

20. 本小题分

将个相同的小球一模一样放入标号为，，的盒子中，要求每个盒中放入球的个数不小于编号数，问共有多少种不同的放法？

如果将个不同的小球放入标号为，，，的盒子中，要求恰有一个空盒，问共有多少种不同的放法？    

21. 本小题分

按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？列式并用数字作答

个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；

个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

个相同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

个不同的小球放入个不同的盒子，恰有个空盒．

22. 本小题分

在一次国际抗震救灾中，从名中方搜救队队员和名外籍搜救队队员中选名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法．

至少有名外籍搜救队队员；

至多有名外籍搜救队队员．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用，属于中档题．
设三位同学为，，由题意，参赛方案分为两种情况：
一数学学科有人报名；二数学学科有人报名．
分别利用排列组合、两个基本原理进行计算，最后可求出结果．

【解答】

解：设三位同学为，，由题意，参赛方案分为两种情况：
一数学学科有人报名：
先选人报名数学，有种结果假设为，，其余三科的参赛方式又分为两种情况：
，选同科，有种结果；，选不同科即，，或，选同科，有种结果，
所以数学学科有人报名时共有种结果；
二数学学科有人报名：
先选人报名数学，有种结果，其余三科的参赛方式有种结果，
所以数学学科有人报名时共有种结果；
综合一二得不同的参赛方案有种．
故答案选：  ．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查简单排列组合的应用，属于中档题．
根据题意得出合理的解决方案，然后由排列组合数公式可得答案．

【解答】

解：因为星期一和星期日分别解决个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，
所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是、、、天，共四种情况，
所以共有种
故答案为．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分类加法计数原理，组合及组合数公式，排列，组合的综合应用，属于中档题．
根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类，分为划左舷中没有“多面手”，有一个“多面手”，有两个“多面手”，综合记得到共有多少种不同的选派方法．
【解答】
解：根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：
划左舷中没有“多面手”的选派方法有种；
有一个“多面手”的选派方法有种；
有两个“多面手”的选派方法有种．
即共有种不同的选派方法．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查排列组合的综合应用，属于基础题．
根据题意确定编号之和为的组合，从而利用组合数公式进行计算．
【解答】
解：编号之和为的组合有：
，即：，名工作人员选两种，分别选厅，厅，其余选厅．
，即：，
，即：，
，即：，
，即：，
共有：种，
故选B．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查间接法解决排列、组合问题．
分别求出甲、乙住在同一个房间的方法数和总的分配方法数，再求出符合题意的，不同的住宿安排种数即可．

【解答】

解：甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外人分为两组，这时的方法总数是，
而总的分配方法数是把人平均分为组再进行分配，方法数是，
故不同的住宿安排总共有种．
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了排列和组合的应用和组合数公式，是中档题．
首先根据已知求出，根据组合数公式可以列出关于的不等式，解不等式求出的取值范围，这样可以求出最小正整数的值．

【解答】

依题，所以等价于，
即，
所以或舍，
所以最小正整数的值为．
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的综合应用，属于中档题．
采用先分组再排步完成，先用隔板法将六张票分成连号的四组，排除个三连号分组外都合题意，再完成组票到个人的全排列，即可求解．
 

【解答】

解：根据题意，分步进行分析：
先将票分为符合条件的份；
由题意，人分张票，且每人至少一张，至多两张，则两人一张，人张，且分得的票必须是连号的，相当于将、、、、、这六个数用个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，易得在个空位插个板子，共有种情况，但其中有种是人张票的，故有种情况符合题意，
将分好的份对应到个人，进行全排列即可，有种情况；
故有种情况．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型的计算与应用，考查运算求解能力，属于基础题．
基本事件总数，该重卦恰有个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有个阳爻的概率．

【解答】

解：在所有重卦中随机取一重卦，
基本事件总数，
该重卦恰有个阳爻包含的基本个数，
则该重卦恰有个阳爻的概率．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查组合的应用及其简单的计数原理问题，考查分析运算能力，属于中档题．
根据题意利用分步乘法原理、分类加法原理及排列组合，依次判断可得答案，即可求解．

【解答】

解：对于中，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A正确；
对于中，物理和化学至少选一门，分两类，
第一类：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的门中选门，有种选法，有种选法；
第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的门中选门，有种方法，
故有种选法，由分类加法计数原理知，总数为种选法，故B错误；
对于中，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；
对于，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，故D错误．
故选AC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的综合应用，属于中档题．
根据排列与分步计数原理可判断选项；利用组合数公式可判断选项；利用分组法可判断选项．

