第22章-二次函数【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川德阳）

这是一份第22章-二次函数【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川德阳），共25页。试卷主要包含了关于x轴对称，，与x轴另一交点为B，与x轴交于点A，B等内容，欢迎下载使用。
第22章-二次函数【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川德阳）
一．选择题（共3小题）
1．（2020•德阳）已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2019•德阳）对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2016•德阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　）
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共3小题）
4．（2020•德阳）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 　 　．
5．（2018•德阳）已知函数y＝使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为　 　．
6．（2017•德阳）若抛物线y＝﹣ax2+x﹣与x轴交于An、Bn两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用Sn表示An、Bn两点间的距离，则S1+S2+…+S2017＝　 　．
三．解答题（共7小题）
7．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．

8．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

10．（2019•德阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
11．（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

12．（2017•德阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2+n（m≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，﹣1）．
（1）求抛物线C1及直线AC的解析式．
（2）沿直线AC由A至C 的方向平移抛物线C1，得到新的抛物线 C2，C2上的点D为C1上的点C的对应点，若抛物线C2恰好经过点B，同时与x轴交于另一点E，连接OD、DE，试判断△ODE的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若P为线段OE（不含端点）上一动点，作PF⊥DE于F，PG⊥OD于点G，设PF＝h1，PG＝h2．试判断h1•h2的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点P的坐标；如不存在，请说明理由．

13．（2016•德阳）如图，抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y＝kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y＝kx﹣2k﹣3与抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．


第22章-二次函数【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（四川德阳）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2020•德阳）已知不等式ax+b＞0的解集为x＜2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b＜3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣＝2，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故结论正确；
（2）函数y＝ax2+bx+c中，令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∵即b＝﹣2a，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4ac＝4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△＝4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b＝﹣2a，
∴﹣＝1，＝＝c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x＝1时，直线y＝ax+b＝a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b＝﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m＝0，得到﹣b﹣mb﹣m＝0，
∴b＝﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
2．（2019•德阳）对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝3，且开口向上
∴当x＜2时．y随x的增大而减小，故①正确；
当△＝36﹣4a≥0，即a≤9时，函数图象与x轴有交点，故②错误；
当a＝8时，y＝x2﹣6x+8，解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4
∴函数图象与x轴交于（2，0）、（4，0）
∵函数图象开口向上
∴当2＜x＜4时，函数图象在x轴下方，故③正确；
y＝x2﹣6x+a＝（x﹣3）2+a﹣9
∴顶点坐标为（3，a﹣9）
函数图象绕坐标原点旋转180°后，顶点坐标为（﹣3，9﹣a），故④正确．
综上，正确的有①③④
故选：C．
3．（2016•德阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为（　　）
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞时，y随x的增大而减小．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＞0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，故①正确，
设y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，左边为A，右边为B，A（x1，0），B（x2，0），那么抛物线方程可写为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），那么b＝﹣a（x1+x2），从图中可知，因为x1+x2＞﹣1，因此b＝﹣a（x1+x2）＞（﹣a）×（﹣1）＝a，
所以a＜b＜0，故②正确，
∵a+b+c＝0，a＜b＜0，
∴2b+c＞0，故③正确，
由图象可知，y都随x的增大而减小，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共3小题）
4．（2020•德阳）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 　s≥9　．
【解答】解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴s≥9；
故答案为：s≥9．
5．（2018•德阳）已知函数y＝使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为　2　．
【解答】解：函数y＝的图象如图：
根据图象知道当y＝2时，对应成立的x值恰好有三个，
∴a＝2．
故答案为：2．

6．（2017•德阳）若抛物线y＝﹣ax2+x﹣与x轴交于An、Bn两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用Sn表示An、Bn两点间的距离，则S1+S2+…+S2017＝　　．
【解答】解：∵y＝﹣ax2+x﹣＝﹣a（x﹣）（x﹣）＝0，
∴点An的坐标为（，0），点Bn的坐标为（，0）（不失一般性，设点An在点Bn的左侧），
∴Sn＝﹣，
∴S1+S2+…+S2017＝1﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
7．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．

