苏教版 (2019)选择性必修第二册6.3空间向量的应用测试题

6.3空间向量的应用苏教版（   2019）高中数学选择性必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知直线过点，且平行于向量；平面过直线和点，则平面的法向量不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. 两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是(    )

A. 的充要条件为
B. 的充要条件为
C. 的充要条件为存在实数使得
D. 的充要条件为

4. 在正方体中，点满足，若平面平面，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，是棱长为的正方体，，分别是棱，上的动点，且当，，，四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知为平面的法向量，点在内，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 多选下列命题是真命题的有(    )

A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则
C. 平面，的一个法向量分别为，，则
D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

10. 已知为直线的方向向量，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在四棱锥中，底面，，，点为的中点，，，，则(    )

A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 与平面所成的角为
 

12. 已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是(    )

A. 点到直线的距离是
B. 点到平面的距离为
C. 平面与平面间的距离为
D. 点到直线的距离为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 给出下列命题：

直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；

直线的方向向量，平面的法向量，则；

平面、的法向量分别为，，则；

平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．

其中真命题的是          把你认为正确命题的序号都填上

14. 给出下列命题：
    直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；
    直线的方向向量，平面的法向量，则；
    平面、的法向量分别为，，则；
    平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．
    其中真命题的是__________把你认为正确命题的序号都填上
15. 已知等边三角形与正方形有一条公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值为          ．
16. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点判断并说明上是否存在点，使得平面．
     

18. 本小题分

如图所示，在直角梯形中，，，，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示．

求证：平面；

求二面角的余弦值．

19. 本小题分
    在正方体中，，分别为底面和侧面的中心求证：
    
    
    
    ．
20. 本小题分
    如图，在正方体中，，分别为棱，的中点．
     

求证：平面；

求证：平面平面．

21. 本小题分
    如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
    
    求证：平面；
    求二面角的余弦值；
    证明：直线与平面相交．
22. 本小题分
    如图所示，四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
    证明：；
    设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间中平面的法向量，考查空间向量平行和垂直，属于中档题，考查推理能力和计算能力逐个判断即可求解．

【解答】

解：由题意可知，平面的法向量垂直于向量 和向量， 
而， 
选项A，，但，故错误；
选项B，，满足垂直，故正确； 
选项C，，满足垂直，故正确； 
选项D，，满足垂直，故正确； 
故选A ．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，平面法向量的定义，属基础题．
首先用，表示，由为平面的法向量，得到，进而由数量积的坐标运算得解．
【解答】
解：，，，

，
又，是平面内的两向量，为平面的法向量，

，解得．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查面面垂直、面面平行、线线垂直、线面平行的判定定理等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
依据面面垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项A；依据线线垂直的定义及向量数量积的几何意义判断选项B；依据面面平行的定义及数乘向量的几何意义判断选项C；依据线面平行的定义及向量数量积的几何意义判断选项D．
 

【解答】

解：选项A：判断正确；
选项B：判断正确；
选项C：存在实数使得判断正确；
选项D：若，则有；若，则有或，
则是的充分不必要条件判断错误．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了面面平行的判定，空间向量的线性运算以及利用向量法解决空间中的线面问题，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据平面平面则，即可求解实数的值．

【解答】

解：以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，
得
设平面的法向量，
则，令，则，，故，
平面平面则，
，
故，
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．
建立空间直角坐标系，由题意知：当，时，，，、共面，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解答】

解：以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

由题意知：当，时，，，、 共面，
设平面的法向量为，
，，，
，，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

以点为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．

 

设正方体的棱长为，则， ，，，．，，，．和分别是平面和平面的法向量又，，结合图形可知平面与平面所成二面角的余弦值为．

【解答】

略

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间直角坐标系和点到平面的距离的计算，属中档题．
先建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，再求点到平面的距离．

【解答】

解：如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，

从而，，，
设平面的法向量为，
则，即
得，令，则．
所以点到平面的距离为
，
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面的法向量及利用空间向量求点面之间的距离，属于基础题．
点到平面的距离，由此能求出结果．

【解答】

解：平面的一个法向量为，点在平面内，点，

，

点到平面的距离．

故选A．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

【解析】，，，则，直线与垂直，故A正确．，，，则，或，故B错误．，，与不共线，不成立，故C错误．点，，，，．向量是平面的法向量，即解得，故D正确．

【解答】

略

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用向量判定线面的垂直，平行关系，利用向量判定面面的垂直，平行关系，属于中档题四个选项逐一分析即可．

【解答】

解：平面不重合，
平面的法向量平行垂直等价于平面平行垂直
所以，B正确，
直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，
所以，D错误，
故选AB．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量法求向量数量积、异面直线所成的角，线面角及点到面的距离，属于中档题．
建立空间直角坐标系，写出所需向量的坐标，代入公式逐项判断即可．

【解答】

解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，，
则．
，
异面直线所成角
则异面直线与所成角的余弦值为．
设平面的法向量为，
则即解得
令，则，，所以平面的一个法向量为，
则 ，所以点到平面的距离为，
又，所以与平面所成的角为．
故选BCD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的学科素养，线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行，属于中档题．
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论．