【解答】

解： 

对于选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，即个不同盒子中有三个盒子各放一个球，不同的放法有种，对；

对于选项，个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，即每个球有种不同放法，不同的放法有种，错；

对于选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，即只需确定个盒子中哪三个盒子有球，有不同的放法有种，对；

对于选项，个相同的球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，有两种放法，一是有个盒子放三个其余各放一个，二是有个盒子放一个其余各放两个，共有种，对．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的相关运用，属于中档题．
利用排列组合的基本运算公式以及排列组合常见问题的解法，逐一分析求解即可。

【解答】

解：对于，因为，故正确；
对于，两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的情况有种，故错误；
对于，每个同学可以挑选三类书中任选一类，所以总的可能性有：，故错误；
对于，每类书都有人选，所以其中有一类书有两人选，其他两类书各有一人选，
所以有：，故正确．
故选．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的相关运用，属于中档题．
结合组合的基本运算公式以及排列组合常见问题的解法，逐一分析求解即可．

 

【解答】

解：对于 ，因为 ，故 正确；
对于 ，两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的情况有 种，故 错误；
对于 ，每个同学可以挑选三类书中任选一类，所以总的可能性有： ，故 错误；
对于 ，本题每类书都有人选，所以其中有一本书有两人选，其他两本书各有一人选，
所以有： ，故 正确．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查计数原理的应用，属于中档题．
第五次抽到一件次品有种情况，前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，前次测试中的顺序有种可能，由分步计数原理可得．

【解答】

解：对四件次品编序为，，，，
第五次抽到其中任一件次品有种情况，
前四次有三次是次品，一次是正品共有种可能，
前次测试中的顺序有种可能，
所以由分步计数原理可得，共有种可能．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两个计数原理的综合应用，考查排列、组合的综合应用，解题时注意其中重复的数字，属于中档题．
根据题意，按取出数字是否重复分种情况讨论：取出的张卡片中有个数字重复，则个重复的数字为或；取出的张卡片为张和张；取出的张卡片种有个重复数字，则重复的数字为，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类加法计数原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，分种情况讨论：
取出的张卡片中有个数字重复，则个重复的数字为或，
若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，
若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，共有种；
若取出的张卡片为张和张，
在个位置安排两个，有种情况，剩余位置安排两个，则可以排出个四位数
取出的张卡片中有个重复数字，则重复的数字为，
在、中取出个卡片，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，
剩余位置安排，可以排出个四位数
则一共有个四位数．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题看似集合题，其实考查的是用排列组合思想去解决问题．属于较难题．
从条件“”入手，讨论所有取值的可能性，分为个数值中有个是，个是和个是三种情况进行讨论．

【解答】

解：由于只能取或，且“”，
因此个数值中有个是，个是和个是三种情况：
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：；
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：；
中有个取值为，另外个从，中取，共有方法数：．
总共方法数是．
即元素个数为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查排列组合的综合应用，属于中档题．
利用分组，以及排列组合，即可得．

