苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列一课一练

8.2离散型随机变量及其分布列苏教版（   2019）高中数学选择性必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知随机变量的分布列为(    )

若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知随机变量满足，，且，令随机变量，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取到次品的个数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止设学生每一次发球成功的概率为，每次发球成功与否互不影响，记发球次数为，若的均值，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知随机变量的分布列如下

则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设随机变量∽，∽，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在一个袋中装有质地大小一样的个黑球，个白球，现从中任取个小球，设取出的个小球中白球的个数为，则下列结论正确的个数为(    )；随机变量服从二项分布；随机变量服从超几何分布；

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列说法正确的是(    )

A. 已知随机变量，，满足，且服从正态分布，则
B. 已知随机变量服从正态分布，且，则
C. 已知随机变量服从两点分布，且，令，则
D. 已知随机变量服从二项分布，则

10. 下列说法正确的是(    )

A. 设随机变量等可能取，，，，，如果，则
B. 若随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则
C. 设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D. 超几何分布的实质是古典概型问题

11. 某岗位聘用考核设置个环节，竞聘者需要参加个环节的全部考核，个环节的考核同时合格才能录用规定：第环节考核个项目，至少通过个为合格，否则为不合格第环节考核个项目，至少连续通过个为合格，否则为不合格统计已有的测试数据得出第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则(    )

A. 竞聘者第环节考核通过的概率为
B. 若竞聘者第环节考核通过个项目，则的均值
C. 竞聘者第环节考核通过的概率为
D. 竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在以上

12. 下列说法中，正确的有(    )

A. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是7
B. 若事件，满足，且，则与独立
C. 若随机变量x~B(6,)，则
D. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设随机变量的分布列为，若，则实数的取值范围为          ．
14. 已知离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则________．
15. 已知随机变量的分布列如下表，表示的方差，则          ．

16. 只灯泡中含有只不合格品，若从中一次任取只，记“恰好含有只不合格品”的概率为，当取得最大值时，          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

中国男子篮球职业联赛始于年，至今已有个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有个球前四个是普通球，最后一个球是花球，前四个球每投中一个得分，投不中的得分，最后一个花球投中得分，投不中得分全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立．

记球员甲投完个普通球的得分为，求的方差；

若球员甲投完第一个三分点位的个球后共得到了分，求他是投中了花球而得到了分的概率；

在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计分，摸出一个普通球小模型计分，求该幸运球迷摸出个小模型后的总计分的数学期望．

18. 本小题分

年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条段数为历年最多月日首班车起，地铁号线一期开通试运营地铁号线一期全长约公里，共设座车站，此次开通牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫共座车站在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表单位：人：

在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；

在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；

为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上下车情况，“”表示上车，“”表示下车相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上下车情况，直接写出方差，，大小关系．

19. 本小题分

某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为已知名工人每月只有维修台机器的能力若有台机器同时出现故障，工厂只有名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响，每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．

若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修例如：台大型机器出现故障，则至少需要名维修工人，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

已知该厂现有名维修工人．

(ⅰ)记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；

(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？

20. 本小题分
    袋中有个白球，个红球，个黄球，这个小球除颜色外完全相同．
    从袋中任取个球，求恰好取到个黄球的概率；
    从袋中任取个球，记取到红球的个数为，求的分布列、期望和方差．
21. 本小题分

为了促进消费，某超市开展购物抽奖送积分活动，顾客单次购物消费每满元，即可获得一次抽奖的机会，假定每次中奖的概率均为，不中奖的概率均为，且各次抽奖相互独立活动规定：第次抽奖时，若中奖则得分，不中奖得分第次抽奖时，需要从以下两个方案中任选一个：

方案一若中奖则得分，不中奖得分

方案二若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得分．

当抽奖次数大于两次时，执行第次抽奖所选的方案，直到抽奖结束．

甲顾客单次消费了元，获得了两次抽奖机会．

若甲顾客在第二次抽奖时选择了方案二，求甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率并求此时的得分

若以甲顾客两次抽奖累计得分的期望为决策依据，甲顾客应该选择哪一个方案请说明理由

乙顾客单次消费了元，获得了次抽奖机会，记乙顾客次抽奖共中奖次的概率为，求的最大值点．

22. 本小题分

某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率结果用分数表示

用分层随机抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，求抽取到个精品果的概率结果用分数表示

用样本估计总体，果园老板提出两种购销

方案给采购商参考．

方案不分类卖出，售价为元

方案分类卖出，分类后的水果售价如下．

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案用数据分析

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查两点分布的方差公式，利用两点分布的方差公式即可求解，属于基础题．
【解答】
解：由条件，得，
整理得，故．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的分布列的性质．
根据分布列的性质得四个概率之和是，解出的值，根据求解即可．