【解答】

解：如图，建立空间直角坐标系，

则，，

，，，，

所以．

设，则，
．

故A到直线的距离，故A错．

易知，

平面的一个法向量，

则点到平面的距离，故B对．

．

设平面的法向量为，

则，所以

令，得，

所以．

所以点到平面的距离．

因为平面平面，

所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，

所以平面与平面间的距离为，故C对．

因为，所以，

又，则，

所以点到的距离，故D错．

故选BC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，属于中档题．
根据直线、的方向向量与垂直，得出；
根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，不能判断；
根据平面、的法向量与不共线，不能得出；
求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出的值．

【解答】

解：对于，，，
，
，
直线与垂直，正确；
对于，，，
，
，或，错误；
对于，，，
与不共线，
不成立，错误；
对于，点，，，
，，
向量是平面的法向量，
，
即；
则，正确．
综上，以上真命题的序号是．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．
根据直线、的方向向量与垂直，得出；
根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，不能判断；
根据平面、的法向量与不共线，不能得出；
求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出的值．

【解答】

解：对于，，，
，
，
直线与垂直，正确；
对于，，，
，
，或，错误；
对于，，，
与不共线，
不成立，错误；
对于，点，，，
，，
向量是平面的法向量，
，
即；
则，正确．
综上，以上真命题的序号是．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．
过点作平面，垂足为，取的中点，证明为正方形的中心，建立空间直角坐标系进行求解．

【解答】

解：如图所示，过点作平面，垂足为，
取的中点，连接，，，，

则为二面角的平面角，
所以．
设，则，，，
所以为正方形的中心，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，，
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了空间直角坐标系，点到平面的距离问题，属于中档题．
取的中点，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法根据公式求点到平面的距离即可．

【解答】

解：取的中点，连接，，
因为把正方形沿对角线折成直二面角，所以，，
又因为为直二面角，所以，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设面的法向量，则，，
即，令，则，，
所以，
所以点到平面的距离为．
故答案为．

17.【答案】解平面，，，，如图，建立空间直角坐标系，

则，，，不妨令，，，设平面的法向量为，由得令，解得，设点的坐标为，又，则要使平面，只需，即，即，解得，从而满足的点即为所求．

【解析】略
 

18.【答案】解：在图中，可得，而，

从而，

故．

取中点连接，
而，则，

又平面平面，平面平面，平面，
从而平面，
而平面，，
又，，且，平面，

平面．

建立空间直角坐标系如图所示，
 

则，
则，，

设为平面的法向量，

则即

解得，令，可得，

又为平面的一个法向量，

，

的余弦值为．

【解析】本题考查了线面垂直的判定，求二面角的余弦值，属于中档题．

要证平面，只需证明垂直平面内的两条相交直线即可；

建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用向量的数量积，求的余弦值．

19.【答案】证明：以点为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

令正方体的棱长为，则，，，，，，

，

因为，所以，而与无公共点，

所以；

设平面的法向量为，

则，即，令，则，
因此平面的一个法向量，

因为，即，且平面，

所以平面；

由，同理求出平面的一个法向量，
由，而平面与平面不重合，因此平面平面．

【解析】本题考查了利用空间向量判定线线的垂直、平行关系，利用空间向量判定线面的垂直、平行关系和利用空间向量判定面面的垂直、平行关系，属于中档题．
以点为原点，，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为．

利用空间向量判定线线的平行关系，计算得结论；

利用空间向量判定线面平行关系，计算得结论；

利用空间向量判定面面的平行关系，计算得结论．

20.【答案】解：证明：以，，所在直线分别为轴，轴，轴
建立空间直角坐标系如图所示，

设正方体的棱长为，

则，，

所以．

又因为，，，

设平面的一个法向量为．

因为，，

由得

令，易得，

所以．

又因平面，

所以平面．

证明：连结．
因为，，
，，平面，

所以平面，
因为，
所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

【解析】本题考查了用空间向量判断线面平行以及面面垂直的判定，属于中档题．
只需证明和平面的法向量垂直即可；
先证明线面垂直，然后再证明面面垂直．
 

21.【答案】解：证明：，分别是，的中点，
，
平面，
平面，
又平面，
，
，是的中点，
，
又平面，平面，
平面；
由可知，，，平面，
又平面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
又，，
且，平面，平面，
平面，
为平面的一个法向量，
，，
由图形可知，二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为；
证明：，，
，
，
与不垂直，
与平面不平行，
又平面，
与平面相交．
 

【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求二面角，空间中直线和平面的位置关系，属于中档题．
证明，，即可得出平面；
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，得到平面和平面的法向量，利用平面的法向量的夹角的余弦值进行求解即可；
根据题意，利用向量与平面的法向量不垂直即可得解．
 

22.【答案】解：证明：取中点，连接，则，
由已知条件，侧面底面，侧面底面，侧面，
得平面，
如图，建立空间直角坐标系，设，

则，，，，
，，
则，
．
侧面为等边三角形，，，
则，，，，
即，，，
设平面的法向量为，
即，即
取，则，
同理可得，平面的一个法向量为，
所以，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为． 

【解析】本题考查线线垂直的证明，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，是中档题．
取中点，连接，则，平面，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
结合题意，得到平面的法向量为，平面的法向量为，进而得到答案．