【解答】解：（1）∵点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴射线MF的解析式为y＝x﹣2（x≥2）；

（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．

∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，点M（2，0），
∴点M在抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y＝﹣x+2，直线MF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线EM，直线MF关于直线x＝2对称，
∴P，Q关于直线x＝2对称，
∴2＝，
∴x1+x2＝4；

（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．

∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴＝＝（t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴有最大值，最大值为．
8．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得到方程组：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（2，3），连接AC'并延长与抛物线交于点P，由图形的对称性可知P为所求的点，

设直线AC'的解析式为y＝mx+n，
由题意得：，
解得：，
∴直线AC'的解析式为y＝x+1，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
∴P（4，5）；
（3）存在点M，
∵P（4，5），A（﹣1，0），
∴AP＝，
同理可求得AC＝，PC＝，

∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，
∴tan∠APC＝，
∵∠MBN＝∠APC，
∴tan∠MBN＝tan∠APC，
∴，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则（m≠3），
解得m＝或m＝﹣，
当m＝时，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（﹣，），
当m＝，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（，），
∴存在符合条件的点M，M的坐标为（，），（，）．
9．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵△ABC的面积为2，即，
∴，
∴OC＝1，
∴C（0，1），
将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，
∴a＝﹣，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+1；
（2）分两种情况：
①当PQ在x轴的上方时，如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，

解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），
∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），
∵矩形PGHQ为正方形，
∴1+﹣（1﹣）＝m，
解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；
②当PQ在x轴的下方时，m＜0，
同理可得m＝﹣6﹣2；
∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；
（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，

∵A（﹣1，0），
设AD的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AD的解析式为：y＝（﹣）x﹣，
当x＝2时，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，
∴F（2，3﹣n），
∴FN＝3﹣n，
同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣）x+n+1，
∴K（0，n+1），
∴OK＝n+1，
∵N（2，0），B（3，0），
∴，
∵EN∥OK，
∴，
∴OK＝3EN，
∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，
∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．
10．（2019•德阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∵B（2，0），C（0，﹣3）在抛物线上，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）存在点P，使得△PBC的面积最大，
设P（m，m2﹣m﹣3），
连接OP，则S△POC＝×OC×m＝m，
S△POB＝×OB×（﹣m2+m+3）＝﹣m2+m+3，
∴S四边形OCPB＝S△OPC+S△POB＝﹣m2+3m+3，
∵S△OBC＝×OC×OB＝3，
∴S△PBC＝S四边形OCPB﹣S△BOC＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，△PBC的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，﹣3）；
（3）∠MEN为定值．
当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，
解得x＝﹣或x＝2，
∴A（﹣，0），
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
∴∠MAC＝60°，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，E是AD的中点，
∴ME＝NE＝AE＝DE，
∴点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，
由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°，
∴∠MEN为定值．
11．（2018•德阳）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y＝x2+bx﹣的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴x2+bx﹣＝1，解得：b＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣
y＝x2﹣x﹣＝（x2﹣x+﹣）﹣＝（x﹣）2﹣
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAK＝90°．
又∵∠CAK+∠ACK＝90°，
∴∠BAO＝∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA＝∠AKC，∠BAO＝∠ACK，AB＝AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA＝CK＝1，OB＝AK＝2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2＝m2﹣m﹣，解得m＝﹣3（舍去）或m＝．
∴AB＝＝．
∴△ABC扫过区域的面积＝S四边形ABDE+S△DEH＝×2+××＝9.5
（3）当∠ABP＝90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB＝AB，∠PBA＝90°．
∴∠PBG+∠BAO＝90°．
又∵∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠BAO＝∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA＝∠PGB，∠BAO＝∠BPG，AB＝PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG＝OB＝2，AO＝BG＝1，
∴P（﹣2，1）．
当x＝﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB＝90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP＝OA＝1，AF＝OB＝2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
12．（2017•德阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2+n（m≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，﹣1）．
（1）求抛物线C1及直线AC的解析式．
（2）沿直线AC由A至C 的方向平移抛物线C1，得到新的抛物线 C2，C2上的点D为C1上的点C的对应点，若抛物线C2恰好经过点B，同时与x轴交于另一点E，连接OD、DE，试判断△ODE的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若P为线段OE（不含端点）上一动点，作PF⊥DE于F，PG⊥OD于点G，设PF＝h1，PG＝h2．试判断h1•h2的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点P的坐标；如不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入得：，
解得：，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣1；
把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入y＝mx2+n得，
∵，
∴，
∴抛物线C1：y＝x2﹣1；
（2）△ODE是等腰三角形，理由是：
∵A、B对称，
∴B（1，0），
如图1，设D（a，﹣a﹣1），过D作DH⊥y轴于H，
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠HCD＝∠ACO＝45°，
∴△HCD是等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝a，
由平移得：抛物线 C2：y＝（x﹣a）2﹣1﹣a，
把B（1，0）代入得：0＝（1﹣a）2﹣1﹣a，
a（a﹣3）＝0，
a1＝0（舍），a2＝3，
∴抛物线 C2：y＝（x﹣3）2﹣4，
∴D（3，﹣4），E（5，0），
∴OE＝5，
由勾股定理得：OD＝＝5，
∴OD＝OE，
∴△ODE是等腰三角形；
（3）如图2，设P（x，0），连接PD，则OP＝x，PE＝5﹣x，
S△OPD＝×5h2＝，
h2＝，
由勾股定理得：DE＝＝2，
S△PDE＝×＝，
h1＝，
h1•h2＝＝﹣＝﹣+2，
当x＝时，h1•h2的值最大，是2，此时点P（，0）．


