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第26-29章（旋转、圆、概率初步）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州）
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这是一份第26-29章（旋转、圆、概率初步）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州），共37页。试卷主要包含了两点等内容，欢迎下载使用。
第26-29章（旋转、圆、概率初步）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共7小题）
1．（2019•泸州）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
2．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
3．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
4．（2019•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，4），B（﹣4，﹣6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点，且3x1＝﹣2x2，求m的值．
5．（2018•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，12），B（8，﹣3）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C（x1，y1），D（x2，y2），与y轴交于点E，且CD＝CE，求m的值．
6．（2017•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y＝﹣的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
7．（2016•泸州）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
二．黄金分割（共1小题）
8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
三．相似三角形的判定与性质（共5小题）
9．（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．
12．（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
13．（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．
四．特殊角的三角函数值（共1小题）
14．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
五．解直角三角形（共1小题）
15．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
六．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
17．（2018•泸州）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．
18．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i＝1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
19．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
20．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
21．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
22．（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
九．简单几何体的三视图（共4小题）
23．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
25．（2019•泸州）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2016•泸州）下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
一十．简单组合体的三视图（共3小题）
27．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2018•泸州）如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
29．（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
第26-29章（旋转、圆、概率初步）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州）
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共7小题）
1．（2019•泸州）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【解答】解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故选：B．
2．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4﹣8＝﹣x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，
∴MN＝＝＝4，
联立，
得：﹣x﹣4＝，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣6，
将x1＝﹣2，x2＝﹣6代入y＝得：y1＝﹣3，y2＝﹣1，
经检验：和都是原方程组的解，
∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，
则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），
∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴PQ＝＝＝2，
∴＝＝．
3．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）如图，
∵点A（a，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入一次函数y＝x+b中得：＝6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+3；
（2）由得：，，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝＝9．
4．（2019•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，4），B（﹣4，﹣6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点，且3x1＝﹣2x2，求m的值．
【解答】解：（1）由题意得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝2x+2；
（2）联立，消去y得：2x2+2x﹣m＝0，则x1+x2＝﹣1，
因为3x1＝﹣2x2，解得，
∴C（2，6），
∵反比例函数y＝的图象经过C点，
∴m＝2×6＝12．
5．（2018•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，12），B（8，﹣3）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C（x1，y1），D（x2，y2），与y轴交于点E，且CD＝CE，求m的值．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，12），B（8，﹣3）代入y＝kx+b
得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣
（2）分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B
∵点C（x1，y1），D（x2，y2），
∴x1•y1＝m，
由（1）点E坐标为（0，9），则AE＝9﹣y1，
∵AC∥BD，CD＝CE，
∴BD＝2x1，EB＝2（9﹣y1），
∴OB＝9﹣2（9﹣y1）＝2y1﹣9，
∴点D坐标为（2x1，2y1﹣9），
∴2x1•（2y1﹣9）＝m，
整理得m＝6x1，
∵x1•y1＝m，
∴y1＝6，
则点D坐标化为（2x1，3），
∵点D在y＝﹣图象上
∴x1＝2
∴m＝x1•y1＝12．
6．（2017•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y＝﹣的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝﹣的图象过点B（a，4），
∴4＝﹣，解得：a＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，4）．
将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣2．
（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1＝﹣2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得：，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．
7．（2016•泸州）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设点B的坐标为（n，）．
将y＝kx+b代入y＝中，得：
kx+b＝，整理得：kx2+bx﹣4＝0，
∴4n＝﹣，即nk＝﹣1①．
令y＝kx+b中x＝0，则y＝b，
即点C的坐标为（0，b），
∴S△BOC＝bn＝3，
∴bn＝6②．
∵点A（4，1）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴1＝4k+b③．
联立①②③成方程组，即，
解得：，
∴该一次函数的解析式为y＝﹣x+3．
二．黄金分割（共1小题）
8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2，
∴HE＝BE﹣BH＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴DE＝2HE＝4﹣8
∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4．
故选：A．
三．相似三角形的判定与性质（共5小题）
9．（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，
∵AN＝BN，MN∥AE，
∴BM＝ME，
∴MN＝a，
∴FM＝a，
∵AE∥FM，
∴＝＝＝，
解法二：延长BE交CD的延长线于点M．
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴DM＝a，
∴FM＝DF+DM＝a，
∴＝＝＝．
故选：C．
10．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝，
故选：B．
11．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．
【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴＝＝，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴＝，
∴＝，
解得：BN＝，
∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
故答案为：．
12．（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB•PA，即＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，
∴PA＝＝＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6，即BC＝6，
∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴＝＝，
∴OF＝OD＝，即AF＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴EF＝BC＝．
13．（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直径，EF＝FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD＝∠OCP＝90°，
∵∠FOD＝∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴＝，∵OD＝OC，
∴OC2＝OF•OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC＝OB＝r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2＝PO2，
∴（4）2+r2＝（r+4）2，
∴r＝2，
∵CM＝＝，
∵DC是直径，
∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF＝CM＝，
在Rt△OEF中，OF＝＝，
∴EC＝2OF＝，
∵EC∥OB，
∴＝＝，
∵GH∥CM，
∴＝＝，
∴GH＝．
四．特殊角的三角函数值（共1小题）
14．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝，
∴R＝，
∴S＝πR2＝π（）2＝π，
故选：A．
五．解直角三角形（共1小题）
15．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，
则直线MN为符合条件的直线l，如图，
∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝BM．
∵B的坐标为（10，4），
∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．
∵四边形ABEF为菱形，
BE＝AB＝10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
设EG＝4k，则BG＝3k，
∴BE＝＝5k，
∴5k＝10，
∴k＝2，
∴EG＝8，BG＝6，
∴AG＝4．
∴E（4，12）．
∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，
∴A（0，4）．
∵点N为AE的中点，
∴N（2，8）．
设直线l的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，
故选：D．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝，
∴BM＝＝CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN＝＝＝10（米），
∴CD＝MN＝MB+BN＝×30+10＝40+10（米），
答：C，D两点间的距离为（40+10）米．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
17．（2018•泸州）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．
【解答】解：由题意知：BC＝6AD，AE+BE＝AB＝90m
在Rt△ADE中，tan30°＝，sin30°＝
∴AE＝＝AD，DE＝2AD；
在Rt△BCE中，tan60°＝，sin60°＝，
∴BE＝＝2AD，CE＝＝4AD；
∵AE+BE＝AB＝90m
∴AD+2AD＝90
∴AD＝10（m）
∴DE＝20m，CE＝120m
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，
∴∠DEC＝90°
∴CD＝＝＝20（m）
答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m．
18．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i＝1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，BD＝30，BN：ND＝1：，
∴BN＝15（米），DN＝15（米），
∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM＝BN＝15（米），BM＝CN＝60﹣15＝45（米），
在RT△ABM中，tan∠ABM＝＝，
∴AM＝60（米），
∴AC＝AM+CM＝（15+60）（米）．
故楼房AC的高度为（15+60）米．
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
19．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10×＝5，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．
20．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
21．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，
在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，
∴DE＝20×sin45°＝20，
在Rt△BED中，BD＝20，
∴sin∠ABD＝＝＝；
（2）过D作DF⊥BC于F，
在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，
∴BE＝＝40，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，
∴CF＝BC﹣BF＝30，
在Rt△CDF中，CD＝＝50，
∴小岛C，D之间的距离为50nmile．
22．（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：
∠BCD＝30°，设BC＝x，则：
在Rt△BCD中，BD＝BC•sin30°＝x，CD＝BC•cos30°＝x；
∴AD＝30x，
∵AD2+CD2＝AC2，即：（30+x）2+（x）2＝702，
解之得：x＝50（负值舍去），
答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
九．简单几何体的三视图（共4小题）
23．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：三棱柱的主视图是中间有一条线的长方形，圆柱的主视图是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：D．
24．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
25．（2019•泸州）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
B、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、球的俯视图是圆，故此选项错误；
D、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
故选：A．
26．（2016•泸州）下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：A．
一十．简单组合体的三视图（共3小题）
27．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从物体上面看，底层有一个正方形，上层有四个正方形．
故选：C．
28．（2018•泸州）如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：B．
29．（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：左视图有2行，每行一个小正方体．
故选：D．
第26-29章（旋转、圆、概率初步）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州）
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共7小题）
1．（2019•泸州）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
2．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
3．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
4．（2019•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，4），B（﹣4，﹣6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点，且3x1＝﹣2x2，求m的值．