【解答】

解：因为老师将本书分给名数学爱好者，其中每人至少一本，
所以分为组，即为，，，，或，，，
则有 种．

17.【答案】解：
捆绑法：甲、乙必须相邻作为一个整体，再和其余人进行全部排列，所以共有：；

插空法：先排除甲、乙之外的人，除甲、乙之外人排列有个空，从个空中选择个安排甲、乙，则共有；

先在甲乙之间排两人，且甲、乙两人自身排列，再将甲乙以及中间的两人捆绑，与剩下的两人全排列，知甲、乙之间恰有两人的方法数：；

若甲站左端，乙不站右端，从非甲、乙剩余人中选择人站在右端，剩余人排列，共有种；

若甲站左端，乙站右端，剩余人站在中间排列共有种；

若甲不站左端，乙站右端，从非甲、乙剩余人中选择人站在左端，剩余中间位置人排列，共有种；

所以甲不站在左端，乙不站在右端的方法数．

【解析】本题考查排列组合的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．

利用捆绑法求解即可，甲、乙必须相邻作为一个整体，再和其余人进行全部排列．

利用插空法求解即可，先排列除甲、乙之外的人，除甲、乙之外人排列有个空，从个空中选择个安排甲、乙．

利用捆绑法求解即可，先在甲乙之间排两人，且甲、乙两人自身排列，再将甲乙以及中间的两人捆绑，与剩下的两人全排列，

利用逆向思维求解即可，

若甲站左端，乙不站右端，从非甲、乙剩余人中选择人站在右端，剩余人排列；

若甲站左端，乙站右端，剩余人站在中间排列；

若甲不站左端，乙站右端，从非甲、乙剩余人中选择人站在左端，剩余中间位置人排列．

18.【答案】解：从名男同学与名女同学中选名男同学与名女同学，有种选法，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表，则有种选派方法．
先满足女生甲担任语文课代表，然后再选男女，担任其它学科课代表，有种选派方法．
男生乙不能担任英语科代表，要分两类研究：一是选出男生乙，满足条件应该有种选派方法，二是没选出男生乙，有种选派方法，所以共有种选派方法． 

【解析】本题考查排列、组合的应用和分步计数原理的运用，属于中档题．
首先选名男生，然后再选名女生，然后这个人分别担任各学科课代表进行排列，计算即可；
女生甲已确定担任语文科代表，则只能从剩余的名女同学再选一名女同学担任课代表，然后选取从名男生当中选名男同学，根据分步计数原理计算即可；
男生乙不能担任英语科代表，要分两类研究：一是选出男生乙，二是没选出男生乙，两种情况相加即可得到答案．
 

19.【答案】解：若个位上的数字为，则
若个位上的数字不为，则先排个位，再排首位，最后排中间两位，
所以
所以由，，，，，这个数字能组成的没有重复数字的四位偶数共有个
先把本不同的书分成或或三份，再把三份不同的书分给三位不同的同学，则不同的分法种． 

【解析】本题考查其它排列问题、排列与排列数、两个计数原理的综合应用，属于中档题．
分个位上的数字为和不为两类；
不同元素的分配问题，先分份再分配．
 

20.【答案】解：先在标号为，，的盒子中分别放入，，个小球，还剩下个小球，
问题转化为用隔板将排成一排的个相同的小球隔开分成份，每份至少一个小球，
故有种方法．
解：因为恰有一个空盒，即将个不同的球分成份，每份至少一个小球，放到个盒子中的个里面，
故有种 

【解析】本题考查组合问题，属于基础题．
问题转化为用隔板将排成一排的个相同的小球隔开分成份，每份至少一个小球，由组合数即可求解；
本题考查排列、组合的综合应用，属于基础题．
将问题转化为将个不同的球分成份，每份至少一个小球，放到个盒子中的个里面，利用排列数和组合数即可求解．
 

21.【答案】解：个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球，有两个小球在一个盒子，则    
个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把个小球分组，有两种分法：、、、；、、、；再放入个不同的盒子，故不同的方法共有
个相同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，
不同的方法共有
个不同的小球放入个不同的盒子，恰有一个空盒，
先把个小球分组，有三种分法：、、；、、；、、，
再放入个不同的盒子，故不同的方法共有． 

【解析】本题考查排列、组合的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
个不同的小球放入个不同的盒子，有两个小球在一个盒子，利用乘法原理可得结论；
个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把个小球分组，有两种分法，再放入个不同的盒子，即可得到结论；
先将个盒子中分别放一个小球，再考虑剩下两个小球的放法即可；
个不同的小球放入个不同的盒子，先把个小球分组，有三种分法，再放入个不同的盒子，即可得到不同的放法．
 

22.【答案】 解：由题意，知特殊搜救队中“至少有名外籍搜救队队员”可分为类：

有名外籍队员，共有种组队方法；

有名外籍队员，共有种组队方法；

有名外籍队员，共有种组队方法．

根据分类计数原理，知至少有名外籍搜救队队员共有种不同的组队方法．
由题意，知“至多有名外籍搜救队队员”可分为类：
有名外籍搜救队队员，共有种方法；
有名外籍搜救队队员，共有种方法；
有名外籍搜救队队员，共有种方法；
没有外籍搜救队队员，共有种方法．
由分类计数原理，知至多有名外籍搜救队队员共有种不同的组队方法．

【解析】本题主要考查排列组合、两个基本原理的实际应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．
至少有名外籍搜救队队员分三种情况：有名，名，名队员进行解答，根据分类计数原理得到答案．
至多有名外籍搜救队队员分四种情况：有名，名，名，没有队员进行解答，根据分类计数原理得到答案．