高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理综合训练题

7.4二项式定理苏教版（   2019）高中数学选择性必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 的展开式中，的系数为

A.  B.  C.  D.

3. 的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设，且，若能被整除，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 除以的余数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 除以的余数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列说法正确的是(    )

A. 二项式的展开式中的常数项是第项
B. 在的二项展开式中，的系数为
C. 的展开式的第项的二项式系数为
D. 在的展开式中，含的项的系数是

10. 的展开式中(    )

A. 的系数为 B. 的系数为 C. 常数项为 D. 常数项为

11. 多选题已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大，则下列结论正确的为(    )

A. 展开式中偶数项的二项式系数之和为；
B. 展开式中二项式系数最大的项只有第三项；
C. 展开式中系数最大的项只有第五项；
D. 展开式中有理项为第三项、第六项．

12. 在的展开式中，下列说法正确的是

A. 常数项是 B. 二项式系数之和为
C. 各项系数之和为 D. 项的系数最大的项是第项

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 除以的余数是          ．
14. 已知，满足，则的展开式中的系数为          
15. 将的展开式中的系数记为，则          ．
16. 已知，，的展开式中，含项的系数为，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知正整数满足．

求；

求的展开式中的系数用数字表示结果

18. 本小题分

已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为．

求展开式中的常数项；

若的展开式中含项的系数为，求的值．

19. 本小题分

在的展开式中，前三项的系数满足．

求展开式中含有项的系数

求展开式中的有理项．

20. 本小题分
    已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等．
    求的值和这两项的二项式系数；
    在 的展开式中，求含项的系数结果用数字表示．
21. 本小题分

已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为．

求展开式中二项式系数最大的项

求展开式中的常数项．

22. 本小题分

已知的展开式中，_________．

现在有以下三个条件：

条件：第项和第项的二项式系数之比为；

条件：只有第项的二项式系数最大；

条件：其前三项的二项式系数的和等于．

请在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：

求展开式中所有二项式系数的和；

求展开式中的常数项．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式特定项的系数，属于中档题．
将分两部分讨论求解即可．

【解答】

解：由的二项式展开式的通项公式可得，
展开式中：
若提供常数项，则提供含有的项，
可得展开式中的系数为；
若提供项，则提供含有的项，
可得展开式中的系数为；
展开式中的系数为：．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
先求得的展开式的通项公式，再求出的展开式的通项公式，可得的系数．

【解答】

解：的展开式的通项公式为：
 ，，，，，，，
而 的展开式的通项公式为：
  ，
因为，故有 或 或  ，
故的系数为，
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，考查了计算能力，属于中档题．
先写出的展开式的通项公式：令，解得令，解得即可得到最终答案．

【解答】

解：的展开式的通项公式：
．
令，解得．
令，解得．
的展开式中的系数为．
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式中的特定项与特定项系数的求法，属于基础题．

【解答】

 又的展开式的通项，当且仅当，时符合题意，所以的展开式中的系数为，故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
根据，利用二项式定理展开可得能被整除，由此求得的值．

【解答】

解：，且，
若

能被整除，
能被整除，
则．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式展开式中系数问题，属于中档题．
利用赋值法求出，，两式相减得解．

【解答】

解：因为，
令，得，
令，得，
由得．
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查，属于基础题．
利用二项式定理化简表达式，转化为的形式，然后通过二项式定理求解余数．

【解答】

解：

，
显然第一项是余数，其余各项都能被整除，
故选C．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用二项式定理求余数问题，属于一般题．

【解答】

【解析】因为，所以其除以的余数为，故选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用二项式展开式的通项逐个判断即可．

【解答】

解：对于、二项式的展开式中的通项为，
当时，是常数项，故常数项是第项，故A正确；
对于、的二项展开式的通项为，
的系数为 ，故B错误；
对于、的展开式的第项的二项式系数为，故正确；
对于、的展开式通项为，
含的项的系数是 ，故正确，
故选ACD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．
利用二项式展开式，然后利用和求出的项的系数，令，求出常数项，