【解答】

解：，
，
，
．
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的期望和方差，同时考查两点分布，属于基础题．
根据题意，列表求出离散型随机变量 和的期望和方差，然后比较即可得出答案．

【解答】

解：因为的分布列为：

则， ．
的分布列为：

则，
，
显然和大小不确定，
又因为，，
所以，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的数学期望以及古典概型概率计算．
找到与的每个取值相对应的概率的值，再用期望公式可得答案．

【解答】

解：由题意，的可能取值为，，，
它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即，
，
．
于是．
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的均值，属于中档题．

【解答】

解：由题意得的所有可能取值为，，，，，所以，即，解得或舍，所以的取值范围是故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，属于简单题．
利用分布列求出，求出期望即可．

【解答】

解：由题意可得，解得，
．
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项分布的概率计算，属于中档题.
​​​​​​​首先根据P(1)=​​​​​​​求出p的值，再计算P(2)的值.

【解答】

解：因为随机变量~B(2,p),
所以P(1)=1-P(=0)=1-=,
解得p=,所以~B(4,),
则P(2)=1-P(=0)-P(=1)
​​​​​​​=1--(1-)=.
故选B.

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的期望的求法，超几何分布的判断，属于中档题．
利用超几何分布判断的正误求出的期望判断、的正误即可．

【解答】

解：由题意知随机变量服从超几何分布，故错误，正确；
随机变量的所有可能为，，，，，
，
，
，
，
，
故
，
故，正确．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了离散型随机变量的数学期望以及两点分布、二项分布、正态分布的性质，属于中档题．
选项A，由服从正态分布得，再根据与的关系求出；选项B，由正态分布的概率计算即可求出；选项C，根据即得；选项D，由二项分布的概率公式即得．

【解答】

解：由得，又服从正态分布，
所以，故E，故选项A正确
B.因为服从正态分布，
所以，
所以，故选项B正确
C.，故选项C正确
D.因为服从二项分布，
所以，故选项D错误
故选ABC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查随机变量的分布列，两点分布，超几何分布的概念等，属于基础题．
对，，利用分布列的性质可求解，对，由随机变量取和的概率之和等于求解，对，由超几何分布的定义以及古典概型的特征判定．

【解答】

解：设随机变量等可能取，，，，，则，
所以，则，正确；
B.若随机变量的概率分布规律为，
则，其中是常数，则 ，B错误；
C.设离散型随机变量服从两点分布，若，由，解得，正确；
D.超几何分布是总体个数有限不放回的抽取问题，实质是古典概型的问题的一种，正确；
故选ACD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率计算及数学期望求解，属于中档题．
设分别为两个环节第个项目通过，则，然后根据相互独立事件的概率的求法逐个分析判断即可．

【解答】

解：设分别为两个环节第个项目通过，则，且间相互独立，
对于，竞聘者第环节考核通过的概率为，所以A错误；
对于，由题意可得可能取，，，，则，
，
，
，
所以，所以B正确；
对于，竞聘者第环节考核通过的概率为
 ，所以C正确；
对于，由选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为，所以D正确．
故选BCD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查百分位数、方差、标准差、平均数、中位数、众数、相互独立事件的判定、二项分布的方差，属于中档题.
​​​​​​​根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果. 

【解答】

解：对于A，因为=1070%=7，
所以数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数为=7.5，故A错误；
对于B，若事件A、B满足P(A)=P(A)[1-P(B)]，则A与独立，同时A与B独立，故B正确；
对于，随机变量X~B(6,)，
D(X)=6(1-)=，故C错误；
对于D，根据题意知，6个正整数的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，
则可设这6个正整数从小到大依次为a，3，3，5，b，c，
若这6个正整数的极差最大，
则这6个数据的波动幅度最大，此时a=1，
则b+c=18，所以c=12，b=6，
方差=[+++++，故D正确.
​​​​​​​故本题选BD.