5．（2018•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，12），B（8，﹣3）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C（x1，y1），D（x2，y2），与y轴交于点E，且CD＝CE，求m的值．
6．（2017•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y＝﹣的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
7．（2016•泸州）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
二．黄金分割（共1小题）
8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
三．相似三角形的判定与性质（共5小题）
9．（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．
12．（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
13．（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．
四．特殊角的三角函数值（共1小题）
14．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
五．解直角三角形（共1小题）
15．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
六．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
17．（2018•泸州）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．
18．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i＝1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
19．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
20．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
21．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
22．（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
九．简单几何体的三视图（共4小题）
23．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
25．（2019•泸州）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2016•泸州）下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
一十．简单组合体的三视图（共3小题）
27．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2018•泸州）如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
29．（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
第26-29章（旋转、圆、概率初步）【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川泸州）
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共7小题）
1．（2019•泸州）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【解答】解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故选：B．
2．（2021•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（6，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4﹣8＝﹣x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，
∴MN＝＝＝4，
联立，
得：﹣x﹣4＝，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣6，
将x1＝﹣2，x2＝﹣6代入y＝得：y1＝﹣3，y2＝﹣1，
经检验：和都是原方程组的解，
∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，
则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），
∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴PQ＝＝＝2，
∴＝＝．
3．（2020•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（a，6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【解答】解：（1）如图，
∵点A（a，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴6a＝12，
∴a＝2，
∴A（2，6），
把A（2，6）代入一次函数y＝x+b中得：＝6，
∴b＝3，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+3；
（2）由得：，，
∴B（﹣4，﹣3），
当x＝0时，y＝3，即OC＝3，
∴△AOB的面积＝S△ACO+S△BCO＝＝9．
4．（2019•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，4），B（﹣4，﹣6）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点，且3x1＝﹣2x2，求m的值．
【解答】解：（1）由题意得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝2x+2；
（2）联立，消去y得：2x2+2x﹣m＝0，则x1+x2＝﹣1，
因为3x1＝﹣2x2，解得，
∴C（2，6），
∵反比例函数y＝的图象经过C点，
∴m＝2×6＝12．
5．（2018•泸州）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，12），B（8，﹣3）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y＝（m＞0）的图象相交于点C（x1，y1），D（x2，y2），与y轴交于点E，且CD＝CE，求m的值．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，12），B（8，﹣3）代入y＝kx+b
得：
解得：
∴一次函数解析式为：y＝﹣
（2）分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B
∵点C（x1，y1），D（x2，y2），
∴x1•y1＝m，
由（1）点E坐标为（0，9），则AE＝9﹣y1，
∵AC∥BD，CD＝CE，
∴BD＝2x1，EB＝2（9﹣y1），
∴OB＝9﹣2（9﹣y1）＝2y1﹣9，
∴点D坐标为（2x1，2y1﹣9），
∴2x1•（2y1﹣9）＝m，
整理得m＝6x1，
∵x1•y1＝m，
∴y1＝6，
则点D坐标化为（2x1，3），
∵点D在y＝﹣图象上
∴x1＝2
∴m＝x1•y1＝12．
6．（2017•泸州）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y＝﹣的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝﹣的图象过点B（a，4），
∴4＝﹣，解得：a＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，4）．
将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣2．
（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1＝﹣2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得：，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．
7．（2016•泸州）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设点B的坐标为（n，）．
将y＝kx+b代入y＝中，得：
kx+b＝，整理得：kx2+bx﹣4＝0，
∴4n＝﹣，即nk＝﹣1①．
令y＝kx+b中x＝0，则y＝b，
即点C的坐标为（0，b），
∴S△BOC＝bn＝3，
∴bn＝6②．
∵点A（4，1）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴1＝4k+b③．
联立①②③成方程组，即，
解得：，
∴该一次函数的解析式为y＝﹣x+3．
二．黄金分割（共1小题）
8．（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足＝＝，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH＝BC＝2，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2，
∴HE＝BE﹣BH＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴DE＝2HE＝4﹣8
∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4．
故选：A．
三．相似三角形的判定与性质（共5小题）
9．（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，
∵AN＝BN，MN∥AE，
∴BM＝ME，
∴MN＝a，
∴FM＝a，
∵AE∥FM，
∴＝＝＝，
解法二：延长BE交CD的延长线于点M．
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴DM＝a，
∴FM＝DF+DM＝a，
∴＝＝＝．
故选：C．
10．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝，
故选：B．
11．（2020•泸州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为 ．
【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴＝＝，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴＝，