13．（2016•德阳）如图，抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y＝kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y＝kx﹣2k﹣3与抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1；

（2）∵抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），
∴2m﹣7＝m2﹣2m+1，
解得m1＝m2＝4，
∴点P的坐标为（4，1），
∵直线y＝kx﹣2k﹣3经过点P，
∴4k﹣2k﹣3＝1，
解得k＝2，
∴直线的解析式为y＝2x﹣7，
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴在y＝2x﹣7中，当x＝2时，y＝2×2﹣7＝﹣3，
∴点Q的坐标为（2，﹣3）；

（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连接TM，根据题意得：
TM＝PQ，即TM＝PM＝QM，
∴点T在以PQ为直径的圆上，
∴∠PTQ＝90°，
∴△PQT为直角三角形，
同理，点M为PT或QT的中点时，△PQT仍为直角三角形，
作PA⊥y轴于A，交直线x＝2于点C，QB⊥y轴于B，则AT＝|1﹣t|，BT＝|﹣3﹣t|，
∵PA＝4，QB＝2，PC＝2，CQ＝4，
∴PQ＝＝＝2，
①当∠PTQ＝90°时，
∵PQ2＝TQ2+TP2＝BT2+QB2+PA2+AT2
＝|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42＝20，
∴2t2+4t+10＝0，即（t+1）2＝﹣4，
∵（t+1）2≥0，
∴此方程无解；
②当∠PQT＝90°时，PQ2+QT2＝PT2，
∴（2）2+22+|﹣3﹣t|2＝42+|1﹣t|2，
解得t＝﹣2；
③当∠QPT＝90°时，TQ2＝PT2+PQ2，
∴QB2+BT2＝PA2+AT2+（2）2，
∴4+|﹣3﹣t|2＝16+|1﹣t|2+20，
解得t＝3，
综上所述，在y轴上存在点T，其坐标分别为（0，3）和（0，﹣2），使△PQT的一边中线等于该边的一半．