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了随机变量分布列问题，属于基础题．
分别求出，，，的值，然后根据，求即可．

【解答】

解：因为，
所以，
，
，
，
则，
又因为，
故
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
利用所有概率的和为，求出的值，利用，可得结论．
【解答】
解：由题意，由所有概率的和为，可得，
，
．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数学期望与方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
先由计算出，再求，再由计算即可．

【解答】

解：由题可知，解得，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的计算，考查学生解不等式的能力，考查学生分析、解决问题的能力，属于中档题．
由题意，，由，，可得，，即可得出结论．

【解答】

解：由题意，，
由，，
可得，，

．
故答案为：．

17.【答案】解：由题设，服从参数为的两点分布，
，，
，．
记表示事件：“甲投完第一个三分点位的五个球得到了分”，
记表示事件：“甲抽中花球”，
则，
，
他是投中了花球而得到了分的概率为：
．
由题设值可取，，，
则，
，
，
． 

【解析】本题考查两点分布、条件概率、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
用两点分布的概率公式计算即可．
设出事件，分别计算，，用条件概率公式能求出他是投中了花球而得到了分的概率．
用超几何分布概率计算公式计算出所有可能情况的概率，由此能求出该幸运球迷摸出个小模型后的总计分的数学期望．
 

18.【答案】解：设选取的乘客在积水潭站上车在牛街站下车为事件，
由已知，在积水潭站上车的乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，
所以．
由题意可知，；；；．
随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望为．
．
两点分布：，， 

【解析】考查概率意义，离散型随机变量分布列、数学期望、方差，两点分布，是基础题．
用频率估计概率即可；
服从二项分布，分别计算概率，列出分布列计算期望
根据两点分布方差公式可得答案．
 

19.【答案】解：因为该厂只有名维修工人，
所以要使工厂正常运行，最多只能有台大型机器出现故障，
故该工厂能正常运行的概率为 ．
当台及以下的机器出现故障时，工厂每月获利：
当台机器出现故障时，工厂每月获利：
当台机器出现故障时，工厂每月获利：
的可能取值为，，，
，
，
，
则的分布列为：

故万元．
(ⅱ)若该厂有名维修工人，
则该厂获利的数学期望为万元，
因为，
所以该厂应再招聘名维修工人． 

【解析】本题考查次独立重复试验中的概率计算，离散型随机变量的分布列与期望以及实际问题中的决策问题．
要使工厂正常运行，最多只能出现台大型机器出现故障，利用次独立重复试验中的概率计算；
分别求出，，时的概率，进而求出分布列和数学期望；
(ⅱ)求出有名维修工人时该厂获利的数学期望，然后再与有名维修工人时该厂获利的数学期望进行比较，即可判断．
 

20.【答案】解：袋中有个白球，个红球，个黄球，这个小球除颜色外完全相同．
从袋中任取个球，恰好取到个黄球的为事件；
则，
从袋中任取个球，恰好取到个黄球的概率为：．
从袋中任取个球，记取到红球的个数为，
的可能取值为，，，
得，，
，
的分布列为：

个．
方差． 

【解析】本题考查随机事件的概率的求法，以及求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，是中档题．
袋中任取个球，求恰好取到个黄球的概率，由古典概型概率公式求解即可．
的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望与方差．
 

21.【答案】解：记“甲顾客第一次未中奖且第二次中奖”为事件，
则，
此时的得分为：分，
若甲顾客第次抽奖选方案一，记两次抽奖累计得分为，
则的可能取值为，，，，
，，
，，
所以．
若甲顾客第次抽奖选方案二，记两次抽奖累计得分为，则的可能取值为，，，
，，，
所以，
因为，所以甲顾客应选择方案一．
由题意得：，且，
所以，则，
所以，
所以当或时，取得最大值， 

【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的均值以及次独立重复试验及其概率计算，属于中档题；
记“甲顾客第一次未中奖且第二次中奖”为事件，则，从而可得答案；
若甲顾客第次抽奖选方案一，记两次抽奖累计得分为，则的可能取值为，，，，先求概率，再求期望；
由题意得：，且，所以，则，即可求解．
 

22.【答案】【解】设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则．

设有放回地随机抽取个，恰好抽到个礼品果为事件，则．

用分层随机抽样的方法从个水果中抽取个，

则其中精品果个，非精品果个．

现从中抽取个，记精品果的数量为，

则．

设方案的单价为，则单价的期望值

．

因为，所以从采购商的角度考虑，应该采用方案．

【解析】本题考查超几何分布的应用，考查离散型随机变量的期望求法，属于一般题．