∴＝，
解得：BN＝，
∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，
故答案为：．
12．（2019•泸州）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB•PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵PC2＝PB•PA，即＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接OD，如图2所示：
∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，
∴PA＝＝＝40，
∴AB＝PA﹣PB＝30，
∵△PBC∽△PCA，
∴＝＝2，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，
解得：x＝6，即BC＝6，
∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴＝＝，
∴OF＝OD＝，即AF＝，
∵EF∥BC，
∴＝＝，
∴EF＝BC＝．
13．（2018•泸州）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH的长．
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直径，EF＝FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD＝∠OCP＝90°，
∵∠FOD＝∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴＝，∵OD＝OC，
∴OC2＝OF•OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC＝OB＝r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2＝PO2，
∴（4）2+r2＝（r+4）2，
∴r＝2，
∵CM＝＝，
∵DC是直径，
∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF＝CM＝，
在Rt△OEF中，OF＝＝，
∴EC＝2OF＝，
∵EC∥OB，
∴＝＝，
∵GH∥CM，
∴＝＝，
∴GH＝．
四．特殊角的三角函数值（共1小题）
14．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝，
∴R＝，
∴S＝πR2＝π（）2＝π，
故选：A．
五．解直角三角形（共1小题）
15．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A．y＝3x B．y＝﹣x+ C．y＝﹣2x+11 D．y＝﹣2x+12
【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，
则直线MN为符合条件的直线l，如图，
∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝BM．
∵B的坐标为（10，4），
∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．
∵四边形ABEF为菱形，
BE＝AB＝10．
过点E作EG⊥AB于点G，
在Rt△BEG中，
∵tan∠ABE＝，
∴，
设EG＝4k，则BG＝3k，
∴BE＝＝5k，
∴5k＝10，
∴k＝2，
∴EG＝8，BG＝6，
∴AG＝4．
∴E（4，12）．
∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，
∴A（0，4）．
∵点N为AE的中点，
∴N（2，8）．
设直线l的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，
故选：D．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2020•泸州）如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
【解答】解：过点C、D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M、N，
在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，
∴AM＝MC，
在Rt△BMC中，∵∠ABC＝37°，tan∠ABC＝，
∴BM＝＝CM，
∵AB＝70＝AM+BM＝CM+CM，
∴CM＝30＝DN，
在Rt△BDN中，∵∠DBN＝60°，
∴BN＝＝＝10（米），
∴CD＝MN＝MB+BN＝×30+10＝40+10（米），
答：C，D两点间的距离为（40+10）米．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
17．（2018•泸州）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．
【解答】解：由题意知：BC＝6AD，AE+BE＝AB＝90m
在Rt△ADE中，tan30°＝，sin30°＝
∴AE＝＝AD，DE＝2AD；
在Rt△BCE中，tan60°＝，sin60°＝，
∴BE＝＝2AD，CE＝＝4AD；
∵AE+BE＝AB＝90m
∴AD+2AD＝90
∴AD＝10（m）
∴DE＝20m，CE＝120m
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB＝180°，∠DEA＝30°，∠CEB＝60°，
∴∠DEC＝90°
∴CD＝＝＝20（m）
答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m．
18．（2016•泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i＝1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，BD＝30，BN：ND＝1：，
∴BN＝15（米），DN＝15（米），
∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM＝BN＝15（米），BM＝CN＝60﹣15＝45（米），
在RT△ABM中，tan∠ABM＝＝，
∴AM＝60（米），
∴AC＝AM+CM＝（15+60）（米）．
故楼房AC的高度为（15+60）米．
八．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）
19．（2022•泸州）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【解答】解：由题意得，∠CAB＝∠ABC＝45°，BC＝8nmile．
∴∠C＝90°，
∴AB＝＝BC＝8＝16（nmile），
过D作DH⊥AB于H，
则∠AHD＝∠BHD＝90°，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，AD＝10nmile，cos∠ADH＝，
∴AH＝AD＝5nmile，DH＝10•cos30°＝10×＝5，
∴BH＝AB﹣AH＝11nmile，
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝14（nmile），
答：B，D间的距离是14nmile．
20．（2021•泸州）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
21．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
【解答】解：（1）过D作DE⊥AB于E，
在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，
∴DE＝20×sin45°＝20，
在Rt△BED中，BD＝20，
∴sin∠ABD＝＝＝；
（2）过D作DF⊥BC于F，
在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，
∴BE＝＝40，
∵四边形BFDE是矩形，
∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，
∴CF＝BC﹣BF＝30，
在Rt△CDF中，CD＝＝50，
∴小岛C，D之间的距离为50nmile．
22．（2017•泸州）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：
∠BCD＝30°，设BC＝x，则：
在Rt△BCD中，BD＝BC•sin30°＝x，CD＝BC•cos30°＝x；
∴AD＝30x，
∵AD2+CD2＝AC2，即：（30+x）2+（x）2＝702，
解之得：x＝50（负值舍去），
答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
九．简单几何体的三视图（共4小题）
23．（2021•泸州）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：三棱柱的主视图是中间有一条线的长方形，圆柱的主视图是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：D．
24．（2020•泸州）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：B．
25．（2019•泸州）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
B、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、球的俯视图是圆，故此选项错误；
D、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
故选：A．
26．（2016•泸州）下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
C、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：A．
一十．简单组合体的三视图（共3小题）
27．（2022•泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从物体上面看，底层有一个正方形，上层有四个正方形．
故选：C．
28．（2018•泸州）如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，
故选：B．
29．（2017•泸州）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：左视图有2行，每行一个小正方体．
故选：D．
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