【解答】

解：展开式的第项为，
当时，，
当时，．
的展开式中含的项为
．
的展开式中的系数为．
当时，，
的展开式中常数项为．
故选AC．

11.【答案】 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查二项展开式的特定项及特定项的系数，杨辉三角的应用，注意各项系数与二项式系数的区别．
由赋值法可得各项系数和为，结合二项式系数和求出的值，得出通项，根据二项展开式的特定项及特定项的系数，逐一分析得出结果．
【解答】
解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，，，
对于，展开式中偶数项的二项式系数之和为，不正确；
对于，，展开式共项，二项式系数最大的项为第、两项，所以不正确；
对于，设展开式中第项系数最大，
则，，
，解得，，即展开式中第项系数最大，所以C正确；
对于当时，，故有理项为，所以D正确．
故选CD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式特定项的系数及二项式定理的应用．
根据通项可判断根据二项式系数之和为可判断，令可得各项系数之和可判断展开式有项可得第五项第六项二项式系数相等且最大，再根据通项得二项式系数等于每一项系数的绝对值，且展开式中项的系数是正负相间出现的可判断

【解答】

解：由题意的展开式的通项为，
令，得，所以常数项是，故A错误；
由二项式系数的性质知，二项式系数之和为，故B正确；
令，则，所以各项系数之和为，故C错误；
由于展开式有项，根据二项式系数性质第五项第六项二项式系数相等且最大，再根据通项，二项式系数等于每一项系数的绝对值，且展开式中奇数项为正，偶数项为负，相间出现的，所以项的系数最大的项是第项，故D正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
利用二项式定理展开即可得其除以的余数为，即可得答案 

【解答】

解：，
显然，除了最后一项外，其余各项都能被整除，
故它除以的余数为，即它除以的余数为，
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于中档题．
先利用二项式定理求出的值，再利用通项公式求出需要的系数．

【解答】

解：，满足，
，可解得：．
，
 ，
的展开式中的系数为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项的系数以及裂项相消求和，属于中档题．
由的展开式的通项为：，可得，则，利用裂项求和即可求得结果．

【解答】

解：的展开式的通项为：，
令，可得，
，
，
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

，，的展开式中，含项的系数为，则当或时，含项的系数为当，且时，含项的系数为  ， 当或时，的系数最小，为 ，则展开式中含项的系数为．

【解答】

，，的展开式中，含项的系数为，则当或时，含项的系数为当，且时，含项的系数为  ， 当或时，的系数最小，为 ，则展开式中含项的系数为．

17.【答案】解：，

所以，

即，即解得或舍，

所以．

展开式的通项为，令得到展开式中的系数是，

展开式中

的系数是．
．

【解析】 本题主要考查排列数组合数的公式的应用，考查学生的分析能力、运算能力，属于中档题．
利用排列数公式列出方程求解得到的值；
利用二项式展开式可得的系数是，可得．
 

18.【答案】解：因为，即，
解得或舍，
所以展开式中的常数项为．
的展开式中含项的系数为
，
解得． 

【解析】本题考查二项式定理应用，考查二项展开式中特定项系数问题，属基础题．
由二项式中的系数比求得，再结合二项式定理求常数项即可；
通过二项式定理求特定项的系数得，求解即可．
 

19.【答案】的展开式中前三项的系数分别为， ，，由题意知，所以，

即，所以或舍去．

则二项式展开式的通项为．

令，得，所以含有项的系数为 ．

设展开式中，第项为有理项，则当，，时对应的项为有理项，

有理项分别为，，．

【解析】本题考查二项式特定项系数，是中档题
 

20.【答案】解：因为，
所以，
所以，
故两项的二项式系数为．
含项的系数为




          


 

【解析】本题考查了二项式定理及二项式系数，属中档题．
由二项式定理及二项式系数得：两项的二项式系数为，
由二项式定理得：项的系数为，然后利用组合数的性质：化简，可得解．
 

21.【答案】由展开式中所有偶数项的二项式系数和为，得，所以，所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项．

因为的展开式的通项为，

所以展开式中二项式系数最大的项为， ．

由知，且的展开式中含的项为，含的项为，

所以展开式中常数项为．

【解析】本题考查二项式展开式中系数最大项问题，考查指定项的求法，属于基础题．
 

22.【答案】解：选条件：因为第项和第项的二项式系数之比为；
所以，即，
即，
解得舍或．
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件：因为只有第项的二项式系数最大；
所以为偶数，且，
解得．
所以展开式中所有二项式系数的和；
选条件：因为其前三项的二项式系数的和等于，
所以，
即，即，
所以舍或．
所以展开式中所有二项式系数的和；
由二项式为，
其通项公式为：，
令，解得，
所以展开式中的常数项为． 

【解析】本题考查了二项式定理的应用，二项展开式通项求特定项及二项式系数的性质，属于中档题．
选条件得到求解；选条件得到求解；选条件得到求解．
由得到二项式为，再利用通项公式求解．